1.1.1.3 線形代数
$$\alpha[a _ {ij}]=[\alpha a _ {ij}]$$ 同じ型の行列に対して $$+[b _ {ij}]=[a _ {ij}+b _ {ij}]$$ $l\times m$ 行列 $[a _ {ij}]$ と $m\times n$ 行列 $[b _ {ij}]$ に対して
$$=[a _ {ik}b _ {kj}]$$
分配則，結合則は成り立つが交換則は一般に成り立たない． $$A^{T}=[a _ {ji}]$$ $$I=[\delta _ {ij}]$$ $$AA^{-1}=A^{-1}A=I$$
逆行列をもつことを正則という．上の定義から直ちに次が成立．
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\qc(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$$ $$A^{\dagger}=(A^{T})^{\ast}$$ $A^{\dagger}=A$
ならエルミート行列．正方行列 $A$ に対し $A^{\dagger}A$ や
$A^{\dagger}+A$ はエルミート行列． ベクトルの内積を行列の積で表せる．
$$\vb*{a}\cdot\vb*{b}=[a _ {i1}]^{\dagger}[b _ {j1}]=[a _
{1k}^{\ast}b _ {k1}]$$ $n$ 次正方行列 $A$ において置換 $\sigma$ に対し次で定義される．
$$\abs{A}=\sum _ {\sigma}^{n}\text{sgn}(\sigma)\prod _ {i=1}^{n}a
_ {i,\sigma(i)}$$ $n$ 次正方行列で $i$ 行と $j$ 列を除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$
を掛けたもの． 余因子 $C _ {ij}$ に対し
$$\forall{i}\qc\abs{A}=\sum _ {j}a _ {ij}C _ {ij}$$ $$\mqty|\xmat*{a}{2}{2}|=\sum _ {j}a _ {1j}C _ {1j}=a _ {11}a
_ {22}-a _ {12}a _ {21}$$ $$\begin{aligned}
\mqty|\xmat*{a}{3}{3}| & =\sum _ {j}a _ {1j}C _ {1j}=a _
{11}\mqty|a _ {22} & a _ {23} \\ a _ {32} & a _ {33}|-a _
{12}\mqty|a _ {21} & a _ {23} \\ a _ {31} & a _ {33}|+a _
{13}\mqty|a _ {21} & a _ {22} \\ a _ {31} & a _ {32}| \\ &
=a _ {11}a _ {22}a _ {33}+a _ {12}a _ {23}a _ {31}+a _
{13}a _ {21}a _ {32} \\ & \quad-a _ {13}a _ {22}a _ {31}-a
_ {12}a _ {21}a _ {33}-a _ {11}a _ {23}a _ {32}
\end{aligned}$$ $$\vb*{a}\cross\vb*{b}=\mqty|\vb*{e} _ {x} & \vb*{e} _ {y} &
\vb*{e} _ {z} \\ a _ {x} & a _ {y} & a _ {z} \\ b _ {x}
& b _ {y} & b _ {z}|=\varepsilon _ {ijk}\vb*{e} _ {i}a _
{j}b _ {k}$$
結合，分配則は成り立つが，一般に交換則は成り立たない:
$\vb*{a}\cross\vb*{b}=-\vb*{b}\cross\vb*{a}$ $\abs{A}\neq0$ のとき逆行列が存在．
$$A^{-1}=\frac{1}{\abs{A}}[C _ {ij}]^{T}$$ 固有値 $\lambda$ ，固有ベクトル $\vb*{v}$ に対して
$$A\vb*{v}=\lambda\vb*{v}$$ ベクトル内積 $\vb*{v}\cdot(A\vb*{v})$ を行列で表すと
$$^{\dagger}[A\vb*{v}]=[A\vb*{v}]^{\dagger}[\vb*{v}]\iff[\vb*{v}]^{\dagger}\lambda[\vb*{v}]=\lambda^{\ast}[\vb*{v}]^{\dagger}[\vb*{v}]\iff\lambda=\lambda^{\ast}\quad\therefore\lambda\in\mathbb{R}$$ $$\vb*{v} _ {i}\cdot(A\vb*{v} _ {j})=(A\vb*{v} _
{i})\cdot\vb*{v} _ {j}\iff\lambda _ {j}\vb*{v} _
{i}\cdot\vb*{v} _ {j}=\lambda _ {i}\vb*{v} _ {j}\cdot\vb*{v}
_ {j}\iff\lambda _ {i}=\lambda _ {j}\qq{or}\vb*{v} _
{i}\cdot\vb*{v} _ {j}=0$$ 固有値方程式を変形
$$(A-\lambda I)\vb*{v}=\vb*{0}\quad\therefore\vb*{v}\neq\vb*{0}\iff\text{$A-\lambda
I$ の逆行列が存在しない}\iff\abs{A-\lambda I}=0$$ 固有ベクトルを並べた $V=\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots & \vb*{v} _ {n})$
を用いると $$\begin{aligned}
V^{-1}AV & =V^{-1}A\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots & \vb*{v} _
{n})=V^{-1}\mqty(\lambda _ {1}\vb*{v} _ {1} & \cdots & \lambda _
{n}\vb*{v} _ {n}) \\ & =V^{-1}\mqty(\vb*{v} _ {1} & \cdots &
\vb*{v} _ {n})\mqty(\lambda _ {1} & & \\ & \ddots & \\ & &
\lambda _ {n})=\mqty(\lambda _ {1} & & \\ & \ddots & \\ & &
\lambda _ {n})
\end{aligned}$$ 対角化可能 $\iff$ 固有ベクトルが1次独立 $\iff$ $A$
の固有値がすべて異なる or $A$
が実対称行列．エルミート行列はユニタリー行列によって対角化可能． 規格直交ベクトルを並べた行列．実数行列なら直交行列という．エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交するので，対角化行列をユニタリ行列にとれる．逆行列は転置行列である． 行列 $A$ の指数関数をマクローリン展開
$e^{A}=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}$ で定義する．対角行列の $k$
乗は各対角成分の $k$ 乗であるから， $A$ の対角化 $V^{-1}AV=\Lambda$
を用いて
$$A^{k}=A\cdot A\cdots
A=(VV^{-1})A(VV^{-1})\cdots(VV^{-1})A(VV^{-1})=V\Lambda^{k}V^{-1}$$
よって，対角行列 $\Lambda$ の対角成分を $\lambda _ {i}$ とすると， $e^{A}$
の各成分は次で求められる．
$$e^{A}=\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{V\Lambda^{k}V^{-1}}{k!}=V\qty(\sum
_ {k=0}^{\infty}\frac{\Lambda^{k}}{k!})V^{-1}=V\mqty(\dmat{e^{\lambda
_ {1}},\ddots,e^{\lambda _ {n}}})V^{-1}$$ $z$ 軸周りに $\phi$ だけ回転すると次のように点が移動する
$$\left(\begin{array}{ccc}R\cos(\theta+\phi) \\ R\sin(\theta+\phi) \\ z\end{array}\right)=R _
{z}\mqty(R\cos{\theta} \\ R\sin{\theta} \\ z)\quad\therefore R _
{z}=\mqty(\cos{\phi} & -\sin{\phi} & 0 \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} &
0 \\ 0 & 0 & 1)$$
行列の成分を $(x,y,z)\to(y,z,x)$ のように置き換えると $x$
軸周りの回転になり， $(z,x,y)$ に置き換えると $y$ 軸周りの回転になる．
$$R _ {x}=\mqty(1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ 0 &
\sin{\phi} & \cos{\phi})\qc R _ {y}=\mqty(\cos{\phi} & 0 &
\sin{\phi} \\ 0 & 0 & 0 \\ -\sin{\phi} & 0 & \cos{\phi})$$
Simple Description
行列演算
スカラー倍
和
積
行列の関係
転置行列
単位行列
逆行列
随伴行列
ベクトル内積
行列式
余因子
余因子展開
2次正方行列の行列式
3次正方行列の行列式
ベクトル外積
逆行列
固有値
固有値方程式
エルミート行列の固有値
エルミート行列の固有ベクトル
固有方程式
対角化
ユニタリ行列
行列の指数関数
回転行列
Basic Problems
行列の指数関数
解答例
固有方程式は $$0=\abs{A-\lambda I}=\mqty|\frac{3}{2}-\lambda & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2}-\lambda|=\lambda^{2}-3\lambda+2=(\lambda-2)(\lambda-1)$$ 各固有値 $\lambda _ {1}=1$，$\lambda _ {2}=2$ に対する規格化した固有ベクトルは， $A\vb*{v} _ {i}=\lambda _ {i}\vb*{v} _ {i}\ (i=1,2)$ より $\vb*{v} _ {1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\smqty(1 \\ -1)$，$\vb*{v} _ {2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\smqty(1 \\ 1)$ ． $A$ はエルミート行列 $A=A^{\dagger}$ だから異なる固有値に対する固有ベクトル $\vb*{v} _ {1}$，$\vb*{v} _ {2}$ は直交しており，対角化行列 $V=\smqty(\vb*{v} _ {1} & \vb*{v} _ {2})$ はユニタリ $V^{-1}=V^{\dagger}$ である．よって $$\begin{aligned} e^{i\pi A} & =\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{(i\pi)^{k}}{k!}A^{k}=V\qty(\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{(i\pi\Lambda)^{k}}{k!})V^{-1}=\mqty(\vb*{v} _ {1} & \vb*{v} _ {2})\mqty(\dmat{e^{i\pi\Lambda _ {1}},e^{i\pi\Lambda _ {2}}})\mqty(\vb*{v} _ {1}^{\dagger} \\ \vb*{v} _ {2}^{\dagger}) \\ & =\frac{1}{2}\mqty(1 & 1 \\ -1 & 1)\mqty(\dmat{-1,1})\mqty(1 & -1 \\ 1 & 1)=\frac{1}{2}\mqty(1 & 1 \\ -1 & 1)\mqty(-1 & 1 \\ 1 & 1)=\mqty( & 1 \\ 1) \end{aligned}$$
Standard Problems
行列の指数関数
解答例
$$0=\abs{A-\lambda I}=\lambda^{2}-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2)$$ より固有値 $\lambda _ {1}=2$，$\lambda _ {2}=5$ に対し固有ベクトルは $\vb*{v} _ {1}=\smqty(2 \\ -1)$，$\vb*{v} _ {2}=\smqty(1 \\ 1)$ にとれる．対角化行列 $V=\mqty(\vb*{v} _ {1} & \vb*{v} _ {2})$ に対し，余因子行列の転置をとって行列式 $\abs{V}=3$ で割ると $V^{-1}=\frac{1}{3}\smqty(1 & -1 \\ 1 & 2)$ ．よって $$\begin{aligned} e^{A} & =\sum _ {k=0}^{\infty}\frac{(-t)^{k}}{k!}A^{k}=V\mqty(\dmat{e^{-\lambda _ {1}t},e^{-\lambda _ {2}t}})V^{-1}=\frac{V}{3}\mqty(\dmat{e^{-2t},e^{-5t}})\mqty(1 & -1 \\ 1 & 2) \\ & =\frac{1}{3}\mqty(2 & 1 \\ -1 & 1)\mqty(e^{-2t} & -e^{-2t} \\ e^{-5t} & 2e^{-5t})=\frac{1}{3}\mqty(2e^{-2t}+e^{-5t} & 2(e^{-5t}-e^{-2t}) \\ e^{-5t}-e^{-2t} & e^{-2t}+2e^{-5t}) \end{aligned}$$
