PRÁCTICA 2
Antonio Martínez GonzálezUna sucesión de números reales (a 1 , a 2 ,. .. , a n ,. . .) no es más que una función real que tiene por dominio N = {1, 2, 3, ...}. Dada cualquier función a : N → R, es decir, dada una sucesión, por inercia histórica se escribe a n en lugar de a(n), que sería lo coherente con la notación que usamos para funciones. Estos números a n se llaman a veces términos de la sucesión. En particular a n es el término n-ésimo de la sucesión. Igualmente, suele escribirse (a n),ó {a n }, o bien {a n } ∞ n=1 en lugar de a : N → R, que sería la notación funcional. 1 Ejercicios sobre la convergencia de sucesiones Empezaremos por aprender a usar directamente la definición de límite. Después veremos procedimientos para probar que ciertas sucesiones tienen límite y en otras secciones veremos cómo calcular límites de sucesiones cuando se presentan indeterminaciones, esto es, cuando no podemos saber estos límites de manera automática a partir de las propiedades de las sucesiones convergentes. 1.1 Aplicación directa de la definición de límite Recordemos la siguiente Definición 1.1. Se dice que la sucesión (a n) ∞ n=1 converge hacia ∈ R si dado cualquier ε > 0 existe n 0 ∈ N (que depende de ε), tal que para todo n ≥ n 0 , |a n − | < ε. En este caso se escribe lim n→∞ a n = , o bien a n −→. Por lo tanto: Cuando queramos verificar que lim n→∞ a n = , hemos de dar ε > 0, y hemos de buscar para qué números naturales n se cumple |a n − | < ε o, en otras palabras, hay que resolver las inecuaciones (en n ∈ N), −ε < a n − < ε. Después hemos de ver si entre las soluciones encontradas están todos los números naturales mayores que uno de ellos, al que llamaremos n 0. Ejemplo 1.1. Vamos a demostrar que la sucesión (2n 3n − 7) ∞ n=1 converge a 2 3. Damos ε > 0. Hemos de averiguar qué números naturales n cumplen la desigualdad 2n 3n − 7 − 2 3 < ε.
