UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES

1. Definición, propiedades y ejemplos. El concepto de espacio vectorial es sin duda uno de los más importantes de esta asignatura y deídeí Algebra Lineal. El espacio vectorial es una estructura algebraica que generaliza, hasta el mayor nivel de abstracción, la idea de los vectores geométricos del plano y el espacio euclídeos ordinarios, así como las magnitudes vectoriales que aparecen en Física; esencialmente, son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar entre sí, y multiplicar por números. Son numerosímos y muy variados, como ya puede verse desde los primeros ejemplos, los espacios vectoriales que aparecen de manera natural en distintas ramas de las matemáticas. Todo espacio vectorial lleva siempre asociado un conjunto con estructura de cuerpo, cuyos ele-mentos llamaremos escalares, que jugarán el papel de números. Los elementos del espacio vectorial serán los vectores. Nota.-En la siguiente

VECTOR Las cantidades como: longitud, área, volumen y temperatura se pueden determinar por un solo valor, su magnitud. Pero el desplazamiento de un coche, la velocidad y la fuerza además de su magnitud, se requiere de la dirección, a estos últimos los definiremos como vectores libres.

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 .

1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto no vacío y +, · son dos operaciones del tipo + : V × V → R, · : R × V → V a las que llamaremos 'suma de vectores' y 'producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando

análisis matemático V

análisis matemático V

MATEMÁTICAS I 9 95 5 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. MATEMÁTICAS I 9 96 6 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. MATEMÁTICAS I 9 98 8 1 2 n … λ λ λ , , , son los "coeficientes" de la combinación lineal. Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. MATEMÁTICAS I 1 10 00 0 10 03 3 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales MATEMÁTICAS I 1 10 05 5 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales MATEMÁTICAS I 1 10 07 7 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. MATEMÁTICAS I 1 10 08 8 1 2 n x x … x , , , en la base B será: Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. MATEMÁTICAS I 1 11 12 2

Se ha visto que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado de números reales. De manera análoga, cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de números reales ( , , ). Los vectores de la forma ( , , ) constituyen el espacio ℝ .