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Ivan Alexander JaimesAplicaciones ecuaciones diferenciales de primer orden Crecimiento o decaimiento exponencial 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en seis años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? 2. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 400 y aumenta el 12 % en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? 3. Cuando t = 0, habían 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 4 horas, esa cantidad disminuyó al 5 %. Si la razón de desintegración, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule el período medio de vida de la sustancia radiactiva. 4. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un período medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %? 5. Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500 organismos (bacterias), un día después de haber sido embotelladas y al segundo día se encuentran 8000 organismos ¿Cuál es el número de organismo en el momento de embotellar la leche? Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al número de organismos en cualquier momento. 6. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el límite saludable. A los cuántos días, después de elaborado, vence el alimento. Considere que la tasa de crecimiento es proporcional al número de organismos en cualquier momento. 7. En una cueva de Africa se encontró un fósil humanoide junto con los restos de una fogata. Los arqueólogos creen que la edad del fósil es igual a la de la fogata. Se ha establecido que solamente un 1.5 % de la cantidad original de carbono catorce (14 C) queda en la madera quemada en la fogata. ¿Cuál es la edad del fósil? Suponga que la tasa de descomposición del carbono catorce es proporcional al carbono presente en cualquier momento. Además tome el tiempo de vida media del 14 C como 5730 años. 8. La vida media de un elemento radioactivo es de 5270 años. Supóngase que un accidente nuclear ha dejado que el nivel del elemento radioactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? (Ignoramos la posible presencia de otros elementos radioactivos). 9. El problema con valores iniciales dA/dt = kA, A(0) = A 0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. (a) Demuestre que, en general, la vida media τ de la sustancia es τ = −(ln 2)/k. (b) Demuestre que la solución del problema con valores iniciales del inciso (a) se puede escribir como A(t) = A 0 2 −t/τ. (c) Si una sustancia radiactiva tiene la vida media τ dada en el inciso (a), ¿cuánto tiempo le tomará a una cantidad inicial A 0 de sustancia decaer a A 0 /16? Rta: t = 4τ .
