Análise Matemática IV

Solução dos exercícios propostos no livro "Séries e Equações Diferenciais"

Ao iniciar os estudos da disciplina Matemática Financeira, algumas perguntas inevitavelmente passam pela sua cabeça: qual o seu campo de aplicação? Qual a sua utilidade prática? Ela fará

Desafio ao Gugu/IMPA, 2025

Neste pdf - quase um artigo - lançamos um Desafio ao matemático Carlos Gustavo (Gugu/IMPA).

Apresentamos como tal referencial se constitui como uma ferramenta importante no desenvolvimento de pesquisas, em particular, em didática da matemática, que objetivam fundamentar, compreender e interpretar os fenômenos do ensino e aprendizagem. Através de uma metodologia do tipo clínico, (Farias, 2010) apresentamos elementos histórico-epistemológicos sobre a gênese dos Determinantes, passando pela sua organização no currículo de matemática no Ensino Médio através dos documentos oficiais como Parâmetros Curriculares Nacionais, à luz da Teoria da Transposição Didática, da Teoria Antropológica do Didático, e da Teoria Ecológica do Saber. Analisamos a abordagem deste objeto do saber proposta em três livros didáticos e no Exame Nacional do Ensino Médio dos últimos cinco anos, centrando a atenção em uma delas. Os resultados mostram que a ecologia encontrada para o objeto Determinantes no Ensino Médio não é capaz de garantir a permanência deste objeto do saber nesta Instituição como veremos neste trabalho.

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Capítulo 35-Interferência 113 os cientistas norte-americanos Albert Michelson e Edward Morley usaram o in-terferômetro de Michelson para tentar detectar o movimento da Terra através do éter. Suponha que o interferômetro da Figura 35.19 se desloque da esquerda para a direita em relação ao éter. De acordo com a teoria do éter, isso produziria variações da velocidade da luz nas partes da trajetória indicadas por linhas horizontais na figura. Deveriam ocorrer deslocamentos das franjas em relação às suas posições caso o instrumento estivesse em repouso em relação ao éter. A seguir, se o conjunto inteiro do instrumento sofresse uma rotação de 90°, as outras partes da trajetória seriam afetadas de modo análogo, produzindo um deslocamento de franjas em sentido oposto. Michelson e Morley esperavam que o movimento da Terra através do éter pro-duzisse um deslocamento da franja aproximadamente igual a quatro décimos de uma franja quando o instrumento sofresse a rotação. O deslocamento efetivamente observado na experiência foi menor que um centésimo de uma franja e, dentro do limite da precisão da experiência, parecia ser exatamente igual a zero. Apesar do movimento orbital da Terra em relação ao Sol, a Terra dava a impressão de estar em repouso em relação ao éter. Esse resultado negativo foi um desafio para os físicos até 1905, quando Albert Einstein desenvolveu a teoria da relatividade especial (que estudaremos com detalhes no Capítulo 37). Einstein postulou que a velocidade de uma onda de luz no vácuo tem sempre o mesmo módulo c em relação a qualquer sistema de referência inercial, independentemente da velocidade que um sistema possa ter em relação a outro. Como o suposto éter não desempenhava nenhum papel, seu conceito foi abandonado. TESTE SUA COMPREENSÃO DA SEÇÃO 35.5 Você está observando o padrão das fran-jas em um interferômetro de Michelson como o mostrado na Figura 35.19. Se você variar o índice de refração (mas não a espessura) da placa compensadora, o padrão se alterará? � Interferência e fontes coerentes: a luz monocromática contém apenas uma frequência. A coe-rência é uma relação de fase definida e invariável entre duas ondas ou duas fontes de ondas. A superposição de ondas provenientes de duas fontes de luz monocromáticas coerentes produz um padrão de interferência (figura). O princípio da superposição afirma que a perturbação ondulatória total em qualquer ponto é igual à soma das perturbações das ondas individuais. S 1 S 2 c b x y a Interferência produzida por duas fontes de luz: quando duas fontes estão em fase, ocorre inter-ferência construtiva em pontos nos quais a diferença de caminho ótico dos raios provenientes das fontes é igual a zero ou a um número inteiro de compri-mentos de onda; a interferência destrutiva ocorre em pontos nos quais a diferença de caminho ótico é igual a um número semi-inteiro de comprimentos de onda. Se as duas fontes estão separadas por uma dis-tância d e estão ambas muito afastadas de um ponto P e a linha que liga a fonte com o ponto P forma um ângulo u com a reta perpendicular ao segmento que une as fontes, então a condição para interferência construtiva em P é a Equação 35.4. A condição para interferência destrutiva é a Equação 35.5. Quando u é um ângulo muito pequeno, a posição y m da franja brilhante de ordem m está localizada sobre a tela a uma distância R da fonte dada pela Equação 35.6. (Veja os exemplos 35.1 e 35.2.) d sen u ml (m 0, 1, 2,...) (interferência construtiva) (35.4) d sen u (m 1 2)l (m 0, 1, 2, ...) (interferência destrutiva) (35.5) y m = R ml 2 (m 0, 1, 2,...) (35.6) (franjas brilhantes) r 2 r 1 S 1 S 2 d Para a tela d sen u u CAPÍTULO 35 RESUMO

2021

Este livro pretende ser um contributo para as unidades curriculares de Matemática 1 ou Análise Matemática, focando aspetos considerados essenciais para os estudantes de engenharia e de ciências em geral de forma a fornecer conhecimentos base necessários para outras unidades curriculares. Os seus conteúdos resultam em grande parte da experiência das autoras no ensino destas unidades curriculares nos vários cursos de Engenharia que são ministrados no Instituto Superior de Engenharia do Porto (ISEP) e incluem o cálculo diferencial, o cálculo integral, as séries numéricas e séries de funções. Foi escrito tendo como premissa básica o ser acessível para qualquer estudante do 1º ano do ensino superior, considerando as bases matemáticas apreendidas no ensino secundário.

Sied Enped Simposio Internacional De Educacao a Distância E Encontro De Pesquisadores Em Educacao a Distância 2012, 2012

Nesse artigo apresentamos possibilidades para a compreensão acerca da produção matemática que ocorre através da interação entre alunos e professores a distância, dentro da ferramenta fórum, em um ambiente virtual de aprendizagem. Tal trabalho emergiu a partir de recortes de uma atividade realizada na pesquisa de mestrado em desenvolvimento, do primeiro autor, sob a orientação do segundo autor. Além disso, ela também faz parte de um projeto de pesquisa maior, cujo foco é investigar o uso de tecnologias em cursos da Universidade aberta do Brasil. A realização dessa atividade foi de grande importância na preparação para a coleta de dados de ambas as pesquisas citadas anteriormente, por propiciar a experimentação de recursos pedagógicos que poderão ser utilizados posteriormente durante o desenvolvimento dos procedimentos metodológicos das mesmas. Os dados de tal atividade foram coletados no fórum, dentro do ambiente virtual de aprendizagem utilizado na disciplina investigada em questão, e foram analisados a partir de um estudo minucioso em todas as postagens. Em seguida, levantamos alguns episódios, por estarem em consonância com a concepção de investigação matemática, a qual contempla a compreensão e exploração da situaçãoproblema, formulação e refinamento de conjecturas e avaliação da resolução apresentada dentro de uma temática específica. Nessa análise, observamos diferentes processos de produção matemática coletiva, envolvendo articulações de ideias, com e sem concordância de opiniões, que, no entanto buscavam a constituição de uma solução para as dúvidas apresentadas dentro da ferramenta investigada. Concluímos que o fórum apresenta características pertinentes para a discussão, argumentação e debates sobre conteúdos matemáticos, permitindo com que a modalidade de ensino a distância, faça uso dessa ferramenta de forma que incentive a articulação de ideias matemáticas por grupos de pessoas fisicamente distantes, mesmo que elas não estejam interagindo de forma síncrona. Palavras-chave: Educação a distância, investigação matemática, licenciatura em matemática, fórum.

1. Responda formalmente as seguintes questões: a) O que são universo de discurso, predicados e quantificadores da lógica de predicados? Universo de discurso: Qualquer conjunto não vazio que pode ser utilizado para interpretação de uma fórmula Predicados: Predicados descrevem propriedades que elementos do universo de discurso podem ou não possuir, assumindo assim valores lógicos de Verdadeiro ou falso Quantificadores: Possuem a propriedade de atribuir valor ou condição para uma variável antes livre. Existem dois quantificadores na lógica de predicados: o quantificador universal, representado pelo símbolo 8, e o quantificador existencial, representado pelo símbolo 9. b) O que são os conjuntos de termos e de fórmulas bem formadas da lógica de predicados? R: O conjunto de termos da lógica de predicados é formado por funções aplicadas variáveis e constantes R: Uma fórmula bem formada é uma expressão ou sequência finita de símbolos que por sua vez estão bem definidos em um tipo de linguagem formal c) O são variáveis livres e ligadas e o que é o método de substituição? R: Dizemos que uma variável é livre em uma certa fórmula se esta não está no escopo de nenhum quantificador. Uma variável que não é livre é dita ser ligada. R: O método de substituição consiste na operação de trocar uma variável por um termo cujo significado não depende de nenhum valor externo à definição da fórmula em questão. d) Como é definida a semântica dos quantificadores? R: O quantificador "para todo" exige que as propriedades definidas em seu escopo sejam satisfeitas para qualquer valor a variável ligada ao quantificador possa assumir dentro daquele universo. Já o quantificador "existencial"denota que não importa quantos, desde que haja pelo menos um valor que a variável ligada a ele possa assumir para que as propriedades determinadas em seu escopo possam ser satisfeitas e) Explique, com suas palavras, o significado de cada uma das regras da dedução natural introduzidaspelos quantificadores. R: 1-Introdução do "para todo": Se conseguirmos demonstrar que a propriedade P é valida para um valor ou objeto arbitrário do discurso, então, pode-se deduzir que essa propriedade é valida para qualquer elemento desse conjunto 2-Eliminação do "para todo": Se a propriedade 'P' é valida para qualquer 'x', então, podemos concluir 'P(x)' substituído 'x' por uma constante ou variável livre na conclusão da regra. 3-Introdução do quantificador existencial: Podemos concluir que existe algum valor 'x' que satisfaça a propriedade 'P' se conseguirmos provar 'P' para um determinado valor 'a'. 4-Eliminação do existencial: Se desejamos provar uma formula α a partir de um quantificador existencial, devemos supor que a propriedade definida no escopo do quantificador é válida para uma variável ou constante que não ocorra livre em α e provar α a partir disso.

2000