Programación Lineal Entera y Binaria 205

Programación lineal: hipótesis de perfecta divisibilidad Así pues decimos que un problema es de programación lineal entera, cuando prescindiendo de las condiciones de integridad, el problema resultante es un problema de programación lineal.

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización. Típicamente trata del problema de asignar recursos limitados entre actividades competidoras en la mejor forma posible, es decir, óptimas. En un problema de programación lineal se trata de optimizar (hacer máxima o mínima, según los casos) una función (llamada función objetivo) sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de ecuaciones y/o inecuaciones lineales. El adjetivo "lineal" significa que se requiere que todas las funciones matemáticas en este modelo sean funciones lineales. La programación lineal es una herramienta determinística, es decir, todos los parámetros del modelo se suponen conocidos con certeza. Si bien en la realidad, es raro encontrar un problema donde prevalezca la certeza, esta deficiencia es compensada proporcionando un análisis pos-óptimo que permite al tomador de decisiones probar la sensibilidad de la solución óptima estática respecto a cambios en los parámetros del modelo. Se dice que un problema de programación lineal consiste en encontrar el óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que puede expresarse como la intersección de un número finito de hiperplanos y semiespacios en IR n. Los problemas de programación lineal (PL) son un tipo de problemas de programación convexa, donde la función objetivo es convexa y las restricciones lineales forman una región convexa. También exhiben la característica especial que la solución óptima de los problemas debe descansar sobre alguna restricción o en la intersección de muchas restricciones y no en el interior de la región convexa donde las restricciones de desigualdad pueden ser satisfechas. Los puntos del plano que cumplen el sistema de desigualdades forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado, llamado región factible del problema. Todos los puntos de dicha región cumplen el sistema de desigualdades. Se trata de buscar, entre todos esos puntos, aquel o aquellos que hagan el valor de la función máximo o mínimo, según sea el problema. Los puntos de la región factible se denominan soluciones factibles. El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima (máxima o mínima) se llama solución óptima. Esta situación de que el óptimo descanse en la intersección de restricciones sirve como la base de los algoritmos de programación lineal. En general, un problema de programación lineal puede tener una, infinitas o ninguna solución. Si hay una única solución óptima, ésta se encuentra en un vértice de la región factible, y si hay infinitas soluciones óptimas, se encontraran en un lado de la región factible. Es posible que no haya solución óptima, pues cuando el recinto es no acotado, la función objetivo puede crecer o decrecer indefinidamente. El procedimiento a seguir para resolver un problema de programación lineal de dos variables será: 1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

Al ejecutar el módulo "Linear and Integer Programming", la ventana de inicio es la siguiente desde la cual, a partir del menú File ↓ New Problem puedes introducir un nuevo problema (también se puede hacer pinchando sobre el primer icono que aparece debajo de "File" ), o bien con File ↓ Load Problem puedes cargar un problema guardado con anterioridad (también se puede usar para ello el segundo icono ). El propio programa incluye algunos ejemplos de muestra.

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Programación Entera

PROBLEMA 1 Para realizar una encuesta por teléfono, un grupo de investigación de mercado necesita comunicarse por lo menos con 150 esposas, 120 maridos, 100 varones adultos solteros y 110 mujeres adultas solteras. Cuesta 2 dólares realizar una llamada telefónica durante el día y 5 dólares durante la noche (debido a mayores costos laborales). En la tabla se muestran los porcentajes de llamadas a cada tipo de encuestado con respecto al total de llamadas, ya sean diurnas o nocturnas. Se pueden realizar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche, por disponer de un número limitado de empleados. Formule un PL que minimice los costos para completar la encuesta.

En este tema se realiza la introducción de los modelos de programación li-neal y de los elementos necesarios para concluir con el algorítmo del Simplex, herramienta fundamental para la resolución de dichos problemas. El tema comienza estableciendo la formulación de los problemas de programación lin-eal. Previo al desarrollo de los elementos teóricos necesario para el algorítmo Simplex se presenta el método de resolución gráfico que nos permite estudiar las distintas situaciones que podemos encontrarnos al resolver un problema de programación lineal. Tras esto se introducen las definiciones relativas a convexidad, las definiciones y caracterizaciones de puntos y direcciones ex-tremas finalizando con las condiciones de optimalidad para problemas de programación lineal. Tras estos elementos se desarrolla el algorítmo del Sim-plex, se muestra su funcionamiento, las posibles finaliciones, una pequeña idea sobre su convergencia, etc. El tema finaliza presentando el método de Gran-M para el cálculo de soluciones factibles básicas iniciales utilizado cuan-do no es posible obtener de forma automática una base inicial para aplicar el algorítmo Simplex.