ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Una solucion del problema de valor inicial ψ(t, X, X ) = 0 X(t 0 ) = X 0 , es una funcion derivable ϕ : I ⊂ R → R n , donde I es un intervalo abierto que contiene a [t 0 , t 0 + ] para algun > 0, tal que ψ(t, ϕ(t), ϕ (t)) = 0, para todo t ∈ I, y ϕ(t 0 ) = X 0 .

La creación de un sistema matemático consiste en la formación de una estructura lógica. Cada apartado en matemáticas es desarrollado gradualmente por un procedimiento que involucra temas ya construidos previamente con definiciones y conceptos elementales en otros campos. Para entender plenamente cualquier curso en matemáticas es fundamental tener presente una serie de asignaturas básicas como prerequisitos; que para el caso de un curso elemental de ecuaciones diferenciales serían el de cálculo diferencial e integral y las materias anteriores que lo sustentan. La cadena lógica de materias previas al curso de ecuaciones diferenciales sería: aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica y cálculo; por ello recomendamos al lector dedicar un tiempo extra para dar un repaso a los conceptos fundamentales de estas materias para que tenga una mejor comprensión y aprovechamiento de este curso.

En el estudio de fenómenos reales en los que se analiza un cambio o una variación, aparecen ecuaciones que relacionan determinadas funciones y sus derivadas. A este tipo de ecuaciones se les denomina ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales.

En la ecuación G(x, y ′ , y ′′ ) = 0 no aparece la variable y explicitamente. En estos casos se realiza el cambio de variable p = y ′ , con lo cual la ecuación se transforma en G(x, p, p ′ ) = 0 que es una EDO de primer orden. Por lo tanto, la transformación es la siguiente: