Ramifications minimales

2011

La plupart des règles de vote sont fondées sur un principe de minimisation. De manière similaire, dans la thématique de recherche de la représentation des connaissances et du raisonnement, de nombreux opérateurs de changement des croyances ou de traitement de l'incohérence sont fondées sur un principe de minimisation. Or, de façon surprenante, la minimisation n'a pas joué de rôle majeur dans la thématique de l'agrégation de jugements, en dépit de sa proximité avec la théorie du vote et avec les approches logiques de la représentation des connaissances et du raisonnement. Nous faisons un premier pas dans cette direction et étudions six règles d'agrégation de jugements ; deux d'entre elles, fondées sur des distances, ont déjà été étudiées ; les quatre autres sont nouvelles, et sont toutes inspirées à la fois de la théorie du vote et de la représentation des connaissances. Nous étudions les relations que ces règles entretiennent entre elles, et donnons quelques-unes de leurs propriétés.

Journal of Pure and Applied Algebra, 1993

G6mez Tato, A.. Modtles minimaux rtsolubles, Journal of Pure and Applied Algebra 85 (1993) 43-56.

sites.rapidus.net

Henri Wittmann Syndicat des professeurs de l'Université du Québec à Trois-Rivières ... 1. La controverse et ses rebondissements Le débat qui nous anime a une histoire. Au commencement sont les questions qu'a soulevé chez les romanistes dès le 19e siècle la diffusion du ...

Les Enjeux de l'information et de la communication 2016/2 (N° 17/2), pp. 91 à 112, 2016

La Commission européenne a présenté le 25 mai 2016 une proposition de révision de la Directive sur les services de médias audiovisuels (Directive SMA), faisant suite à un important travail de consultation et d’évaluation entrepris en 2015. La publication de cette proposition, qui a fait l’objet d’un premier examen par le Conseil des Ministres le 31 mai 2016 et doit être examiné dans les mois à venir par le Parlement européen, puis transposée en droit national par les Etats membres, constitue un moment important dans l’évolution de la réglementation européenne, à l’heure où les offres de service à la demande sont arrivées à maturité et où les pratiques des consommateurs, en particulier des jeunes, évoluent très rapidement.

Journal of Pure and Applied Algebra, 1994

Roig, A., Modeles minimaux et foncteurs derives, Journal of Pure and Applied Algebra 91 (1994) 231-254. Minimal models are often used to calculate derived functors. For instance, the tor functor, homotopy groups of augmented dgc algebras or the differential tor functor. In this paper we prove that this is an intrinsic property of minimal objects, not depending on the particular categories or functors involved. This is done by proposing an axiomatic definition of these minimal objects which includes the known examples and turns out to be a sufficient condition for the calculation of derived functors.

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, 1989

Séminaire de Théorie spectrale et géométrie (Chambéry-Grenoble), 1988-1989, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Séminaire de Théorie spectrale et géométrie » implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire de théorie spectrale et géométrie CHAMBÉRY-GRENOBLE 1988-1989 (53-91) SURFACES MINIMALES DANS par Celso COSTA 1. Introduction Lagrange en 1760, trouve l'équation différentielle d'une surface minimale. Soient D c R 2 un domaine simplement connexe avec coordonnées (ui, m) € D , ƒ : D-* R une fonction de classe C 2 et X : D-» R 3 la surface donnée par le graphe de ƒ A'(«i,« 2) = (Ul,1f2, Alors l'aire A de X est donnée par A = / v /det(<7, i)du,£fu2 = / Jl + fl,+ JD JD V Soit 77:1?-• R une fonction de classe C 2 telle que rj/dD = 0. Alors F : (-e, e) x 15-• R 3 , F(/, ui, « 2) = ƒ(n\, ti 2) + <T?(UI , u 2) définit une variation à un paramètre de ƒ , avec dD fixe. On écrit ƒ ' : D-R 3 , ƒ *(t/,, u 2) = F(t, u,, U2) , alors l'aire A(t) de la surface X t définie par le graphe de ƒ' est donnée par A(t)= f [i+iflf^ifU JD Nous avons, Alors, en utilisant la notation classique P = / ttl , ? = /« 2 et u; = 54 C. COSTA on trouve que d DÉFINITION 1.-Si A'(0) = 0, pour toutes les variations 77, avec rj/dD = 0, on dit que X est une surface minimale. On observe que Alors A\0)= f [A(£,) + jL(!,)] rfui c*u 2-f \» (P)+ 0 (1)-i J D iou\ w ' oui iu 'J J D idu\ x w / oui v u» 7 J Le premier terme du deuxième membre de l'égalité ci-dessus est nul. Pour montrer cela, on utilise la 1-forme différentielle C (ï)i (Nous avons Alors, le théorème de Stokes et ij/dD = 0 entraînent que L 'D Donc, si X est une surface minimale, nous avons A'(0) =-ƒ [-/-(£) + ^-(-)h^i^2 = o. JD Cela entraîne que 01) »()+ (OU lu 7 ÖU2 «> On peut obtenir cette dernière conclusion par des arguments canoniques. Si en un point p G D nous avons ^-(^) + ^fjC^) > 0 , par exemple, alors il existe un petit disque Dip) centré sur p tel que la même inégalité est encore vraie. Soit V(p) un autre disque tel que D(p) C V(p) c D. Alors on peut trouver une C 2-fonction rç : D-> R avec 0 < 77 ^ 1 , r]/D(p) = 1 et t]/D(p)-V(p) = 0. Avec cette fonction rj nous obtenons A'(0) > 0. Donc (1.1) est vraie. L'équation (1.1) développée nous donne l'équation de Lagrange pour les surfaces minimales : (1.2) (1 + ft x)fu 2 u 2 + d + /2 2)/u,«,-2f Ul f u J UlU2 = 0. Surfaces minimales dans R 3 55 2. Surfaces minimales et courbure moyenne Mcusnier en 1776 montre que l'équation (12) est équivalente à ce que la courbure moyenne H de la surface X soit nulle. Soit X : D-• R 3 , une fonction de classe C 2 , X = (X\ % Xi,Xi) telle que (2.1) X mt AX %t ÏO. Alors, À" définit une surface locale, S = X(D), immergée dans R 3. L'espace tangent à 5 , Tx(p)S , au point X(p), p G D , est engendré par À' UI et-Y tt2 ; T xip) S = {aX Ul + bX Uî G R 3 ; a,b G R}. Une courbe a de classe C k , k ^ 1 dans R 3 , c'est simplement une fonction <* : [-e,£]-> R 3 de classe C*. Soit a : [-£,e]-> R 3 , de classe C 2 , telle que a(*) G 5 , Vt et Q(0) = X(p) = q e S. Alors, de (2.1), si e > 0 est suffisamment petit il existe une courbe 0 : [-e,e]-> D f 0(f) = (IM(<),«2(0) telle que X(t) = X(/5(<)) = o(t). Le vecteur tangent à la courbe a(t) au point a(<o) est donné par (2.2) ^Uto La longueur L de a est donnée par l'intégrale On peut définir une fonction s : [-e,e]-• [0, L] , par Nous avons s'(<) = |^f| > 0. Si la courbe a est régulière (a'(<) ^ 0 , V<) alors s'(t) > 0 , la fonction s est strictement croissante et on peut définir l'inverse t(s) , t : [0, L]-+ [-£,e]. Nous avons le diagramme [0,1] ^[-£ , £ ] qui définit une autre courbe X(s) : [0, L]-• R 3 sur 5. Nous avons dX dXdt ,dX x t Dans cette condition, on dit que la courbe X(s) est paramétrisée "par longueur d'arc". On a aussi et (2.3) D'autre part, soit la fonction N : S-* S 2 donnée en coordonnées locales (ui,u 2)€Z?par, 56 C. COSTA N définit un champ de vecteurs normaux sur la surface S. On appelle N la fonction normale de Gauss. On observe que (N, X u) = (N, X v) = 0. Alors, de (2.3), on trouve qu'au long de la courbe X(s), on a où Si on fait le calcul pour la valeur t = 0, correspondant au point a(0) = X(p) G 5 et en rappelant que, que ^ = ^($r\ alors Le numérateur de l'expression (2.4) est une forme quadratique sur l'espace tangent Tx(P)S. La matrice de cette forme dans la base {X Ul , X U1 } est donnée par les scalaires bij. On appelle cette forme la deuxième forme fondamentale TTV(P) pour la surface S au point X(p) = q e S TTÇ : TgS-> R , Kq(v) = ^ bijViVj , v = i>i-Y Ul + vzX ul. On observe que la 2 x 2 matrice (6 tJ = (bij(q)) dépend seulement de X u. et X UiUJ au point g = X(p). Donc TT 9 dépend de la façon dont 5 est immergée dans R 3 dans un voisinage de q = X(p). Le dénominateur de l'expression (2.4) est une forme quadratique aussi sur T q S , on appelle cette forme, la première forme fondamentale I q de la surface 5 au point X(p) = q , I g :T g S-+R , J 9 (r) = {D onc / ç mesure la longueur des vecteurs tangents à 5 au point X(p). { ,) est le produit scalaire canonique dans l'espace R 3. A cause de l'homogénéité par rapport à u'j(0) du deuxième membre (tout entier) de (2.4), on voit que ce membre dépend seulement de la direction déterminée par le vecteur v-' u[(0)X Ul + U2(0)À' U2. Alors si T 6 Tx(P)S est un vecteur unitaire, on définit la courbure normale k(T) de 5 au point X(p) dans la direction T , par (2 5) HT) = t-N) = Si T varie en Tx(p)S , avec \T\ = 1 , on obtient les valeurs k\ = max k(T) , hi = min HT) , T T Surfaces minimales dans R 3 57 qu'on appelle les courbures principales de la surface 5 au point X(p). Comme ces courbures sont, respectivement, le maximum et le minimum du quotient de deux formes quadratiques, alors les vecteurs directions v\,v2 G Tx{p)S , \v\\ = (t^l = 1 tels que kj = k(vj) , j = 1,2 , sont orthogonales. On définit alors la courbure moyenne if e la courbure Gaussienne K au point X(p) par, respectivement, (2.6) H = ^Y 1 et /^ = *i • *a-Maintenant, on retourne à l'équation (2.4) pour obtenir l'expression pour H et K. Les valeurs maximum et minimum k\ et k% sont les racines \i de l'équation det(6 tJ-figij) = 0. Nous avons, alors que (2.7) dtl(g ijf x 2-(<722&ii + 9n622-2012&12)// + det(6 0) = 0. Pour la somme et le produit des racines nous avons u £11622 + 322611-2<7i2&i2 T f det(6 tJ) Jtl = r~;-iV = Soit une surface À' : I?-» R 3 donnée par le graphe d'une C 2-fonction ƒ : D-* R. Donc, X(u\, U2) = («1, «2, ƒ (MI , «2)) • Nous avons X U1 = (1,0, ƒ",) , A' nî = (0,1, ƒ",), X UIU1 = (0,0,/" lttI) == ("iU, Ju\U%) i-*U2«2 ^ ("î^W Alors, comme 0 tJ = (X«,,X U>) , iy = (^,X«,. tt>) , i,j = 1,2 , nous trouvons que 011 = 1 +(/ui) 2 , <M2 = 021 = fui fut , 022 = 1 +(/uj) 2 &11 = ~/tii«i , &12 ~bz\ =-/«I«Î , &22 =-Ajtt 2 • Ainsi, nous trouvons (2.9) 011622+022611-2012612 = ^{[l+(/« 1) 2 ]/« 2 « t +[l+(/« 2) 2 ]/«i«,-2/«,/« 2 /« 1 « î }. Cette dernière expression avec les résultats (2.8) et (1.2) montrent que la surface 5 donnée par le graphe est minimale (un point stationnaire pour la fonction aire) si et seulement si sa courbure moyenne H est nulle partout. Maintenant, si X : D-» R 3 , X = {X\, A'2, X3) est une surface dans R 3 , à cause de la propriété X UI A X U2 # 0 , pour chaque point p € D on peut trouver un voisinage V(p) c D tel que X/V(p) soit injective et le morceau de surface S\ = X(V(p)) a une projection injective sur le plan tangent T X { P)S. Alors S\ est donnée par le graphe d'une 58 G COSTA fonction définie dans un voisinage du plan Tx{ P)S. Après une isométrie de déterminant positive de l'espace R 3 , on peut supposer que Tx(g) est parallèle au plan X$ = 0. C'est facile de voir qu'une isométrie de déterminant positive ne change pas la première forme fondamentale (longueur des vecteurs) ni la deuxième forme fondamentale (la façon comme la surface est immergée dans R 3). Donc on peut élargir la définition de surfaces minimales : (voir définition 1). DÉFINITION 2.-Soit X : D-> R 3 une fonction de classe C 2 tel que X UI A X ut ^ 0. Alors la surface immergée S = X(D) est une surface minimale si et seulement si H = 0. 3. Exemples de surfaces minimales On regarde les problèmes suivants : (A) Trouver une surface minimale donnée par le graphe d'une fonction de classe C 2 , ƒ, de telle façon que les courbes de niveau de ƒ sont des droites. (B) Quelles sont les surfaces minimales de révolution? (C) Trouver une solution de l'équation (12) par la méthode de séparations de variables. Solution du problème (A) (Meusnier 1776), Soit X : D-* R 3 , X(u\,u2) = (ui,U2,/(tM,U2)) une surface minimale ayant la propriété additionnelle que toutes les courbes de niveau sont des droites. De l'équation des surfaces minimales (1.2) nous avons que (3.1) A/ = /umi + /u 2 «2 =-(/tfl) /u 2 «2 "(fui) /uittl + 2/ui/u2./tUU2 où A est l'opérateur laplacien dans R 2. Soit une courbe de niveau a(s) de la surface. Comme a est une droite parallèle au plan de coordonnées (it\, ui), il existe O<0<?retpo€<D tels que cc{s) = po + $(cos 0, sin 8) , ƒ(a(s) = cte. Alors, le calcul de la dérivée première et de la dérivée deuxième de /(cv(s)) = cte par rapport à s, donne les équations, cos 6 ƒ", + sin 0 f Vl = 0 et cos 2 9f Ul ui + 2 cos d • sin 0f uit , 2 + sin 2 6f U2U2 = 0. Si on élimine 9 dans ces équations (en rappelant que 0 < 9 < TT) et en utilisant (3.1) on trouve que A ƒ = 0-Surfaces minimales dans R 3 59 Finalement, la seule solution du problème A ƒ = 0, avec la condition que les courbes de niveau soient des droites, est que /(ui,u 2) = 4arctg Ul " %B , O,6,>1,JBGR. Le graphe de cette fonction est un plan (-4 = 0) ou la portion d'un hélicoïde d'équation uia = vi cos t'2 U2-6...

2004

Quand ils évoquent les productions minimalistes, les théoriciens de l’architecture2 n’hésitent pas à reprendre la formule imaginée par Roland Barthes – qui misait alors sur l’avènement d’une neutralisation des traits de l’écriture historique, en s’appuyant notamment sur l’écriture épurée d’un Blanchot ou d’un Camus et renforcent ainsi l’idée qu’il existerait bel et bien un degré zéro de l’écriture, qu’elle soit littéraire ou architecturale. Comme cette analogie, plusieurs fois risquée dans la littérature spécialisée pour définir cette « tendance », n’a, à notre connaissance, encore fait l’objet d’aucun examen sérieux, il nous a paru intéressant d’approfondir la question, cela d’autant que le minimalisme, à partir du champ architectural du moins, se définit comme un « signe des temps »3 et même, à croire John Pawson, son théoricien le plus en vogue, comme un véritable « way of life»4.