Academia.eduAcademia.edu

Geschichte der Topologie

2017, Geschichte der Mathematik kompakt

Abstract

Die Topologie ist ein relativ junges, der Geometrie verwandtes, Teilgebiet der Mathematik. Im Gegensatz zur Geometrie, wo bei Betrachtung von Objekten die metrischen Eigenschaften (Größe und Form) im Vordergrund stehen und von Interesse sind, sind typische topologische Fragen, ob ein Objekt zusammenhängend ist und, wenn ja, ob es (und wie viele) Löcher besitzt. Anders ausgedrückt: Für den Geometer werden die Objekte bezüglich isometrischer Abbildungen klassifiziert, für den Topologen bezüglich stetiger Verformungen. Man will also feststellen, welche Eigenschaften durch Homöomorphismen, stetige bijektive Abbildungen mit stetigen Inversen, erhalten werden; diese Eigenschaften werden auch topologische Invarianten genannt. Üblicherweise werden zwei Ergebnisse Leonhard Eulers im 18. Jh. als erste topologische Resultate angesehen: die Lösung des Königsberger Brückenproblems und die Entdeckung der Euler'schen Polyederformel. Beide gehören heute in die Graphentheorie, ein Untergebiet der Topologie, welches eng mit der Kombinatorik verbunden ist. Somit ist der Anfang der Topologie zugleich Anfang der Graphentheorie ([4]). Problem 4.1 (Königsberger Brückenproblem) Die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad) ist durch den Fluss Pregel zweigeteilt; im Fluss liegen zwei Inseln. Die vier Stadtteile sind insgesamt durch sieben Brücken verbunden (Abb. 4.1 links): Eine Brücke verbindet die zwei Inseln, eine der Inseln ist durch je zwei Brücken mit den Festlandstadtteilen verbunden und die andere mit je einer. Die Aufgabe lautet: Kann man einen Spaziergang durch die vier Stadtteile von Königsberg machen, sodass jede der Brücken genau einmal überquert wird?