Aula 19

Integra» c~ ao por partes H ¶ a essencialmente dois m ¶ etodos empregados no c ¶ alculo de integrais inde¯nidas (primi-tivas) de fun» c~ oes elementares. Um deles ¶ e a integra» c~ ao por substitui» c~ ao, explorada na aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m ¶ etodo ¶ e chamado de integra» c~ ao por partes, que exploraremos nesta aula. Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~ ao duas fun» c~ oes deriv ¶ aveis em um certo intervalo I ½ R. Ent~ ao, para cada x em I, temos [u(x) ¢ v(x)] 0 = u 0 (x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v 0 (x) Assim sendo, Z [u 0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)] dx = u(x)v(x) + C ou seja, Z v(x)u 0 (x) dx + Z u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) + C Podemos escrever ainda Z u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) ¡ Z v(x)u 0 (x) dx (16.1) aqui considerando que a constante gen ¶ erica C j ¶ a est ¶ a impl ¶ ³cita na ¶ ultima integral. Sendo u = u(x) e v = v(x), temos du = u 0 (x) dx e dv = v 0 (x) dx, e passamos a f ¶ ormula 16.1 µ a forma abreviada Z u ¢ dv = u ¢ v ¡ Z v ¢ du (16.2) As f ¶ ormulas 16.1 e 16.2 s~ ao chamadas f ¶ ormulas de integra» c~ ao por partes. 138

-O que é Cálculo Numérico?

Mesmo quando os métodos de fabricação eram bastante rudimentares os artesãos da Antigüidade, na Ásia e, mais tarde, na Europa medieval, conseguiam fabricar o aço. O aço daquela época chamava-se "aço de cementação". Era uma liga de ferro e carbono obtida aquecendo-se o ferro em contato com um material carbonáceo durante um longo tempo. O aço de Wootz, da Índia, o aço de Damasco e os aços de Toledo, na Espanha, são exemplos desse tipo de aço. Como você deve se lembrar, o problema desses artesãos era que eles não conseguiam produzir o ferro e, conseqüentemente, o aço em larga escala. O grande salto da Revolução Industrial foi, exatamente, desenvolver os métodos corretos para fabricar aços de melhor qualidade e em quantidades que atendessem às novas necessidades das indústrias que surgiam. A partir das pesquisas, foram criadas várias maneiras de se transformar o ferro gusa em aço. Na verdade, para que isso aconteça, uma série de reações e modificações químicas acontecem dentro do gusa e elas são sempre as mesmas. O que muda é o ambiente onde essas reações acontecem e a maneira como elas são provocadas. Vários tipos de fornos são usados nesses processos. Quais são esses fornos e o que acontece dentro deles é o que você vai estudar nesta lição. O ar dá a sua graça Na aula passada, você estudou que o produto que sai do altoforno é o ferro-gusa, uma matéria-prima com grandes quantida-Pequena capacidade dos fornos. Custo operacional. Forno de indução Calor gerado por corrente induzida dentro da própria carga. Sucata de aço. Em torno de 8 ton. Fusão rápida. Exclusão de gases. Alta eficiência. Pequena capacidade dos fornos. Custo operacional. Nesta aula, você viu que o modo de se fabricar o aço depende da matéria-prima que você tem à disposição: gusa líquido pede fornos com injeção de ar; sucata pede fornos elétricos. O tipo de aço que você tem, após a fabricação, também depende desses processos: fornos a ar produzem aços-carbono comuns; fornos elétricos produzem aços de melhor qualidade, cuja composição química pode ser mais rigorosamente controlada.