Cours et exercices corrigés

A rc h i t e c t u re d e s r é s e a u x I n f o r m a t i q u e Synthex Danièle Dromard Dominique Seret 2 e é d i t i o n Co r ri g é s d e s exe rc i c e s

NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durant les séances de cours. Les corrections données sont des corrections plus détaillées que celles fournies durant le cours (si le temps a permis de donner ces corrections). Si vous avez des questions concernant ces exercices, n'hésitez pas à envoyer un mail à votre enseignant d'analyse numérique pour lui poser une question. Si vous trouver des coquilles, des erreurs dans le présent document, n'hésitez pas à le signaler à votre enseignant par un mail. Chapitre 1 : Introduction au calcul approché Exercice 1 Montrer que 9325 s'écrit bien (10010001101101) 2 en base 2 puis reconvertir (10010001101101) 2 en base 10. Pour convertir un entier de la base 10 à la base 2 (on verra que la méthode diffère légèrement pour un nombre décimal un peu plus tard), on divise l'entier par 2 (division euclidienne) et le reste correspond au dernier chiffre de l'entier en base 2. Pour 9325, cela donne 9325 = 2 × 4662 + 1 et on itère le processus sur le quotient obtenu (jusqu'à ce qu'il vaille 1). Ainsi puisque 4662 = 2 × 2331 + 0 On peut réécrire 9325 sous la forme 9325 = 2 × (2 × 2331 + 0) + 1 = 2 2 × 2331 + 2 1 × 0 + 2 0 × 1 et 01 sont les 2 derniers chiffres de 9325 écrit en base 2. Pour enfoncer le clou, on détaille encore l'itération suivante 2331 = 2 × 1165 + 1 9325 = 2 2 × (2 × 1165 + 1) + 2 1 × 0 + 2 0 × 1 = 2 3 × 1165 + 2 2 × 1 + 2 1 × 0 + 2 0 × 1 et 101 sont les 3 derniers chiffres de 9325 écrit en base 2. On affiche ensuite le processus itératif dans son entier : 9325 = 2 × 4662 + 1 4662 = 2 × 2331 + 0 2331 = 2 × 1165 + 1 1165 = 2 × 582 + 1 582 = 2 × 291 + 0 291 = 2 × 145 + 1 145 = 2 × 72 + 1 72 = 2 × 36 + 0 36 = 2 × 18 + 0 18 = 2 × 9 + 0 9 = 2 × 4 + 1 4 = 2 × 2 + 0 2 = 2 × 1 + 0 1 = 2 × 0 + 1

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1. Examen 1 Exercice 1. Soit un ouvert connexe non vide ω ⊂ C, soit z 0 ∈ ω, et soit une fonction f ∈ O(ω\{z 0 }) holomorphe en-dehors de z 0. On suppose que f est bornée au voisinage de z 0 , au sens où il existe un rayon r > 0 assez petit avec D r (z 0) ⊂ ω et il existe une constante 0 M < ∞ tels que : sup |z−z 0 |<r z = z 0 f (z) M. On fixe z 1 ∈ D r (z 0) avec z 1 = z 0. (a) Dresser une figure illustrative complète et esthétique. (b) Montrer, pour 0 < ε 1 2 |z 1 − z 0 |, que pour tout ζ ∈ C ε (z 0), on a |ζ − z 1 | 1 2 |z 1 − z 0 |. (c) Montrer que : 0 = lim ε→ > 0 Cε(z 0) f (ζ) ζ − z 1 dζ. (d) Soient les deux points : ζ 1 := z 0 + r z 1 − z 0 |z 1 − z 0 | , ζ 0 := z 0 − r z 1 − z 0 |z 1 − z 0. Soient aussi deux quantités petites 0 < δ < ε 1 3 |z 1 − z 0 |. On construit le contour Γ δ,ε à deux trous de serrure de largeur 2δ qui partent orthogonalement du cercle C r (z 0) en les deux points ζ 1 et ζ 0 , avec contournement de z 1 puis de z 0 le long de cercles de rayon ε. Dresser une nouvelle figure esthétique dans laquelle tous ces éléments apparaissent clai-rement-couleurs recommandées ! (e) Justifier par un théorème du cours que : 0 =

same, 2019

suites