BENTUK ALJABAR

Pada bab ini akan dijelaskan tentang homomorfisma ring, yaitu suatu pemetaan dari suatu ring R 1 ke ring R 2 yang bersifat mengawetkan kedua operasi biner dari ring tersebut. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait sifat pemetaannya, yakni sifat injektif, surjektif, dan bijektif. Dari sebarang homomorfisma ring f : R −→ S dapat didefinisikan kernel (ker(f )) seperti halnya pada teori grup. Kernel dari homomorfisma ring merupakan ideal, sehingga dapat digunakan untuk membentuk ring faktor R ker(f ) . Pada bab ini juga akan dibahas hubungan antara ring faktor R ker(f ) dan Im(f ) yang selanjutnya dikenal dengan teorema utama homomorfisma ring.

CAYLEY DAN PERMUTASI (TUGAS)

Sebagai contoh, jika himpunan E = {1, 3, 5, 7 }maka 3  E sedangkan 2  E. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(E) = 4. Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A  B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh diatas himpunan A={2, 4, 6, 8} ekuivalen dengan himpunan E={1, 3, 5, 7}. Dalam hal ini jika A = B maka pasti A  B tetapi tidak berlaku sebaliknya. Catatan : Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa : (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {2, 4, 6, 8}, {2, 8, 4, 6} dipandang sama dengan {2, 6, 4, 8} (ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {1, 1, 3, 3, 5, 7} dan {1, 3, 5, 7, 7, 7} dipandang sama dengan {1, 3, 5, 7}. Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={2, 4, 6, 8} maka dapat diambil himpunan semestanya U = {bilangan genap} atau U = {himpunan bilangan asli} dan lain-lain. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi  atau { }. Sebagai contoh jika D={bilangan ganjil yang habis dibagi dua} maka D =  atau D = { }. Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi antar himpunan. Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai contoh jika diketahui himpunan E = {1, 3, 5, 7}dan himpunan semestanya adalah himpunan bilangan genap U maka dapat dibuat diagram Vennnya. Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari B artinya setiap anggota A merupakan anggota B. Dalam hal ini digunakan notasi A  B. Sebagai contoh himpunan A = {2, 4, 6, 8} himpunan bagian dari F = {2, 4, 6, 8, 10, 12} atau A  F. Relasi antara A dan F dapat dinyatakan dalam diagram Venn. Himpunan A bukan himpunan bagian himpunan G ={1, 3, 6, 8} atau A  G karena ada anggota A (misalnya 1) yang bukan anggota G. Perlu dicatat bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan, sehingga   A. Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan adalah 2 A . Sebagai contoh himpunan H={1, 2} maka 2 H ={,{1},{2},{1,2}}. Dalam hal ini n(2 A ) = 2 n(A) = 2 2 = 4. Himpunan A memuat himpunan B yang diberi notasi A  B berarti B  A. Sebagai contoh himpunan A ={1, 3, 5, 7} memuat himpunan K={1, 3}atau A  K. Dua himpunan A dan B dikatakan sama (yang dinotasikan dengan A=B) jika A  B dan B  A. sebagai contoh { x | 5x-15 = 0 } = { 3 }. Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong dan A  B=. Sebagai contoh himpunan A={1, 3, 5, 7} saling asing dengan himpunan E={2, 4, 6, 8}. Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A. Notasi komplemen A adalah A C . Secara matematik dapat ditulis sebagai A C ={x | xU dan xA}. Sebagai contoh jika U = {1, 2, 3,…, 10} dan A = {3, 5, 7} maka A C ={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}. Relasi antara himpunan A dan komplemennya dapat dinyatakan dalam diagram venn berikut: 4 Dalam hal ini U C = dan  C =U. Gabungan dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan adalah A  B. Secara matematika A  B={x | xA atau xB}. Sebagai contoh jika A={a, i, e} dan B={i, e, o, u} maka AB={a, i, e, o, u}. Dalam hal ini berlaku sifat A  (A  B} dan B  (A  B}dan juga A  A C = U. Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini digunakan notasi A B. Secara matematik A  B ={x | x  A dan x  B } dan dapat dibuat diagram Venn untuk irisan. Sebagai contoh jika A={2, 3, 5, 7} dan B={2, 4, 6, 8}maka A  B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A  B)  A dan (A  B) 

Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional dengan pentingnya belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku materi pokok (modul) mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Khusus dalam sajian sekarang kita akan mengawalinya dengan salah satu konsep dasar logika matematika yang disebut pernyataan atau proposisi (prepotitio).