2. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Estudiante: Martinez Riofrio Oliver Alexander Fecha: 25/11/2015 Preparado por: Carlos Albán Tinoco En el problema , resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo más largo en el que está definida la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales.

Una vez más pongo en el ciberespacio, para compartir con mis amigos cibernautas mis notas de clase, con las cuales creo firmemente que cumplo con mi propósito de llevarles asignaturas que contribuyan en la formación del matemático virtual y con el contenido estoy siendo fiel a mi propósito inicial, de un aprendizaje por medios virtuales.

Es un método para hallar una solución particular de la ecuación lineal completa [2], que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. No pueden darse reglas en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes variables, pero sí en el caso de coeficientes constantes y el 2º miembro h(x) de la ecuación de algunos tipos especiales. Antes de dar unas reglas, se consideran algunos ejemplos. Ejemplo 1: Hallar una solución particular de 1 x 6 y 3 ' y 2 " y + = + +. Obsérvese que al aplicar L d d d d = + + 2 2 2 3 x x a cualquier polinomio de primer grado, se obtiene otro polinomio de 1 er grado. Por tanto es lógico considerar una solución de la forma y p = Ax+B. Sustituyendo en la ecuación diferencial: L[y p ] = 0 + 2A + 3(Ax + B) = 3Ax + (2A + 3B) y p será solución si: 3Ax + (2A + 3B) = 6x + 1 ∀ x ∈ ℜ A B = + = ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ = = − ⎧ ⎨ ⎩ 1 x 2 y p − = Ejemplo 2: Hallar una solución particular de 8 x 4 ' y 2 " y + = + Si se actúa como en el caso anterior, se probaría una solución particular, de la forma y p = Ax+B. Resulta: L[y p ] = 0 + 2A que no puede identificarse con 4x+8. Esto es debido a que, al no existir término en y en el primer miembro de la ecuación, cuando se aplica el operador L a un polinomio P m (x) de grado m se obtiene otro polinomio de grado m-1. Por tanto para obtener un polinomio de 1 er grado, habrá de probarse un polinomio de 2º grado, con cualquier término independiente (p.ej.: 0). Por ello se probará una y p de la forma: y p = Ax 2 +Bx = x(Ax+B) Sustituyendo en la ecuación diferencial: L[y p ] = 4x + 8 ⇒ 2A + 2 (2Ax + B) = 4x + 8 ∀ x ∈ ℜ Por tanto: Luego: 4 4 2 2 8 1 3 A A B A B = + = ⎧ ⎨ ⎩ ⇒ = = ⎧ ⎨ ⎩ x 3 x y 2 p + = Ejemplo 3: Hallar la solución general de: x 2 e 6 y 4 ' y 3 " y = − − Ecuación característica de la correspondiente homogénea: r 2-3r-4 = 0 : Raíces: r 1 = 4 r 2 =-1 Solución general de la homogénea: y H = c 1 e 4x + c 2 e-x

Forma: ax + b = 0; a ≠ 0. Donde: "x" es la incógnita de la ecuación, además: C.S. =-b a Análisis de la ecuación paramétrica ax + b = 0 Se presentan los siguientes casos: • Si: a ≠ 0 ⇔ la ecuación es compatible determinado también llamada ecuación consistente determinado (tiene un número finito de soluciones, para la ecuación analizada tiene solución única) • Si: a = 0 ∧ b = 0 ⇔ la ecuación es compatible indeterminado también llamada ecuación consistente indeterminado (tiene infinitas soluciones) • Si: a = 0 ∧ b ≠ 0 ⇔ la ecuación es incompatible ó inconsistente también llamada ecuación absurda (no no tiene solución) II. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó ECUACIÓN CUADRÁTICA Forma: ax 2 + bx + c = 0; a ≠ 0. Donde: "x" es la incógnita de la ecuación. Resolución: • Factorizando: aplicar agrupación de términos, identidades ó aspa simple. • Por fórmula general: 2 1,2 b b 4ac x 2a ±-= • Completando cuadrados: formar un trinomio cuadrado perfecto. III. PLANTEO DE ECUACIONES Para resolver el problema relativo a números o cantidades desconocidos se debe expresar una información escrita en idioma normal, en el simplificado idioma de las proposiciones matemáticas, las cuales nos permiten operar con mas comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una especie de traducción de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye el argumento más útil en todo el proceso de solución. Procedimiento para resolver problemas Seguir las siguientes pautas: 1. Representación de las cantidades desconocidas o incógnitas por variables (x; y; z; etc) 2. Planteo de las ecuaciones que relacionan a las incógnitas con los datos del problema. 3. Solución de las ecuaciones planteadas, esto es determinar los valores de las variables. 4. Prueba o verificación de los valores obtenidos para ver si cumplen las condiciones del problema. IV. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ó INECUACION LINEAL Forma: ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0; ax + b < 0; ax + b > 0; a ≠ 0 Donde: "x" es la incógnita de la inecuación. Para realizar la solución, tener presente los siguientes teoremas. • a + c > b + c; a; b; c ∈ R • Si: a > b, entonces: ac > bc; c > 0 • Si: a > b, entonces: ac < bc, c < 0 • Si: a > b, entonces: a c > b c ; c > 0 • Si: a > b, entonces: a c < b c ; c < 0

AUTOR: MYRIAM STELLA ROMERO C. LICENCIADA EN FÍSICA, INGENIERA DE SISTEMAS TEMA: ECUACIÓN Y FUNCION LINEAL OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL

En los problemas 1 a 4 la familia de funciones que se proporciona es la solu-ción general de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Determine un miembro de la familia que sea solución del problema de valor inicial. 1. y = c 1 e x + c 2 e −x , (−∞, ∞) y ′′ − y = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 2. y = c 1 e 4x + c 2 e −x , (−∞, ∞) y ′′ − 3y ′ − 4y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 2. 3. y = c 1 x + c 2 x ln x, (0, ∞); x 2 y ′′ −xy ′ +y = 0, y(1) = 3, y ′ (1) = −1. 4. y = c 1 +c 2 cos x+c 3 sin x, (−∞, ∞) y ′′′ + y ′ = 0, y(π) = 0, y ′ (π) = 2, y ′′ (π) = −1 5. Dado que y = c 1 + c 2 x 2 es una fa-milia de dos parámetros de solucio-nes de xy ′′ − y ′ = 0 en el intervalo (−∞, ∞), demuestre que no se pue-den encontrar las constantes c 1 y c 2 tales que un miembro de la fami-lia satisface las condiciones iniciales y(0) = 0, y ′ (0) = 1. 6. Encuentre dos miembros de la fa-milia de soluciones del problema 5 que satisfagan las condiciones inicia-les y(0) = 0, y ′ (0) = 0. 7. Como x(t) = c 1 cos wt + c 2 sin wt es la solución general de x ′′ + w 2 x = 0 en el intervalo (−∞, ∞), demues-tre que una solución que satisfa-ce las condiciones iniciales x(0) = x 0 , x ′ (0) = x 1 está dado por x(t) = x 0 cos wt + x 1 w sin wt. 8. Use la solución general de x ′′ + w 2 x = 0 que se da en el problema 7 para demostrar que una solución que satisface las condiciones inicia-les x(t 0) = x 0 , x ′ (t 0) = x 1 es la so-lución dada en el problema 7 cam-biada por una cantidad t 0 : x(t) = x 0 cos w(t−t 0)+ x 1 w sin w(t−t 0). En los problemas 9 y 10 encuentre un in-tervalo centrado en x = 0 para el cual el problema con valores iniciales dado que tiene una solución única. 9. (x − 2)y ′′ + 3y = x, y(0) = 0, y ′ (0) = 1 10. y ′′ + (tan x)y = e x , y(0) = 1, y ′ (0) = 0 11. a) Utilice la familia del problema 1 para encontrar una solución de y ′′ − y = 0 que satisfaga las condiciones en la frontera y(0) = 0, y(1) = 1. b) La ED del inciso a) tiene la solución general alternativa y = c 3 cosh x + c 4 sinh x en