De Longchamps pointとは？ わかりやすく解説

ド・ロンシャン点（ド・ロンシャンてん、英語: de Longchamps Point）は、幾何学用語のひとつ。三角形の外心に対して、垂心と対称な点のこと^[1][2][3]。また、反中点三角形の垂心と定義することもできる^[4]。フランスの数学者、Gaston Albert Gohierre de Longchamps（英語版）に因み名づけられた。

性質

• 外心に対して垂心と対称の位置にある。即ち、この点はオイラー線上にある。
• 中心をBC,CA,ABの中点とし、それぞれA,B,Cを通る円の根円（ド・ロンシャン円）の中心（根心）である^[4]。ド・ロンシャンの論文では、これを定義としている。
• それぞれA,B,Cを通るBC,CA,ABの平行線と外接円の交点を通る、BC,CA,ABの垂線はド・ロンシャン点で交わる^[5]。
• 内心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線（ソディ線）上にある^[6]。
• GEOS円上にある。
• 4面が合同な四面体において、1つの頂点から対面に下ろした垂線はド・ロンシャン点を通る。
• AL²-BC²=BL²-CA²=CL²-AB²が成り立つ。
• 九点円と同心で、外接円半径の3/2の半径を持つ円をシュタイナー円という。外接円とシュタイナー円の相似中心の一つはド・ロンシャン点である。
• クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX₂₀として登録されており、重心座標は以下の式で表される^[7]。

  $${\displaystyle \tan B+\tan C-\tan A:\tan C+\tan A-\tan B:\tan A+\tan B-\tan C}$$

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