円に内接する四角形
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円に内接する四角形（えんにないせつするしかっけい、英: cyclic quadrilateral）または単に内接四角形（ないせつしかっけい、英: inscribed quadrilateral）とは、4頂点が1つの円周上にある四角形のことである[1]。この円のことを外接円といい、その上にある4頂点は共円であるという。一般的に、内接四角形は凸であると仮定されるが、四角形が自己交差することを許せば凸でない内接四角形も存在する。以下では凸四角形に限って述べることとする。
すべての三角形が外接円を持つのに対して、すべての四角形が外接円を持つとは限らない。たとえば、正方形でない菱形は内接四角形ではないが、正方形・長方形・等脚台形・反平行四辺形はすべて内接四角形である。凧形が内接四角形となるための必要十分条件は、それが二つの直角を持つことである（直角凧形）。双心四角形は内接四角形であり、かつ外接四角形でもある。傍双心四角形は内接四角形であり、かつ傍接四角形でもある。調和四角形は内接四角形であって対辺の長さの積が等しいものである。
特徴付け
- 凸四角形が内接四角形であるための必要十分条件は四つある辺の垂直二等分線が共点となる（つまり一点で交わる）ことである。このとき共有される点は外心と呼ばれる[2]。
- 凸四角形 □ABCD が内接四角形となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角となることである。式で書けば、四つの角が隣り合う順に α, β, γ, δ の角度を持つとすれば
丸山良寛の定理 - 内接四角形 □ABCD において、四つの三角形 △DAB, △ABC, △BCD, △CDA の内心をそれぞれ M1, M2, M3, M4 とすれば、この四点を頂点とする四角形は長方形になる。これは日本人の定理と呼ばれる定理のひとつで、丸山良寛の定理と呼ばれる。同じ四つの三角形の、こんどは垂心を考えればそれらを頂点とする四角形は □ABCD に合同であり、また重心で同様に考えれば別の内接四角形となる[4]。
- 内接四角形 □ABCD の外心を O とし、二つの対角線 AC と BD の交点を P とするとき、∠APB の角度は ∠AOB と ∠COD の算術平均である。これは円周角の定理と外角定理からの直接の帰結である。
- 面積が有理数で、どの二つも相異なる有理数の長さの辺となるような四角形で、その辺の長さが算術数列または幾何数列を成すとき、そのような四角形は共円でない[22]。
- 内接四角形の辺の長さが算術数列を成すならば、その四角形は傍接四角形（したがって、傍双心四角形）である。
- 内接四角形の二組の向かい合う辺を延長して、それらがそれぞれ点 E, F で交わるならば、E および F のそれぞれにおいてなす角の二等分線は直交する[9]。
ブラーマグプタの四角形
ブラーマグプタ (Brahmagupta) の四角形とは、辺の長さおよび対角線の長さが全て整数で面積も整数となる内接四角形をいう[23]。すべてのブラーマグプタの四角形は、その辺の長さを a, b, c, d, 対角線の長さを e,f とし、面積を K, 外半径を R と書けば、有理数の範囲を動くパラメータ t, u, v を用いて書ける以下の公式 から、分母を払う ことで得られる。
対角線が直交する場合
外半径と面積
内接四角形でなおかつ直交対角線である（つまり二つの対角線が互いに垂直である）ようなものに対し、二つの対角線の交点が一方の対角線を長さ p1 および p2 の線分に分け、他方の対角線を長さ q1 および q2 の線分に分けるものとすると （最初の等号は、アルキメデスの『補題の書』の命題11による）が成り立つ[24]。ここで D は外接円の直径である。これが成り立つのは、二つの対角線が円の弦に垂直であることによる。これらの等式から、外半径 R は と表せることが分かる。これはまた辺の長さを用いて とも書ける[20]。あるいはまた も成り立つ[20]。ゆえに、オイラーの四辺形定理に従えば、外半径は二つの対角線の長さ p, q とそれら対角線の中点間の距離 x を用いて と表せる。
円に内接する直交対角線四角形の面積 K を四辺の長さで表す公式は、トレミーの定理と直交対角線四角形の面積公式を組合わせることで直接的に得られる。それは というものである[25]:222。
その他の性質
- 円に内接する直交対角線四角形において、反中心は対角線の交点となる点に一致する[20]。
- ブラーマグプタの定理の述べるところによれば、内接四角形がさらに対角線直交であるならば、対角線の交点から任意の辺に下ろした垂線は対辺を二等分する[20]。
- 内接四角形が直交対角線でもあるならば、外心から任意の辺へ測った距離は対辺の長さの半分に等しい[20]。
- 円に内接する直交対角線四角形において、二つの対角線それぞれの中点同士の距離は、外心と対角線の交点との距離に等しい[20]。
球面内接四角形
球面幾何学において、交わる四つの大円から形作られる球面四角形が内接四角形となるための必要十分条件は、二組の向かい合う角の和が等しい（つまり、隣り合う順に四つの角度が α, β, γ, δ であるとき、α + γ = β + δ となる）ことである[26]。この定理の一つの方向は1786年に I. A. Lexell が示した[27]。(Lexell 1786) では、球の小円に内接する球面四角形において向かい合う角の和が等しいことおよび外接する球面四角形において向かい合う辺の和が等しいことが示されている。この二つの定理について、前者は平面幾何における同様の定理の球面幾何版であり、後者は前者の双対（つまり大円と極点との役割をいれかえたもの）になっている[28]。Kiper らはこの定理の逆「球面四角形において向かい合う辺の長さの和が等しいならば、この球面四角形に内接する円が存在する」を示した[29]。
関連項目
注
注釈
出典
- ^ 安藤, 哲哉『三角形と円の幾何学: 数学オリンピック幾何問題完全攻略』海鳴社、東京、2006年、123頁。ISBN 4-87525-234-X。 OCLC 676371564。
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参考文献
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外部リンク
- Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
- Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
- Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W. “Cyclic Quadrilateral”. mathworld.wolfram.com (英語).
- cyclic quadrilateral - PlanetMath.
- Definition:Cyclic quadrilateral at ProofWiki
- Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\4R&=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e69092a26a00ae86a1b49767f2aab465ad93479)
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