Zur arithmetik von Konjugationsklassen in algebraischen Gruppen

Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1978

Die vorliegende Note beschäftigt sich mit dem Verhalten defmiter arithmetischer Gruppen bei galoisschen Skalarerweiterungen. Unter gewissen einschränkenden Bedingungen an die Körpererweiterung K/G wird in § l Satz l die Gleichheit G(C) = G(Z) bewiesen, hierbei ist G eine über 0 definierte algebraische Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL n , O = O K der Ring der ganzen Größen des algebraischen Zahlkörpers K, es wird außerdem vorausgesetzt, daß G über K definit ist. Der Beweis von Satz l benutzt auf H. Minkowski zurückgehende Ideen (vgl. [9], [10] und [11]). Mit dem Hauptresultat von § l kann dann in § 2 ein lokal-global-Prinzip für die Galoiskohomologie von G (O) bewiesen werden. Ein solches lokal-global-Prinzip ist im indefiniten Fall bekannt und wird dort mit dem starken Approximationssatz von Kneser bewiesen, den man im definiten Fall nicht mehr heranziehen kann (vgl. [3], [13]). Speziell für den Fall orthogonaler bzw. unitärer Gruppen liefern unsere Methoden in § 3 unter Heranziehung eines Satzes von J. Rohlfs ([13] Satz 3. 1) Aussagen der Art: Verschiedene Klassen im Geschlecht eines definiten quadratischen (bzw. hermiteschen) Z-Gitters bleiben bei den in § l betrachteten Skalarerweiterungen verschieden. Hier besteht ein gewisser Zusammenhang mit neueren Resultaten von Y. Kitaoka [5], [6], [7] über das Verhalten definiter quadratischer Z-Gitter bei Skalarerweiterungen. Die mit ganz anderen Methoden gewonnenen Ergebnisse von Kitaoka sind einerseits teilweise stärker, andererseits ergeben sich mit dem hier benutzten Apparat auch für den Fall quadratischer Z-Gitter Sätze, die in [5], [6] und [7] noch nicht enthalten sind. An dieser Stelle möchte ich es nicht versäumen, Herrn Professor M. Kneser für die kritische Durchsicht der ersten Fassung des Manuskripts und die zahlreichen Verbesserungsvorschläge herzlich zu danken. § 1. Skalarerweiterungen bei definiten arithmetischen Gruppen Es werden zunächst einige Bezeichnungen und Definitionen zusammengestellt: K sei im folgenden ein totalreeller algebraischer Zahlkörper, O c K die Maximalordnung in K, K w die zur Primstelle w gehörige Komplettierung von K, S^ sei die Menge der unendlichen Primstellen von K. G bezeichne eine über O definierte algebraische

1989

2014

Die grammatische Analyse authentischer Texte stellt in aller Regel die Analyseinstru­ mente verschiedenster theoretischer Herkunft auf eine harte Probe. Sei es, dass bei der Ausarbeitung der Theorie nur die Analyse kanonischer grammatischer Strukturen und besonders beliebt zum Teil exotischer Randfälle berücksichtigt wurden, sei es, dass die Grammatiktheorie in erster Linie gar nicht für diesen Zweck gedacht war, sondern pri­ mär in den Kontext der Theorie formaler Sprachen bzw. axiomatischer Kalküle gehört. Bei dem kategorialgrammatischen Formalismus ist vor allem Letzteres der Fall. So ver­ folgt der polnische Logiker und Philosoph Ajdukiewicz in seinem berühmten Aufsatz von 1935, der als eigentliches Gründungsdokument der Kategorialgrammatik gilt, das Ziel, durch die Spezifikation von geeigneten ,Kategorien1 für die Einzelwörter die Be­ dingungen spezifizieren zu können, unter denen die Verkettung von Einzelwörtem einen syntaktisch konnexen‘, also wohlgeformten Satz mit einer ent...

Commentarii Mathematici Helvetici, 1982

2017

Algebraic derivative estimators are linear time-invariant filters for approximating numerical derivatives of measured signals in real-time. Since they are robust to measurement noise, algebraic derivative estimators may simplify a wide variety of practical control engineering tasks, as this thesis demonstrates through numerous examples and an extensive experimental case study. The selection of favorable filter parameters is a key challenge in the application of these estimators. To this end, parameter selection criteria are derived based on approximation theory fundamentals and filter performance in the frequency and time domains. As efficient real-time implementation of these methods is of great practical interest, various techniques to reduce estimation delay and computational effort are discussed.

Journal for General Philosophy of Science - Zeitschrift für Allgemeine Wissenschaftstheorie, 1987

According to Kant, arithmetic judgements are not analytic since they are about our practice of operating with figures and things in a certain way. Hence the empiricist thesis that any meaningful assertion is either analytic or synthetic a posteriori seems to be refuted (~ I, 2). Using syntax and semantics of truth-conditional logic Frege nevertheless shows that arithmetic can be understood as a system of quasi-analytic sentences speaking about numbers as abstract entities (~ 3, 4). Axiomatic set theory, however, conceals the connection between (internal) truth-functional arithmetic and our (external) practice of counting and computing (~ 5-7).-In spite of the insights truth-conditional semantics provides for a non-psychological understanding of mathematical thinking, it is neither a general theory of meaning and analytic@ nor a foundation of a general sense-criterion (~ 8, 9). I. HISTORISCH-SYSTEMATISCHER HINTERGRUND Wie ist Philosophie als (strenge) Wissenschaft m6glich? Wie sind die so genannten ,metaphysischen' Fragen/iberhaupt zu verstehen und die auf sic gegebenen Antworten zu beurteilen? Diese Fragen haben Kant zu dem zentralen Problem der,,Kritik der reinen Vernunft" geffihrt, zu erl~iutern, wie ,synthetische Urteile a priori' m6glich, d. h. wie ihre Tatsache zu ,erkt~iren" und ihre Bedeutung zu verstehen sei, und zwar auf folgendem Wege: Angemessene Antworten auf metaphysische Fragen, etwa nach der Existenz Gottes, der Unsterblichkeit der Seele oder nach der Freiheit des menschlichen Handelns k6nnen sicher nicht aus blofgen Worterlduterungen bestehen, sic k6nnen keine blot~en ,analytischen Urteite' (,Erl~iuterungsteile') 1 sein. Unter den ,synthetischen Urteilen', das heitgt den nicht-analytischen Urteilen, k6nnen die Urteile ,a posteriori', deren Geltung erfahrungsabMngig ist, die ,empirischen' oder ,Erfahrungsurteile' also 2, auch nicht als (vollst~indige) Antworten auf metaphysische Fragen betrachtet werden, da diese ja dezidiert * F/it hilfreiche Anregungen und kl/irende Kritik sei an dieser Stelie meinen Konstanzer Lehrern und Kollegen gedankt, besonders F. Kambartel, G. Gabriel und P. Schroeder-Heister. 1 I. KANT, Kritik der reinen Vernunft (,KrV') B 11 (A 7). 2 KrV B 12 (A 8). Zeitschrfft f0-r allgemeine Wissenschaftstheorie XVIII/1-2 (I987)

Mathematische Annalen, 1979

2013

Posterserie (Deutsch) für die Lange Nacht der Münchener Museen 2013 (Museum für Abgüsse Klassischer Bildwerke).

1999

Der zweite Autor hat dem ersten Autor einige Probleme im Bereich der Gruppen-und Darstellungstheorie gestellt, wofür es zweckmäßig schien, GAP zu benützen. Nach Beurteilung dieser Probleme in Aachen, konnte der erste Autor dort Mitte Januar 1994 anfangen. Problem bezieht sich auf die Frage, ob ein spezieller Charakter, Chi, auf eine besondere Art und Weise in monomiale Charaktere zerlegbar ist. Dieses Problem hat seinen Ursprung in einem Problem von R. Brauer über Quotienten von Dedekind-Zeta-Funktionen. Zu dieser Frage hat er einige Prozeduren geschrieben, unter anderem für das Bestimmen aller monomialen und Chi Charaktere einer Gruppe. Auch hat er die Theorie der Markentafeln studiert und auf dieses Problem angewendet. Nach der Entwicklung der Prozeduren war er imstande, alte und neue Beispiele vollständig durchzurechnen. Beim zweiten Problem geht es um die Herkunft irreduzibler Charaktere gewisser einfacher Gruppen. Mit Hilfe des 'Atlas of Finite Groups', [3], und einiger GAP-Funktionen sind die ersten neunzehn Gruppen aus dem Atlas auf die MP-Eigenschaft getestet. Eine Gruppe liegt innerhalb der Klasse MP, wenn alle nicht-linearen irreduziblen Charaktere entweder monomial oder primitiv sind. So gibt es gewisse alternierenden Gruppen A m , mit m gerade, m > 4, die einen nicht-linearen nicht-primitiven irreduziblen Charakter besitzen. Im letzten Kapitel wird für jede von zehn sogenannten Ausnahmegruppen untersucht, ob alle Untergruppen gleicher Ordnung einer solchen Gruppe zu einander konjugiert sind. Mit GAP ist das für fünf Gruppen geklärt. Der zweite Autor hat darauf einen theoretischen Beweis erbracht, in dem gezeigt wird, daß die nicht-auflösbaren unten den zehn Gruppen die obige Eigenschaft erfüllen. Der erste Autor ist Herrn Professor Dr. J. Neubüser großen Dank schuldig, der seinen Aufenthalt in Aachen ermöglicht hat, und an Herrn Thomas Breuer, der immer für Fragen zur Verfügung gestanden und ihm viele 'Tricks' zum Benutzen von GAP und dem ATLAS gezeigt hat. Es war auch Herr Breuer, der ihn mit Group Characters versehen hat, implementiert in GAP-3.4. Ausserdem bedankt er sich bei den Herren Andreas Hoppe, Dr. Klaus Lux, Martin Schönert und Elmar Wings, die alle geholfen haben. Bezeichnungen Es sei vorausgesetzt, daß alle Gruppen in dieser Arbeit endlich sind, und alle zu betrachtenden einfachen Gruppen nichtabelsch. Gruppentheoretische Objekte sind meistens wie in Huppert [6] und Isaacs [7], und wie im AT-LAS [3] notiert. Für uns wichtige Teile der Charaktertafeln sind wie in GAP notiert. Auf den ersten Zeilen einer Charaktertafel sind die Ordnungen der Zentralisatoren gegeben. Zweitens folgt eine Zeile mit den Namen der Konjugationsklassen, gefolgt von den Charakteren. Falls wichtig werden in der letzten Zeile Abkürzungen für nicht-rationale Eingaben erklärt, wobei die letzte Eingabe immer der Notation im ATLAS [3] entspricht. Mit A.B wird im allgemeinen jede Gruppe G bezeichnet, in der A ein Normalteiler von G ist, und die Faktorgruppe G/A ∼ = B ist. Man nennt die Gruppe A.B zerfallend wenn sie ein semidirektes Produkt von A mit B ist. Zur Notation setzen wir A : B oder B A. Ein direktes Produkt von b Kopien von zyklischen Gruppen der Ordnung a bezeichnen wir mit a b . Jetzt betrachten wir eine Reihe von Begriffen. U G V -die Untergruppen U und V von G sind zu einander in G konjugiert, d.h. es gibt a ∈ G mit a -1 U a = V ; |G| -die Ordnung von G; |G : H| -die Index der Untergruppe H von G; Z n , C n -eine zyklische Gruppe der Ordnung n; |g| -die Ordnung des Elements g; Z(G), ζ(G) -das Zentrum von G; [G, G], G -die Kommutatoruntergruppe von G; p | n -die Primzahl p teilt die ganze Zahl n; p n -die ganze Zahl n ist nicht teilbar durch die Primzahl p; p k n -für k ∈ N ≥0 und Primzahl p ist die ganze Zahl n teilbar durch p k , aber nicht teilbar durch p k+1 ; P Aut(G) -die Gruppe aller Potenzautomorphismen von G, d.h. P Aut(G) = {α ∈ Aut(G) | t α = t iα , ∀t ∈ G}; es sei betont, daß i α ∈ Z nur von α abhängt; π -eine nicht-leere Primzahlmenge;