Combinatoria y teoría cuántica

Se define un conjunto como una colección de objetos o cosas, se nombran con letras mayúsculas (A, B...). Cada uno de los objetos de un conjunto se llama elemento, se nombran con letras minúsculas (a, b...). Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el símbolo ∈ (a ∈ A). Podemos definir los conjuntos de dos formas: a) Por extensión: se nombran todos los elementos del conjunto y sólo estos, sin repetir. Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}. b) Por comprensión: se nombra una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto y solo ellos. Por ejemplo: A = {x / x es una vocal}, B = {x / x es un número par}. Cuando podemos contar los elementos del conjunto se dice que es finito, si no podemos contarlos decimos que el conjunto es infinito, por ejemplo, A es finito y B es infinito. Al número de elementos del conjunto se le llama cardinal del conjunto y se denota n(A). Por ejemplo n(A) = 5, n(B) = infinito (∞). Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento o tiene cardinal uno, y conjunto vacío es el que no tiene elementos o tiene cardinal cero. Se denota A = {} o A = ∅. Por ejemplo: C = {números reales con raíz cuadrada negativa}, n(C) = 0, C = ∅. Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los que pertenecen a A también pertenecen a B y viceversa, se denota como A = B, y en lenguaje formal: A = B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B y ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A. Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {x / x es un impar menor de 10}, se ve claramente que A = B. Dados dos conjuntos A y B, decimos que B es subconjunto de A cuando todos los elementos de B pertenecen también a A. Se denota B ⊂ A. Por ejemplo: A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 5, 9}; B ⊂ A. Dos conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común; por ejemplo los conjuntos A = {2, 4, 6} y B = {1, 5, 9, 7} son disjuntos. Se llama conjunto universal al que contiene a los demás como subconjuntos, se denota como U y se representa con un rectángulo. Por ejemplo: A = {a, o}, B = {e, i, u}; en este caso U = {x / x es vocal}. Dado un conjunto A, su conjunto potencia es el formado por todos sus subconjuntos incluyéndose a él mismo y al conjunto vacío. Se denota como ℘(A) o P(A) y si A tiene x elementos, n(℘) = 2 x. Por ejemplo: A = {1, 3, 5}; n(A) = 3 ⇒ n(℘) = 2 3 = 8. ℘(A) = {{}, 1, 3, 5, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}. El conjunto potencia también se llama conjunto de las partes de un conjunto. Diagramas de Venn. Los diagramas de Venn son una forma de representar gráficamente conjuntos. Para ello se utilizan círculos y rectángulos, como hemos dicho, un rectángulo representa el conjunto universal y los conjuntos se representan con círculos. En ocasiones dentro del los círculos se escriben los elementos del conjunto, pero no siempre es necesario. Veamos algunos ejemplos, el conjunto U, el conjunto A sin sus elementos, el conjunto A con sus elementos y una representación de A ⊂ B.

Leibniz: Razón, principios y unidad, 2020, ISBN 9788490459829, págs. 297-311, 2020

Pesquimat, 2021

Presentamos dos teoremas importantes en la topología algebraica combinatoria y la geometría combinatoria convexa, estos son el teorema del nervio y el teorema de Helly, dando ejemplos de su uso y relevancia. Mostramos que extensores absolutos son equivalentes a retractos absolutos y que son propiedades topológicas lo cual permite, por ejemplo, obtener triangulaciones para espacios topológicos expresados en términos del nervio del complejo simplicial asociado. Así también la estructuras convexas abstractas tienen principal relevancia para espacios metrizables, en particular los conjuntos convexos son extensores absolutos y por tanto retractos, pudiendo así obtenerse cubrimientos regulares y buenos cubrimientos. El patrón de intersección de estos cubrimientos por convexos da lugar a tres números combinatorios importantes, el número de Helly, Radon y Caratheodory. Culminamos haciendo evidente algunas propiedades combinatorias que poseen estos números.

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