Paola Cattabriga
I obtained a PhD in Computer Science and Law, a Degree in Philosophy and a further position in Human Sciences as a Post-Doctoral Researcher, at the University of Bologna. My thesis is an in-depth investigation of how first-order calculus, complete even if undecidable, can express first-order theories which in turn can be complete or incomplete, decidable or undecidable. The exam covers outcomes related to resolution procedures, automated deduction, and logic programming. During my PhD I worked as a Prolog programmer and Theorem Proving expert, designing interpreters for multimodal logics and labelled systems for legal reasoning. Subsequently, having a natural inclination for the undecidability questions of my first thesis, I worked alone on the resulting questions, developing some completely new perspectives on some well-known so-called theorems.
Passionate about theorem proving, prologue, mathematical logic, artificial intelligence, computability and diagonalization procedures, I am always ready for any type of project or collaboration involving logic and logic programming.
Address: https://paolacattabriga.wordpress.com/
Passionate about theorem proving, prologue, mathematical logic, artificial intelligence, computability and diagonalization procedures, I am always ready for any type of project or collaboration involving logic and logic programming.
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Papers by Paola Cattabriga
mathematics are given, in terms of the theory of definition, on the basis
of the criterions of eliminability and
non-creativity. As a definition, Russell's antinomy is a violation of the criterion
of eliminability.
Following the path of the criterion of
non-creativity, this paper develops a new analysis of Comprehension schema
and, as a consequence, proof that Russell's
antinomy argumentation, despite the words of Frege himself, does not hold
in Grundgesetze der Arithmetik. According to Basic Law III, the class of
classes not belonging to themselves is a class
defined by a function which can not take as argument its own course of
value, in other words, the class of classes not belonging to themselves is a class
whose classes are not identical to the class itself.
Da tale esame si deduce che la non categoricità e l'indecidibilità del calcolo dei predicati del primo ordine, fanno sì che esso possa esprimere completamente soltanto l'aspetto deduttivo, dimostrativo delle teorie matematiche elementari. L'assiomatizzazione e la costituzione del calcolo in un sistema deduttivo completo, estremamente generale, non fornisce però alcun algoritmo applicativo universale, per determinare, a priori, se un qualunque teorema matematico è vero oppure no.
Nella prima parte di questa tesi si espongono i risultati più importanti degli studi classici intorno al problema dell'indecidibilità. I primi due capitoli riguardano i metodi e le dimostrazioni che permettono di determinare la decidibilità e l'indecidibilità delle teorie. Nel terzo capitolo si illustra la teoria della computabilità. Gli studi e le ricerche sulla computabilità si svilupparono in seguito alle dimostrazioni di indecidibilità del calcolo e dell'incompletezza dell'aritmetica, come un tentativo di precisare il concetto di algoritmo. Si costituì così una teoria che è un importante strumento di analisi di concetti fondamentali, anche sotto il profilo dell'odierna scienza di elaborazione e computazione delle informazioni. Nel quarto capitolo si espone una dimostrazione che delimita e riduce esattamente l'indecidibilità del calcolo a un ristretto numero di quantificatori. Tale dimostrazione è conclusiva rispetto a tutta un'area di ricerca e classificazione di formule decidibili del calcolo.
Nella seconda parte della tesi si parla della risoluzione delle formule, e della deduzione automatica con l'ausilio degli elaboratori mettendo in luce l'importanza della completezza dimostrativa del calcolo. L'indecidibilità del calcolo dei predicati può anche essere definita come segue: non è possibile creare un programma che ci dica se una formula qualunque del calcolo dei predicati è vera oppure no. Un programma è infatti sinonimo di algoritmo, e dalla sua definizione si ottiene un equivalente di funzione computabile. E' però possibile creare un programma che dica se una formula qualunque del calcolo è vera, anche se non cesserà mai di calcolare nel caso in cui la formula sia falsa. Oppure si possono creare programmi che terminano, sicuramente, e ci dicono per alcune formule se esse sono valide oppure no, ma che non possono però decidere la validità di altre formule.
Nella creazione di questi programmi si utilizzano le procedure di risoluzione delle formule. Lo sviluppo di tali metodi parte dalle dimostrazioni di Herbrand e di Skolem. In base ad esse è possibile ridurre le formule del calcolo dei predicati a formule proposizionali, anche se al prezzo della generazione di successioni infinite di enunciati. Non abbiamo una procedura effettiva per determinare se una formula predicativa è valida oppure no, abbiamo però una procedura effettiva per elencare le formule predicative valide. Nel quinto capitolo si espongono una dimostrazione del teorema di Herbrand e la una struttura interpretativa detta "universo di Herbrand". Su questa struttura si fondano i metodi di risoluzione , che vengono esposti nel sesto capitolo, e della
programmazione logica, di cui si parla invece nell'ultimo
capitolo. Lo sviluppo di questa seconda parte della tesi illustra risultati che appartengono all'area della cosiddetta Deduzione Automatica. L'ultima parte di questa tesi fornisce oltre ad una introduzione al linguaggio PROLOG anche una breve illustrazione del dimostratore automatico PTTP, che si configura come una sua estensione completa per il calcolo dei predicati.
I sistemi esperti, intesi come modelli di comportamento intelligente, sono caratteristicamente sistemi "basati sulla conoscenza" (Knowledge Based Systems). In questi sistemi, la conoscenza viene esplicitamente rappresentata come un insieme di asserti dichiarativi che ne descrivono il dominio. Tale insieme costituisce la cosiddetta knowledge base e viene espresso in un linguaggio formale di alto livello. Nei sistemi basati sulla conoscenza l'attività "intelligente" della soluzione di problemi in un dato dominio di conoscenza viene svolta dal motore inferenziale (inferential engine), un Theorem Prover (dimostratore automatico di teoremi) in grado di compiere inferenze a partire dalla knowledge base. Tali sistemi sono sempre in grado di indicare le premesse e i passi inferenziali che conducono a una determinata conclusione, e ciò avviene tramite il sistema di interfacciamento (consultation interface) che permette l'utilizzo e la comunicazione con l'utente. Oltre a quella dell'utente, esiste un'altra figura che interagisce con il sistema, quella dell'ingegnere della conoscenza (knowledge engineer). Quest'ultimo, a differenza dell'utente che interagisce solo con l'interfaccia, agisce anche sulla knowledge base in vista della costruzione iniziale e del mantenimento della stessa. Osserviamo che le modifiche al sistema avvengono sempre e solo intervenendo sulla knowledge base e mai sull'inferential engine direttamente. Ciò, naturalmente, simula il comportamento intelligente, ovvero la capacità di assumere sempre nuove informazioni.
Esistono evidenti analogie tra i sistemi basati sulla conoscenza e i sistemi assiomatici. L'insieme degli assiomi è un analogo della knowledge base, le regole d'inferenza sono un analogo dell'inferential engine e le conseguenze logiche corrispondono alle risposte del sistema.
In questa tesi vengono progettati e implementati, all'interno dell'area dei Labelled Deductive Sistems, alcuni dimostratori automatici fornendo un contributo originale all'AI. I dimostratori qui presentati sono in grado di trattare/processare logiche mai precedentemente implementate, e quindi permettono se applicati a definiti domini di conoscenza di trarre conclusioni con modalità del tutto nuove. Ne mostreremo infatti alcune applicazioni al linguaggio giuridico.
Conference Presentations by Paola Cattabriga
mathematics are given, in terms of the theory of definition, on the basis
of the criterions of eliminability and
non-creativity. As a definition, Russell's antinomy is a violation of the criterion
of eliminability.
Following the path of the criterion of
non-creativity, this paper develops a new analysis of Comprehension schema
and, as a consequence, proof that Russell's
antinomy argumentation, despite the words of Frege himself, does not hold
in Grundgesetze der Arithmetik. According to Basic Law III, the class of
classes not belonging to themselves is a class
defined by a function which can not take as argument its own course of
value, in other words, the class of classes not belonging to themselves is a class
whose classes are not identical to the class itself.
Da tale esame si deduce che la non categoricità e l'indecidibilità del calcolo dei predicati del primo ordine, fanno sì che esso possa esprimere completamente soltanto l'aspetto deduttivo, dimostrativo delle teorie matematiche elementari. L'assiomatizzazione e la costituzione del calcolo in un sistema deduttivo completo, estremamente generale, non fornisce però alcun algoritmo applicativo universale, per determinare, a priori, se un qualunque teorema matematico è vero oppure no.
Nella prima parte di questa tesi si espongono i risultati più importanti degli studi classici intorno al problema dell'indecidibilità. I primi due capitoli riguardano i metodi e le dimostrazioni che permettono di determinare la decidibilità e l'indecidibilità delle teorie. Nel terzo capitolo si illustra la teoria della computabilità. Gli studi e le ricerche sulla computabilità si svilupparono in seguito alle dimostrazioni di indecidibilità del calcolo e dell'incompletezza dell'aritmetica, come un tentativo di precisare il concetto di algoritmo. Si costituì così una teoria che è un importante strumento di analisi di concetti fondamentali, anche sotto il profilo dell'odierna scienza di elaborazione e computazione delle informazioni. Nel quarto capitolo si espone una dimostrazione che delimita e riduce esattamente l'indecidibilità del calcolo a un ristretto numero di quantificatori. Tale dimostrazione è conclusiva rispetto a tutta un'area di ricerca e classificazione di formule decidibili del calcolo.
Nella seconda parte della tesi si parla della risoluzione delle formule, e della deduzione automatica con l'ausilio degli elaboratori mettendo in luce l'importanza della completezza dimostrativa del calcolo. L'indecidibilità del calcolo dei predicati può anche essere definita come segue: non è possibile creare un programma che ci dica se una formula qualunque del calcolo dei predicati è vera oppure no. Un programma è infatti sinonimo di algoritmo, e dalla sua definizione si ottiene un equivalente di funzione computabile. E' però possibile creare un programma che dica se una formula qualunque del calcolo è vera, anche se non cesserà mai di calcolare nel caso in cui la formula sia falsa. Oppure si possono creare programmi che terminano, sicuramente, e ci dicono per alcune formule se esse sono valide oppure no, ma che non possono però decidere la validità di altre formule.
Nella creazione di questi programmi si utilizzano le procedure di risoluzione delle formule. Lo sviluppo di tali metodi parte dalle dimostrazioni di Herbrand e di Skolem. In base ad esse è possibile ridurre le formule del calcolo dei predicati a formule proposizionali, anche se al prezzo della generazione di successioni infinite di enunciati. Non abbiamo una procedura effettiva per determinare se una formula predicativa è valida oppure no, abbiamo però una procedura effettiva per elencare le formule predicative valide. Nel quinto capitolo si espongono una dimostrazione del teorema di Herbrand e la una struttura interpretativa detta "universo di Herbrand". Su questa struttura si fondano i metodi di risoluzione , che vengono esposti nel sesto capitolo, e della
programmazione logica, di cui si parla invece nell'ultimo
capitolo. Lo sviluppo di questa seconda parte della tesi illustra risultati che appartengono all'area della cosiddetta Deduzione Automatica. L'ultima parte di questa tesi fornisce oltre ad una introduzione al linguaggio PROLOG anche una breve illustrazione del dimostratore automatico PTTP, che si configura come una sua estensione completa per il calcolo dei predicati.
I sistemi esperti, intesi come modelli di comportamento intelligente, sono caratteristicamente sistemi "basati sulla conoscenza" (Knowledge Based Systems). In questi sistemi, la conoscenza viene esplicitamente rappresentata come un insieme di asserti dichiarativi che ne descrivono il dominio. Tale insieme costituisce la cosiddetta knowledge base e viene espresso in un linguaggio formale di alto livello. Nei sistemi basati sulla conoscenza l'attività "intelligente" della soluzione di problemi in un dato dominio di conoscenza viene svolta dal motore inferenziale (inferential engine), un Theorem Prover (dimostratore automatico di teoremi) in grado di compiere inferenze a partire dalla knowledge base. Tali sistemi sono sempre in grado di indicare le premesse e i passi inferenziali che conducono a una determinata conclusione, e ciò avviene tramite il sistema di interfacciamento (consultation interface) che permette l'utilizzo e la comunicazione con l'utente. Oltre a quella dell'utente, esiste un'altra figura che interagisce con il sistema, quella dell'ingegnere della conoscenza (knowledge engineer). Quest'ultimo, a differenza dell'utente che interagisce solo con l'interfaccia, agisce anche sulla knowledge base in vista della costruzione iniziale e del mantenimento della stessa. Osserviamo che le modifiche al sistema avvengono sempre e solo intervenendo sulla knowledge base e mai sull'inferential engine direttamente. Ciò, naturalmente, simula il comportamento intelligente, ovvero la capacità di assumere sempre nuove informazioni.
Esistono evidenti analogie tra i sistemi basati sulla conoscenza e i sistemi assiomatici. L'insieme degli assiomi è un analogo della knowledge base, le regole d'inferenza sono un analogo dell'inferential engine e le conseguenze logiche corrispondono alle risposte del sistema.
In questa tesi vengono progettati e implementati, all'interno dell'area dei Labelled Deductive Sistems, alcuni dimostratori automatici fornendo un contributo originale all'AI. I dimostratori qui presentati sono in grado di trattare/processare logiche mai precedentemente implementate, e quindi permettono se applicati a definiti domini di conoscenza di trarre conclusioni con modalità del tutto nuove. Ne mostreremo infatti alcune applicazioni al linguaggio giuridico.