1.1.1.5 微分方程式
微分が入った方程式: $F(\qty{y^{(n)}(x)},x)=0$ Ordinary Differential Equationの略．1変数の微分方程式． Partial Differential Equationの略．偏微分を含む多変数の微分方程式． 含まれる導関数の階数の最大が $n$ の微分方程式． $y^{(j)}$ に関して線形なODEは $\sum _ {j=0}^{n}p _ {j}(x)y^{(j)}(x)=r(x)$
．特に $r(x)\equiv0$ のとき斉次という． 解 $y(x)$ を $xy$ 平面に描画したもの． $n$ 階ODEには $n$ 個の初期条件がある．例えば
$y(x _ {0})=y'(x _ {0})=\cdots=y^{(n-1)}(x _ {0})=0$ ． 初期条件で定まる $n$ 個の独立な任意定数を含む解． 初期条件を満たす解． 一般解に含まれない解． $\pdv{y^{(m)}}f(\qty{y^{(l)}})$ $(m,l<n)$
が連続なら特殊解が一意に存在．当てずっぽうで得た特殊解が唯一の特殊解であることを保証する．実験的に解を考えることは有効． 有限回の積分で解を得る方法．求積法ができる微分方程式は限られ，発見的解法で解を得ることも重要． 斉次線形ODEについて，解 $y _ {1}(x)$，$y _ {2}(x)$ の線形結合
$y _ {0}(x)=c _ {1}y _ {1}(x)+c _ {2}y _ {2}(x)$
も解であること．また非斉次線形ODEについて，解 $Y _ {0}(x)$
に対して斉次式の解 $y _ {0}(x)$ を加えた $Y(x)=Y _ {0}(x)+Cy _ {0}(x)$
も解であること． $\ddot{x}=g$ とすると，積分して $\dot{x}=gt+c _ {1}$ ，再積分して
$y=\frac{1}{2}gt^{2}+c _ {1}t+c _ {2}$ が一般解．2つの初期条件を初期位置
$x(0)=0$ と，初速 $\dot{x}(0)=0$ として与えると $y=\frac{g}{2}t^{2}$
となる． $$y'(x)+p(x)y(x)=0$$ ある $x _ {0}$ で $y(x _ {0})=0$ とすると $y'(x _ {0})=0$
となり，常に $y(x)\equiv0$ ．そうでないときは $y(x)\neq0$
で，変数分離すると $$\begin{aligned}
\frac{y'(x)}{y(x)}=-p(x)\iff\dv{x}\ln{\abs{y}}=-p(x)\quad\therefore\ln{\abs{y}}=-\int\dd{x}p(x)+C'
\end{aligned}$$ $e$ の肩に載せ，$y$ の正負や $y\equiv0$
の解も含めて定数を $C$ で置き直すと一般解は次式．
$$y(x)=C\exp(-\int\dd{x}p(x) )$$ 速度 $v$ に比例する抵抗 $rv$ を受ける質量 $m$ の物体の運動方程式は
$m\dot{v}=-rv$ ． $v\neq0$ で変数分離して
$\frac{\dot{v}}{v}=-\frac{r}{m}$ ．両辺 $t$ で積分して
$\ln{\abs{v}}=-\frac{r}{m}t+c' _ {1}$ ． $v\equiv0$ を含めた一般解は
$v(t)=c _ {1}e^{-\frac{r}{m}t}$ ．これを積分すると
$x(t)=-\frac{m}{r}v(t)+c _ {2}$ ．初期条件 $x(0)=0$，$v(0)=v _ {0}$
を与えると
$v(t)=v _ {0}e^{-\frac{r}{m}t}$，$x(t)=-\frac{mv _ {0}}{r}e^{-\frac{r}{m}t}$
． $$y'(x)+p(x)y(x)=r(x)$$ 斉次解の定数を関数化 $C\to C(x)$
とする定数変化法という解の探索方法を使うとよい． $y(x)=C(x)y _ {0}(x)$
$\qty(y _ {0}(x):=e^{-P(x)},\ P(x):=\int\dd{x}p(x) )$ を代入．
$$C'(x)y _ {0}(x)+C(x)\qty(y _ {0}'(x)+p(x)y _ {0}(x) )=r(x)\iff
C'(x)y _ {0}(x)=r(x)$$
$$\therefore C(x)=\int\dd{x}r(x)e^{P(x)}+C\qc
y(x)=e^{-P(x)}\qty(\int\dd{x}r(x)e^{P(x)}+C)$$ 速度 $v$ に比例する抵抗 $rv$ を受ける質量 $m$
の落下する物体の運動方程式は $m\dot{v}=-rv+g$ ．斉次解
$v _ {0}(t)=c _ {1}e^{-\frac{r}{m}t}$ で $c _ {1}\to C(t)$
として代入すると， $mC'v _ {0}+C(m\dot{v} _ {0}-rv _ {0})=g$ より
$C'(t)=\frac{g}{mv _ {0}(t)}$ ．積分して
$C(t)=\frac{g}{r}e^{\frac{r}{m}t}+C$ ．よって一般解は
$v(t)=Ce^{-\frac{r}{m}t}+\frac{g}{r}$ となる． $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=0$$ 微分しても形が変わらない指数関数で解を
$e^{\lambda x}$ と仮定すると，特性方程式 $\lambda^{2}+p\lambda+q=0$
を満たす $\lambda$ なら解だとわかる．判別式 $D=p^{2}-4q$ について $D>0$ なら実数解 $\lambda _ {\pm}=\frac{-p\pm\sqrt{D}}{2}$
を得るから，独立な基本解 $e^{\lambda _ {\pm}x}$
の線形結合として一般解を得る． $D<0$ なら複素数解 $\lambda _ {\pm}=-\frac{p}{2}\pm i\omega$
$\qty(\omega=\frac{\sqrt{\abs{D}}}{2})$ を得るから，独立な基本解
$e^{\lambda _ {\pm}x}$ の線形結合
$$c _ {+}e^{\lambda _ {+}x}+c _ {-}e^{\lambda _
{-}x}=e^{-\frac{p}{2}x}\qty{A\cos{\omega x}+B\sin{\omega x}}$$
$(A=c _ {+}+c _ {-},\ B=i(c _ {+}-c _ {-}) )$ として一般解を得る． $D=0$ なら重解 $\lambda=e^{-\frac{p}{2}}$ を得るから基本解の1つが
$e^{-\frac{p}{2}x}$ ．定数変化法により $c(x)e^{-\frac{p}{2}x}$
を代入すると
$$c''(x)+\qty(q-\frac{p^{2}}{4})=0\qc\therefore c(x)=c _ {1}+c _ {2}x$$
よって一般解 $y(x)=(c _ {1}+c _ {2}x)e^{-\frac{p}{2}x}$ が得られる． 運動方程式 $m\ddot{x}=-kx$ より $p=0$，$q=\omega _ {0}^{2}$
$\qty(\omega _ {0}=\sqrt{\frac{k}{m}})$
の定係数斉次線形2階ODEだから，一般解は
$x(t)=A\cos{\omega _ {0}t}+B\sin{\omega _ {0}t}$ ． 運動方程式 $m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}$ より $p=2n$，$q=\omega _ {0}^{2}$
$\qty(n=\frac{c}{2m},\ \omega _ {0}=\sqrt{\frac{k}{m}})$
の定係数斉次線形2階ODEだから，一般解は
$x(t)=e^{-nt}\qty(A\cos{\omega _ {0}t}+B\sin{\omega _ {0}t})$ ． $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=r(x)$$
重ね合わせの原理より，一般解は斉次式の一般解に特解を足したものであるから，非斉次項と似た関数形で未定係数を含む解を代入して特解をみつければよい．定数変化法は定係数線形常微分方程式なら確実に解けるが計算は煩雑になる．非斉次項が
$r(x)=\sum _ {k=0}^{n}a _ {k}x^{k}$ なら $Y _ {0}=\sum _ {k=0}^{n}A _ {k}x^{k}$ ，
$r(x)=ae^{\lambda x}$ なら $Y _ {0}=Ae^{\lambda x}$ ，
$r(x)=a\cos{\omega x}+b\sin{\omega x}$ なら
$Y _ {0}=A\cos{\omega x}+B\sin{\omega x}$ のように予想される． 運動方程式は $m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}-F\cos{\omega t}$ より，斉次解は
$x _ {0}(t)=e^{-nt}\qty(A\cos{\omega _ {0}t}+B\sin{\omega _ {0}t})$
$\qty(n=\frac{c}{2m},\ \omega _ {0}=\sqrt{\frac{k}{m}})$ ．非斉次解を
$X _ {0}(t)=a\cos{\omega t}+b\sin{\omega t}$ と置き，代入すると
$\qty{(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})a+2nb}\cos{\omega t}+\qty{(\omega _
{0}^{2}-\omega^{2})b-2na}\sin{\omega t}=f\cos{\omega t}$
$\qty(f=\frac{F}{m})$ ．係数比較すると
$a=\frac{f(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})}{(\omega _
{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2n\omega)^{2}}$，$b=\frac{f(2n\omega)}{(\omega
_ {0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2n\omega)^{2}}$
で，一般解は $x(t)=x _ {0}(t)+a\cos{\omega t}+b\sin{\omega t}$ ． 多変数関数の微分方程式の解が1変数関数の積として書けると仮定し，変数を等式の両辺で分離する．変位
$u(x,t)$ に対する1次元波動方程式
$\pdv[2]{u(x,t)}{x}=\frac{1}{v^{2}}\pdv[2]{u(x,t)}{t}$ は，
$u(x,t)=X(x)T(t)$ と仮定して代入すると
$$X''(x)T(t)=\frac{1}{v^{2}}X(x)T''(t)\quad\therefore\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{v^{2}}\frac{T''(t)}{T(t)}$$
左辺は $x$ のみの関数で右辺は $x$ に依らない定数 $\lambda$
でおける．右辺も $t$ のみの関数で左辺は $t$ に依らないため， $\lambda$
は $x$ にも $t$ にもよらない分離定数．よって
$$\ddot{X}(x)=\lambda X(x)\qc\ddot{T}(t)=\lambda v^{2}T(t)$$ よって
$\lambda=-k^{2}=-\frac{\omega^{2}}{v^{2}}$ なる定数 $k$，$\omega$
を用いて次の解を得る．
$$X(x)=c _ {+}e^{ikx}+c _ {-}e^{-ikx}\qc T(t)=C _ {+}e^{i\omega t}+C _
{-}e^{-i\omega t}$$
得られた解は $u(x,t)=X(x)T(t)$ だが $\lambda$
はいろいろな値をとる．一般解はフーリエ積分可能な任意関数 $f(x)$，$g(x)$
に対して $u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$ というダランベールの解になる．
Simple Description
微分方程式の体系
微分方程式
ODE（常微分方程式）
PDE（偏微分方程式）
n階微分方程式
斉次線形ODE
解曲線
初期条件
一般解
特殊解（特解）
特異解
リプシッツ条件
求積法
重ね合わせの原理
単純な例: 自由落下
線形1階斉次ODE
速度に比例する抵抗
線形1階非斉次ODE
抵抗のある落下
定係数斉次線形2階ODE
単振動
減衰振動
定係数非斉次線形2階ODE
強制減衰振動
PDEの変数分離
Basic Problems
常微分方程式の求解
$y'+2xy=0$
$y'+2xy=2x$
$y''+3y'+2y=0$
$y''+3y'+2y=\cos{x}$
解答例
$y\equiv0$ 以外の解を考える．変数分離して $\frac{y'}{y}=-2x$ ．両辺 $x$ で積分: $\ln\abs{y}=-x^{2}+C'$ ．符号や $y\equiv0$ も含めて一般解は $y=Ce^{-x^{2}}$ ．
定数変化法により $y=C(x)e^{-x^{2}}$ の解を仮定すると $C'(x)e^{-x^{2}}=2x$ より $C(x)=\int\dd{x}2xe^{x^{2}}=e^{x^{2}}+C$ ．よって一般解は $y=C$ ．
特性方程式 $\lambda^{2}+3\lambda+2=0$ を解くと $\lambda=-1,-2$ ．よって一般解は $y=c _ {1}e^{-x}+c _ {2}e^{-2x}$ ．
特解 $Y _ {0}=A\cos{x}+B\sin{x}$ と予想すると $(A+B)\cos{x}+(B-A)\sin{x}=\cos{x}$ となるから $A=B=\frac{1}{2}$ ．一般解は $y=\frac{\cos{x}+\sin{x}}{2}+c _ {1}e^{-x}+c _ {2}e^{-2x}$ ．
Standard Problems
常微分方程式の求解
解答例
特性方程式 $\lambda^{2}-4\lambda+4=0$ の解は重解 $\lambda=2$ ．斉次解は $y _ {0}=c _ {1}e^{2x}+c _ {2}xe^{2x}$ ．特解を $Y _ {0}=Ae^{-x}$ と予想して代入すると $A=1$ を得る．一般解は $y=e^{-x}+y _ {0}$ ．
LCR回路
解答例
$n=\frac{R}{2L}$，$\omega _ {0}=\sqrt{\frac{1}{LC}}$，$v=\frac{V _ {0}}{L}$ とすると $\ddot{Q}+2n\dot{Q}+\omega _ {0}^{2}Q=v\cos{\omega t}$ ．特性方程式 $\lambda^{2}+2n\lambda+\omega _ {0}^{2}=0$ より，斉次解は $$q _ {0}(t)=\begin{cases} c _ {+}e^{-\beta _ {+}t}+c _ {-}e^{-\beta _ {-}t} & (n>\omega _ {0}) \\ e^{-nt}\qty(c _ {1}\cos{\omega't}+c _ {2}\sin{\omega't}) & (n<\omega _ {0}) \\ c _ {1}e^{-nt}+c _ {2}te^{-nt} & (n=\omega _ {0}) \end{cases}\qc\begin{array}{rl} \beta _ {\pm} & =n\pm\sqrt{n^{2}-\omega _ {0}^{2}} \\ \omega' & =\sqrt{\omega _ {0}^{2}-n^{2}} \end{array}$$ 特解を $Q _ {0}(t)=A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$ と予想して代入: $$\qty{A(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})+2n\omega B}\cos{\omega t}+\qty{B(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})-2nA}\sin{\omega t}=v\cos{\omega t}$$ 係数比較して $$A=\frac{v(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})}{(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2n\omega)^{2}}\qc B=\frac{v(2n\omega)}{(\omega _ {0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(2n\omega)^{2}}$$ 一般解は $Q(t)=q _ {0}(t)+A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$ ．
変数分離法
解答例
$u(x,t)=X(x)T(t)$ を代入して $XT'=DX''T$ より，分離定数を $\lambda$ として変数分離 $\lambda=\frac{T'(t)}{DT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}$ ． $X''=\lambda X$ より $\lambda=0$ なら $X=ax+b$ ， $\lambda\neq0$ なら $X=c _ {1}e^{\sqrt{\lambda}x}+c _ {2}e^{-\sqrt{\lambda}x}$ ． $X(0)=X(L)=0$ より $\lambda\neq0$ ， $c _ {1}+c _ {2}=0$，$\sinh(\sqrt{\lambda}L)=0$ ．よって $X=A\sin{\frac{n\pi}{L}x}$，$\lambda=-(\frac{n\pi}{L})^{2}<0$ ． $\frac{T'}{T}=-(\frac{n\pi}{L})^{2}D$ より $T=Be^{-(\frac{n\pi}{L})^{2}Dt}$ ．一般解は $u(x,t)=\sum _ {n=1}^{\infty}C _ {n}e^{-(\frac{n\pi}{L})^{2}Dt}\sin{\frac{n\pi}{L}x}$ ．
