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Abstract
La topología estudia propiedades geométricas fundamentales que quedan inalteradas cuando estiramos, retorcemos o cambiamos de cualquier manera el tamaño y forma de un objeto. Estudia figuras lineales, superficies o sólidos; desde toros y nudos a redes y mapas. Otro nombre de la topología es analysis situs. A diferencia de la geometría de Euclides, Lobatchewsky, Riemann y otros, que mide longitudes y ángulos, y se llama por ello métrica, la topología es una geometría no métrica, o no cuantitativa. Sus proposiciones son ciertas, tanto para un objeto hecho de goma como para las figuras rígidas de la geometría métrica. Los matemáticos usan la palabra transformación para describir cambios de posición, tamaño o forma, y la palabra invariante para describir las propiedades que no son afectadas por estos cambios. En la geometría métrica ordinaria, se dice que las propiedades son invariantes bajo la transformación de movimiento. Se supone que el movimiento no tiene un efecto de distorsión; mi lápiz conserva sus dimensiones al moverse sobre el papel; este libro, ni se encoge ni se expande al volver el lector sus páginas. En topología, el problema consiste en encontrar las propiedades geométricas que son invariantes bajo transformaciones de distorsión. Si se estira un triángulo hasta formar un círculo, ¿cuál de sus propiedades geométricas se conserva? El agujero: ¿está "dentro" o "fuera" de la Rosca de Reyes? ¿Cómo puede sacarse el agujero? ¿Qué es un nudo? ¿Puede comprimirse dentro de una esfera un cilindro con un agujero a su través? ¿Es posible hacer una botella sin cantos, ni dentro ni fuera? Éstos son ejemplos de cuestiones topológicas. La topología nació como una rama relevante de la geometría en el siglo XIX. El primer tratado sistemático en este campo fue el Vorstudien zur Topologie, publicado en 1847 por el matemático alemán Listing. Sus orígenes, sin embargo, se remontan a descubrimientos fundamentales hechos por Descartes y Euler. Los dos habían observado (Descartes en 1640, Euler en 1752) una relación fundamental entre los vértices, aristas y caras de un poliedro simple. Euler expresó este importante hecho geométrico en la famosa fórmula:
