Matriz Ybus

En honor a Alfred Pischinger, padre de la histoquímica y creador del concepto de sistema básico o tercer sistema, lugar de asiento de la función transmisora de materia, energía e información para todo el organismo.

Continuaremos estudiando las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas autónomas pero ahora en IR n. Obtendremos la solución analítica para algunos casos y mencionaremos como se podría obtener para los restantes. Definiremos la matriz fundamental de una ecuación diferencial ˙ X = AX como la matriz ϕ(t) ∈ M n×n definida para todo t ∈ IR tal que: ˙ ϕ(t) = A(t)ϕ(t), para todo t ∈ IR ϕ(0) = I n×n (matriz identidad). Dado que las columnas de la matriz resultante de multiplicar dos matrices es la primera matriz por la columna correspondiente de la segunda matriz, se puede observar que si consideramos X 1 , X 2 , .., X n las columnas de ϕ las mismas verifican que ˙ X i = AX i. En otras palabras la matriz fundamental es la que contiene como columnas las soluciones X i (t), i = 1, 2,. .. , n de la ecuación homogénea con condición inicial X i (0) = (0, 0,. .. , 1, 0,. .. , 0), donde el 1 se encuentra en la posición i. Lo interesante de la matriz fundamental es que dado el problema: ˙ X = AX X(0) = X 0 la solución al mismo es X(t) = ϕ(t)X 0. La verificación es sencilla ya que: X(0) = ϕ(0)X 0 = IX 0 = X 0 ˙ X = ˙ ϕX 0 = AϕX 0 = AX.