UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
Diana RomeroParte I: EDO lineal de segundo orden-Método de Reducción. 1. Pruebe que los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en R. a) f (x) = 1, g(x) = x. b) f (x) = x, g(x) = xe x. c) f (x) = e r 1 x , g(x) = e r 2 x ; r 1 = r 2. d) f (x) = sen x, g(x) = cos x. e) f (x) = sen x, g(x) = sen(2x). f) f (x) = sen x, g(x) = x. g) f (x) = sen x, g(x) = e x. h) f (x) = e x cos 2x, g(x) = e x sen 2x. i) f (x) = e x cos 2x, g(x) = e 2x cos 2x. j) f (x) = x m , g(x) = x n ; m = n. 2. Sean y 1 e y 2 soluciones de la ecuación de Bessel x 2 y + xy + (x 2 − n 2)y = 0 en el intervalo 0 < x < ∞, con y 1 (1) = 1, y 1 (1) = 0, y 2 (1) = 0 e y 2 (1) = 1. Obtenga W (y 1 , y 2). 3. Verifique si la función y 1 (x) indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. En caso de serlo determine la solución general de la ecuación. a) (x 2 − x)y + (3x − 1)y + y = 0 (x = 0, 1), y 1 (x) = (x − 1) −1. b) x(x − 2)y + 2(x − 1)y − 2y = 0 (x = 0, 2), y 1 (x) = 1 − x. c) xy − y − 4x 3 y = 0 (x = 0), y 1 (x) = e x 2. d) (1 − x 2)y − 2xy + 2y = 0 (|x| < 1), y 1 (x) = x. e) x 3 y + x 2 y + xy = 0 (x = 0), y 1 (x) = sen(ln x). f) (2x + 1)y − 4(x + 1)y + 4y = 0 (x = −1/2), y 1 (x) = x + 1. g) x 2 y + xy + x 2 − 1 4 y = 0 (x = 0), y 1 (x) = x −1/2 cos x. h) x 2 y − xy + y = 0 (x = 0), y 1 (x) = x ln x. i) (4 cot x)y + (4 − sen x)y − y = 0 (x ∈ (0, π)), y 1 (x) = sen x. 4. La ecuación diferencial xy − (x + n)y + ny = 0 es interesante pues tiene una solución exponencial y una solución polinomial. a) Verifique que una solución es y 1 (x) = e x .
