Solución Numérica de EDOs de Primer Orden

En esta práctica se utilizará el método de Euler, el cual es la técnica más simple para aproximar soluciones de una ecuación diferencial, y el método de Runge-Kutta de cuarto orden, conocido como "RK4", desarrollado por Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. A continuación se presentan las versiones que pueden ser utilizadas por el estudiante para programar los métodos:

Dada una ecuación diferencial, la primera pregunta que se presenta es ¿cómo hallar sus soluciones? Por cerca de dos siglos (XVIII y XIX) el esfuerzo de los matemáticos se con-centró en resolver ecuaciones diferenciales originadas en problemas de mecánica, geometría etc. Mediante técnicas de cálculo diferencial e integral se buscaba expresar la solución en términos de funciones elementales; es decir, como combinaciones de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, sus inversas, y sus integrales y algunas series. Las solucio-nes obtenidas así se podrían llamar soluciones clásicas (En inglés se llaman cerradas). Poco a poco se hizo claro que sólo para muy pocas ecuaciones diferenciales se pueden obtener soluciones clásicas. En esta guía estudiamos algunas técnicas de integración para la búsqueda de soluciones de ecuaciones de primer orden. A grandes rasgos el esquema es el siguiente. Dada una ecuación de primer orden se trata de llevarla a uno de los modelos: separable, lineal, exacta,. .. mediante cambios de variables y/o operaciones algebraicas 1. Variables separables Estas son ecuaciones diferenciales del tipo dx dt = g(t) h(x) (1) donde g(t) y h(x) son funciones continuas en intervalos. En general, la técnica formal de separación de variables consiste en llevar la ecuación (1) a la forma 1 h(x) dx = g(t) dt. Integrando tenemos 1 h(x) dx = g(t) dt + c, lo que da en general un relación implícita entre x y t. Alternativamente, si se busca x = x(t) tal que x(t 0) = x 0 se puede proceder como sigue. La ecuación se escribe 1 h(x(t)) x (t) = g(t). Se integra entre t 0 y t a ambos lados para obtener t t 0 1 h(x(s)) x (s) ds = t t 0 g(s) ds.

Los métodos numéricos son útiles para resolver problemas de transferencia de calor, dinámica de fluidos, y otras ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que modelan problemas físicos; sobre todo cuando los mencionados problemas no pueden ser resueltos por medio de técnicas de análisis exacto ya que presentan complejas geometrías, complicadas condiciones de contorno o iniciales, o bien, involucran ecuaciones diferenciales no lineales.

Muchas veces nos encontramos con ecuaciones que no podemos resolver analíticamente en este paper se presentan diversos métodos para encontar su solución

Resumen Introducción. Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales: métodos predictivoscorrectivos; métodos de Runge-Kutta y método de la serie de Taylor. Comparación entre méto dos. Conclusiones.

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