土圧とは？ わかりやすく解説

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土圧 (どあつ、英語: earth pressure)とは、地盤内における土による圧力のことで、状態によって水平土圧の値が変化する。擁壁に裏込めされた土により、擁壁には土圧が作用する。擁壁が転倒しないように設計を行うためには、土圧の算定が重要となる。

1763年パリ条約でイギリスと講和をむすんだフランスは、その際、イギリスに占領されていたマルチニク島が返還され、その破壊された城と町とを再建しなければならなくなった。^[1]1764年に再建案がまとまり、一団の軍技術者達がブレスト港からマルチニク島に向けて出港した。^[1]その時１人の技術者が病気で倒れ、その代わりとしてクーロンが指名され、急遽赴任させられることになった。^[1]

このマルチニク島におけるフォート・デ・フランス（フランス語版）（後のFort Desaix）の築城工事は大工事であった。その上、疫病の流行により技術者達が次々と倒れたため、当時27才のクーロンが実質的な責任者として城を完成させなければならなかった。彼は後にこの工事について、以下のように述べている。^[1]

私は８年間、ほとんど唯一人で1200人もの人達を使いながら、フォート・ブルボン（後のFort Desaixのこと）の工事の責任者だった。この工事の最中に、しばしば仮定にもとづく計算や、小さなモデルによる実験をもとにした理論が、実際にはいかに不十分な指標にすぎないかということを経験させられた。そのため私は、技術者として事業に使えそうな、あらゆる分野の研究に、毎日毎日打ち込んでいた

1772年にマルチニク島から本国へ帰ったクーロンは、ブーシャン（英語版）で軍の勤務についた。^[1]この翌年の1773年、マルチニク島での研究をもとに、フランス本国へ帰ってきて最初に発表した論文が、有名な土圧論の論文、『建築学に関して、静力学問題における最大・最小原理の応用について（Essai Sur une application des règles de Maximis et Minimis à quelques Problèmes de Statique, relatifs à l'Architecture）』である。^[2]この論文は、最大・最小原理という統一的な観点から、さまざまな力学的問題を解いたものであり、「土圧論」もその一つの応用例であった。^[2]この最大・最小の原理については、ダニエル・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどの後に変分法に発展する業績に影響を受けたものと思われる。^[3]後にサンブナン（英語版）が認めていたことであるが、クーロンの論文は豊富な内容が非常に簡潔な形で書かれていたため、そのほとんどが専門分野で見落とされていた。^[3]

現在、我々が一般にクーロンの土圧公式と呼んでいるのは、ミュラー・ブレスロー（英語版）が1906年に記したものである。^[4]

いわゆる「ランキンの土圧論」が書かれたのは、ランキンがグラスゴー大学に着任したその翌年で、さらにその翌年、1857年、王立学士院の紀要（Philosophical Transactions）に、『緩い土の安定について（On the Stability of Loose Earth）』という題で掲載された。^[5]このときランキンは37歳であり、これはクーロンが土圧論を発表したのと同じ年齢であった。^[6]

この論文の内容は、彼が大学に勤めるようになり、講義の準備の際に土木工事や石工工事の安定について数学的な理論を再検討しているときに考え出したと述べている。^[7]ランキンは父が顧問をしていたカレドニアン鉄道会社が進めていたいくつかの鉄道の建設に携わっていたことがあった^[5]が、このときに擁壁に作用する土圧に関わりを持ったと考えられる。^[7]

静止した状態にある水において、ある点における水圧はどの方向からも等しい大きさであり、水の単位体積重量にその点よりも上にある水の高さを乗ずることで得られる。土圧の場合、鉛直方向に関しては土の単位体積重量に深さを乗じた値が土圧となり、これは水と同様である。一方、水平方向は、土の単位体積重量に深さを乗じた値の0.4～0.7倍が土圧となる。土の状態によって水平土圧の値が変わり、それぞれ主働土圧、受働土圧、静止土圧と呼ばれる。

土圧の種類は3つあり、以下の通りである。

主働土圧

鉛直応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧

受働土圧

水平応力が卓越して土が破壊する時の水平土圧

静止土圧

地盤内で静止している時の水平土圧

水平土圧と変位の関係は右図の通り。 また、地盤の状態はそれぞれ下図の通りである。それぞれ ${\displaystyle K_{0}\,\!}$

主働土圧と受働土圧の計算方法は2つ存在し、それぞれランキン土圧、クーロン土圧と呼ばれる。かつてはテルツァギの土圧図表による土圧計算も多く用いられていたが、現在はほぼ用いられていない^[8][9]。

ランキン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。

1. 擁壁は考えない。(擁壁の摩擦及び形状は考えない。)
2. 塑性平衡状態となる。モール・クーロンの破壊規準に従う。
3. 傾斜角を考慮しない。

主働土圧状態

モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。

${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。

${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}$

右図を連力図という。土のくさびの重量 ${\displaystyle W\,\!}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}$

主働土圧と同様に連力図を用いて解く。正弦定理より以下の関係式を得る。

${\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}={\frac {P_{p}}{\mathrm {sin} (\theta +\phi )}}\!}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}$