Academia.eduAcademia.edu

Résurgence d’un thème de Huygens-Fresnel

1988, Publications mathématiques de l'IHÉS

Abstract

L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ RÉSURGENCE D^UN THÈME DE HUYGENS-FRESNEL par FRÉDÉRIC PHAM Dédié à René Thom. 0. Principe de Huygens-Fresnel et catastrophes élémentaires (« ... sew thé quantum flesh on thé classical bones » (M. V. Berry).) La phase d'une onde de lumière (stationnaire) de haute fréquence se propageant dans un milieu réfringent isotrope est gouvernée approximativement par P « équation de Viconale » r /aÇ\2 (»-1 ' ^.y-""»' où q = (^i, ... 3 y,) est la variable de position, et n = n(q) l'indice de réfraction du milieu; la fonction « iconale » S est par définition le produit de la phase de l'onde par la constante À/27C (X = longueur d'onde dans le vide)-constante qu'il a été commode d'incorporer dans S afin que n'apparaissent dans (0.1) que des fonctions ne variant pas trop vite avec q. Si au lieu d'une onde lumineuse on considère une « onde de matière », la fonction iconale doit être remplacée par Y action classique (égale selon De Broglie au produit de la phase par la constante de Planck A/2TC), et l'équation de l'iconale par l'équation de Hamilton-Jacobi O-1 '' "(^ î)-Ĥ (/^ q) étant la fonction de Hamilton, et E l'énergie de la particule. L'équation de l'iconale permet d'interpréter la phase de l'onde en termes d'optique géométrique : d'après le principe de Fermât, les rayons lumineux de l'optique géométrique sont les géodésiques de la métrique ds = n(q) dq, appelée « distance optique » {dq désignant la métrique euclidienne)-l'analogue pour les ondes de matière est ds = ^pÇq) dq^