TD Bayesien correction

Exercice 1 On considère un escalier de m marches, m ≥ 0, que l'on peut gravirà l'aide de différents sauts de α marches, α ∈ {α 1 , α 2 , . . . , α p }, α i > 0. On va supposer, par commodité, que les α i sont rangés par ordre croissant. Une façon de gravir m marches en exactement s sauts, s ≥ 0, correspond alorsà une suite (α i 1 , α i 2 , . . . , α is ). On veut calculer N (s, m) le nombre de façons différentes de gravir m marches en exactement s sauts, c'est-à-dire le nombre de suites distinctesà séléments de {α 1 , α 2 , . . . , α p } dont la somme deséléments vaut m.

Correction exercice 1 1) f : ℝ 3 → ℝ 2 , f ((x, y, z)) = (x – y, y + 2z) f ((1, 0, 0)) = (1, 0), f ((0, 1, 0)) = (–1, 1) et f ((0, 0, 1)) = (0, 2). Donc 2) f : ℝ 2 → ℝ 2 , f ((x, y)) = (4x – 3y, 5x + 4y) f ((1, 0)) = (4, 5), et f ((0, 1)) = (–3, 4). Donc 3) f : ℝ 2 → ℝ 3 , f ((x, y)) = (x + y, 2(x + y), 3(x + y)) f ((1, 0)) = (1, 2, 3), f ((0, 1)) = (1, 2, 3). Donc 4) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f ((x, y, z)) = (y + z, x + y + z, x) f ((1, 0, 0)) = (0, 1, 1), f ((0, 1, 0)) = (1, 1, 0) et f ((0, 0, 1)) = (1, 1, 0). Donc

Exercice 1. Dans cet exercice, nous n'utiliserons que le logiciel R pour faire les calculs des valeurs critiques des quantiles de Fisher. Question 1. La somme des carrés dûe à la régression pour l'ensemble des trois variables est égale à : 981, 326 + 190, 232 + 129, 431 = 1300, 989. Nous pouvons également calculer la somme ainsi : 1743, 281 − 442, 292 = 1300, 989. Question 2. La proportion de la variation dans le niveau d'anxiété est égale à : R 2 = SC reg SC tot = 1300, 989 1743, 281 = 0, 746, ou encore 74, 60%. Question 3. Pour répondre à cette question, il faudrait s'assurer que les trois hypothèses du modèle sont vérifiées. Malheureusement nous ne pourrons pas le faire ici puisque nous ne connaissons pas les valeurs des observations. Donc nous allons supposer que les trois hypothèses sont vérifiées mais dans la pratique il faudrait les vérifier ABSOLUMENT. Pour conclure que dans l'ensemble les trois variables ont un effet significatif sur le niveau d'anxiété, il faut faire un test de Fisher. Le modèle est : Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε, où ε est la variable résiduelle sur laquelle les trois hypothèses sont faites. L'hypothèse nulle : H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 contre l'hypothèse alternative : H 1 : ∃j = 1, 2, ou 3, β j = 0. Calculons la statistique du test de Fisher observée qui est égale à : F obs = SC reg /ddl SC res /ddl = 1300, 989/3 442, 292/(22 − 3 − 1 = 18) 17, 649. Le quantile de la loi de Fisher critique lu dans la table des quantiles de la loi de Fisher à 95% est égal à : F c,3,18 = 3, 159908. La statistique du test de Fisher observée est plus grande que le quantile de la loi de Fisher critique, à 95%. Donc nous sommes dans la zone de rejet 1