Una perspectiva sobre la demostración

Introducción Desde sus inicios, la lógica ha sido un intento de mecanizar o de sistematizar los procesos de razonamiento. Esta idea es por lo menos paradójica puesto que, si la habilidad de razonar se ha destacado siempre como lo que distingue al ser humano de las demás especies vivas, entonces lo que la lógica pretende es mecanizar el rasgo más humano. A pesar de ello, el desarrollo de los procesos de sistematización del pensamiento ha sido una constante, sobre todo desde la segunda mitad del siglo XIX, aunque sus orígenes, como los de casi todo, están en la antigua Grecia; los griegos ya sabían que el razonamiento es un proceso basado en esquemas o patrones y que, al menos parcialmente, está gobernado por leyes. Aristóteles, por ejemplo, descubrió las leyes de los silogismos y Euclides las de la geometría; pero tuvieron que transcurrir muchos siglos para que ocurrieran otros progresos en la axiomatización del razonamiento. Aunque nos ocuparemos más adelante de este concepto de axiomatización, basta por ahora adelantar que un sistema de axiomas es un conjunto de leyes o de supuestos iniciales a partir de los cuales se deriva un amplio cuerpo de teoremas. A partir de un número pequeño de axiomas puede derivarse un amplio cuerpo teórico por medio de deducciones lógicas que asumen, explícita o implícitamente, la idea de que estos axiomas producen consecuencias. Los axiomas son como las reglas de un juego pues permiten las jugadas, es decir, el desarrollo del juego, y además determinan cuáles son las jugadas válidas y cuáles no lo son; si las reglas se cambian ya no se juega el mismo juego. Los sistemas de axiomas deben satisfacer varias condiciones; la primera es la consistencia: es consistente todo sistema axiomático que no se contradice a sí mismo. Hilbert, matemático alemán de la primera mitad del siglo XX, propuso otros dos requisitos para los sistemas axiomáticos: completud e independencia. Para ver si un sistema es completo se requiere de la prueba o de la demostración; por ejemplo, para saber si P es un postulado del sistema, la prueba consiste en una secuencia de postulados donde cada uno de ellos o es un axioma o es una consecuencia lógica de los precedentes; el último postulado de la secuencia sería P, que es el que se quiere probar. En otras palabras, un sistema es completo si, para cada postulado, es posible encontrar una prueba; en términos generales, si existen suficientes axiomas para probar la verdad o la falsedad de cualquier postulado concebible en el sistema. Con respecto al tercer requisito, un sistema de axiomas es independiente si ningún axioma puede ser deducido de los demás. Es muy difícil probar la completud de un sistema de axiomas ya que para ello sería necesario tomar en cuenta todas las pruebas posibles, pero existen métodos para probar la independencia y, en menor medida, la consistencia. Los matemáticos siempre han utilizado la prueba para determinar cuáles postulados son verdaderos y cuáles no. Tal vez desde Tales (siglo VI aC), la prueba o demostración ha desempeñado un papel fundamental en las matemáticas. Para dar una idea inicial de acerca de qué cosa es una prueba, tomemos una idea que estuvo vigente hasta los tiempos de Platón: que cualquier longitud o cualquier área puede expresarse por un número racional. Hipaso mostró que éste era un supuesto erróneo y que la diagonal de un cuadrado no podía ser comparada con las longitudes de sus lados; dicho en términos más actuales, que la diagonal de un cuadrado cuyos lados son racionales no tiene una longitud racional. El descubrimiento de la falsedad de este

Principia: an international journal of epistemology, 2018

Proofs contribute to mathematical knowledge in a richer way than through exclusively of their results. Then, a philosophically relevant task is to inquire how diverse demonstrations of the same result concretize that contribution. This essay compares (following a recent work by John Dawson) various demonstrations of an elementary result of number theory, regarding a specific relation: “. . . is more perspicuous than . . . ”. The main conclusion of this work aims to highlight (in the cases considered) the relevance of the analysis of the strategic and expressive contrasts and its peculiar dynamics, in the understanding of the relationship of perspicuity between proofs.

Revista científica, 2012

En este artículo se estudian los primeros sentidos que otorga un grupo de cinco estudiantes para profesor de matemáticas a la actividad de demostrar problemas matemáticos, en el contexto de la continuidad numérica de los números reales. Para dar cuenta de esto, se realizó un experimento de enseñanza, cuya duración fue de un semestre. El análsis de los datos se realizó a través de la elaboración de viñetas. Se concluye que el grupo otorga tres sentidos primitivos de lo que significa demostrar en matemáticas. Uno de ellos, remeda maneras de la demostración formal y es lo que se propone como demostración paraformal.

masscience.org, 2019

El presente artículo expone la importancia que tienen las demostraciones en el campo de las Matemáticas a través de algunos ejemplos básicos y conceptos elementales.

2010

En el presente trabajo reseñaremos algunos de los resultados de una exploración de las concepciones de los estudiantes de profesorado de matemática sobre la demostración matemática. Como base para esta investigación, se les propuso a los estudiantes, al comienzo de la asignatura geometría Euclídea del plano, tareas relacionadas con demostrar y se les entrevistó individualmente mediante preguntas abiertas. Se categorizaron las producciones de los estudiantes en cuanto a qué tipo de pruebas realizaron cada uno de ellos al comienzo del estudio de la geometría. Se analizaron las respuestas de estos estudiantes a algunas preguntas abiertas de la entrevista poniendo de manifi esto concepciones sobre el aprendizaje de la demostración matemática presentes en distintos grupos de estudiantes. Posteriormente se delinearon aspectos de las ideas de los estudiantes sobre qué significa demostrar en matemática, y si significa lo mismo en todas las ramas de esta ciencia y si esto es así en otras cie...

Las nociones de la inferencia en poblaciones finitas fueron expresadas hace más de 60 años en muchos libros clásicos como Cochran, Hansen, Hurwitz y Madow, Deming, Muthy, Des Raj y otros. La teoría de muestreo era aplicada desde la perspectiva misma de la selección aleatorizada de posibles muestras en la población finita. Dependiendo de las circunstancias prácticas, la selección se hacía de distintas maneras: muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio estratificado, muestreo de conglomerados, muestreo en dos etapas, etc. El muestreo era considerado como la actividad primaria y la estimación nunca fue considerada como una práctica separada sino como una consecuencia automática. Lo anterior se debía a que cada tipo de diseño de muestreo inducía un estimador cuyas propiedades estadísticas como el insesgamiento y la varianza eran establecidas de antemano con el diseño y así, la varianza era calculable y estimable.

ujaen.es

Ce travail se propose d'étudier le traitement de la démonstration mathématique dans les institutions scolaires à partir de l'analyse de: a) Un questionnaire à des professeurs de l'enseignement primaire et secondaire. b) Un échantillon de problèmes qui permettent d'utiliser les réponses des élèves comme indicateurs de certaines des caractéristiques des organisations mathématiques étudiées tout au long de la scolarité, en primaire, secondaire et premières années universitaires. c) Livres de texte. L'analyse met en relief l'absence de démonstrations mathématiques dans les pratiques mises en oeuvre dans la classe, ce qui renforce l'hypothèse du caractère essentiellement « monstratif » de la mathématique enseignée.

2012

Este trabajo pretende identificar, en la investigación desarrollada por Ponce de León (2007), elementos que permitan sentar las bases para crear un manual dirigido a docentes, que comunique las reflexiones y resultados de dicha investigación y al mismo tiempo brinde elementos curriculares y didácticos en torno a la enseñanza de la demostración. Así, el marco teórico se inscribe principalmente en los trabajos de Duval y su grupo (1993, 2004 a, 2004 b). Por otro lado, es establecen las condiciones de construcción del manual, en términos de consideraciones generales sobre un autor denominado como expert