Ecuaciones lineales de segundo orden
Eddier Miranda NuñezEn esta guía estudiaremos algunos conceptos básicos relativos a las ecuaciones diferen-ciales lineales así como algunas técnicas que permiten el cálculo explícito de sus soluciones en ciertos casos. Las ecuaciones lineales constituyen una clase especial de ecuaciones cuyo estudio está pro-fundamente relacionado con los conceptos deí algebra lineal. En el caso especial de las ecua-ciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en términos de funciones elementales, un hecho ya conocido por J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. Esto las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesos procesos físicos que tengan características lineales o aproximadamente lineales (teoría de pequeñas oscilaciones, teoría de circuitos eléctricos, etc.) En los procesos de linealización, las ecuaciones lineales también resultanútiles en la etapa inicial del estudio de problemas no lineales. 1. Teoría general Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función x = x(t) es una ecuación de la forma x + a(t) x + b(t) x = f (t), (1) donde a(t), b(t) y f (t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f (t) es la función nula se dice que (1) es una ecuación lineal homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales de segundo orden son x + ω 2 x = 0, movimiento armónico simple, x + γ x + ω 2 x = f (t), oscilador lineal amortiguado forzado, x + 1 t x + t 2 − n 2 t 2 x = 0, ecuación de Bessel, x + 2t 1 − t 2 x + p(p + 1) 1 − t 2 x = 0, ecuación de Legendre. Las dos primeras son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Las dosúltimas son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes variables. Una notación corta para (1) es L [x] (t) = f (t), en donde L se interpreta como un operador diferencial de orden 2, el cual actúa sobre una función 2 veces derivable x = x(t), t ∈ J, transformándola en la función L [x] (t). L [x] (t) = x + a(t) x + b(t) x. Una propiedad fundamental de las ecuaciones diferenciales lineales es la siguiente.
