Dezimalbrüche und Stellenwerttafeln Ziel dieser Forschungsarbeit ist es, ein virtuelles Material ... more Dezimalbrüche und Stellenwerttafeln Ziel dieser Forschungsarbeit ist es, ein virtuelles Material zum Umgang mit Dezimalbrüchen zu entwickeln welches anschlussfähig ist und Kinder beim Transfer zwischen Zahlvorstellung und symbolischer Schreibweise unterstützt. Hierzu gehen wir im Folgenden zunächst auf ausgewählte Probleme der Kinder beim Umgang mit Dezimalbrüchen ein.
Funktionales Denken, verstanden als Denken in funktionalen Zusammenhängen, ist weit über die Funk... more Funktionales Denken, verstanden als Denken in funktionalen Zusammenhängen, ist weit über die Funktionenlehre hinaus auch in anderen Inhaltsbereichen typisch für mathematisches Arbeiten. Der großen Bedeutung funktionalen Denkens stehen dabei nicht mindergroße Schwierigkeiten bei der Ausbildung adäquater mentaler Modelle ("Grundvorstellungen") auf Seiten der Schülerinnen und Schüler gegenüber. Ausgehend von einer Bestandsaufnahme in der Grundschule werden Ansätze zur Förderung des funktionalen Denkens in den Sekundarstufen vorgestellt.
Es ist nicht verboten, an einer Stelle in der Stellenwerttafel mehr als 9 Zählmarken zu haben. Im... more Es ist nicht verboten, an einer Stelle in der Stellenwerttafel mehr als 9 Zählmarken zu haben. Im Gegenteil: Für das Verständnis von Bündelungs-und Entbündelungsprozessen, wie sie zum Beispiel bei schriftlichen und halbschriftlichen Rechenverfahren benötigt werden, sind dezimale nicht-Standard-Zerlegungen von Zahlen notwendig. Aber nicht nur dort, sondern auch für den Aufbau von tragfähigen und anschlussfähigen Grundvorstellungen ist eine flexible Auffassung von Stellenwert-Darstellungen unerlässlich. Wir beleuchten dieses Thema auch im Hinblick auf die zunehmend geforderte "Digitalisierung". Stellenwertverständnis Unser dezimales Zahlsystem basiert auf 5 Kennzeichen: Dem Prinzip der fortgesetzten Bündelung, dem Dezimalsystem, dem Prinzip des Stellenwerts sowie dem multiplikativen und additiven Prinzip (Ross, 1989; Ladel & Kortenkamp, 2014). Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung ist zunächst unabhängig vom Prinzip des Stellenwerts zu sehen, stellt jedoch eine Voraussetzung dar. Denn nur wenn fortgesetzt gebündelt ist, lässt sich der Wert der Zahl auch exakt zuordnen. Das Dezimalsystem stellt eine Konvention dar, ist also einstmals von Menschen festgelegt worden. Theoretisch sind jedoch auch andere Systeme möglich und in Verwendung, wie man zum Beispiel an der Größe Zeit sieht. Das Prinzip des Stellenwerts besagt, dass die Stelle, an der eine Ziffer steht, Informationen über ihren Wert gibt (Einer, Zehner, Hunderter, etc.). Um den Wert einer Ziffer (Ziffernwert) zu erhalten, muss die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert multipliziert werden (multiplikatives Prinzip). Den Wert der Zahl (Zahlenwert) erhält man, wenn man alle Ziffernwert addiert (additives Prinzip). Das Prinzip des Stellenwerts ist nicht auf eine bestimmte Anzahl an Stellen reduziert-Schülerinnen und Schüler können demnach kein Stellenwertverständnis für maximal dreistellige Zahlen haben. Das Prinzip des Stellenwerts gilt für alle und damit auch für größere oder kleinere Zahlen. Dies folgt aus der konsequenten Anwendung aller Prinzipien. Davon unabhängig werden selbstverständlich erste Zugänge zum Stellenwertverständnis mit zweistelligen Zahlen geschaffen. Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung impliziert aber, dass nicht nur in Zehnern gebündelt wird, sondern zehn Zehner wiederum zu einem Hunderter gebündelt werden, und zehn Hunderter wiederum zu einem Tausender, etc., bis von einer Bündeleinheit nicht mehr genügend Bündel (<10) vorhanden sind.
Dieser Beitrag geht auf die Entwicklung sowie auf den aktuellen Stand digitaler Medien im Mathema... more Dieser Beitrag geht auf die Entwicklung sowie auf den aktuellen Stand digitaler Medien im Mathematikunterricht der Primarstufe (Klasse 1 bis 6) ein. Die Entwicklung wird dabei lediglich in Ansatzen aufgegriffen, zeigt jedoch auf, dass digitale Medien schon lange Bestandteil des Mathematikunterrichts sind. Ebenso wird in diesem Beitrag deutlich, welche Auswirkungen die technologische Entwicklung auf den Mathematikunterricht hat. Dabei wird zwischen dem Taschenrechner, dem Computer, Mobilgeraten und weiteren digitalen Medien wie dem interactive Whiteboard und dem Multitouch-Tisch unterschieden. Schlieslich werden Sensoren und Aktoren thematisiert, die aktuell besonderes Interesse hervorrufen. Auch das stark diskutierte Thema des Programmierens in der Primarstufe wird im Hinblick auf die Forderung algorithmischen Denkens aufgegriffen.
The International Journal for Technology in Mathematics Education, 2013
In this article we present an activity theory based framework that can capture the complex situat... more In this article we present an activity theory based framework that can capture the complex situations that arise when modern technology like multi-touch devices are introduced in classroom situations. As these devices are able to cover more activities than traditional technologies, even computer-based, media, we have to accept that they now take a larger role in the model of interactions. We reflect this fact by moving the artefact into the centre of our observations, leading to an artefact-centric activity theory (ACAT). The theory was developed in the need of analysing learning environments for primary maths education.
Ist das dann noch ein Zehner oder ist das dann ein Einer?"-Zu einem flexiblen Verständnis von Ste... more Ist das dann noch ein Zehner oder ist das dann ein Einer?"-Zu einem flexiblen Verständnis von Stellenwerten Ein flexibles Verständnis von Stellenwerten stellt die Grundlage für das Verständnis vieler weiterer mathematischer Inhalte, wie z.B. der schriftlichen Addition und Subtraktion oder der halbschriftlichen Division dar. In unserem Beitrag diskutieren wir die Ergebnisse einer qualitativen und quantitativen Studie mit Schülerinnen und Schülern der zweiten und dritten Klasse.
Seit es digitale Medien gibt und die Schulbuchverlage und Computer-Hersteller diese für sich entd... more Seit es digitale Medien gibt und die Schulbuchverlage und Computer-Hersteller diese für sich entdeckt haben gibt es Erfolgs-Versprechungen. 2005 ging Günter Krauthausen bereits darauf ein. Er erwähnt eine Software aus den 90er-Jahren, die "Versetzungsgarantie" verspricht, eine 2003 erschienene "Software mit Lerngarantie". Und auch heute noch versprechen Online-Programme "bessere Noten in 15 Minuten". Genau die gegensätzliche Position wird u.a. durch Spitzer vertreten, der auf die Gefahren digitaler Medien aufmerksam macht. Spitzer kritisiert die digitalen Medien und schreibt, "dass das Bewusstsein, Sachverhalte jederzeit im Netz finden zu können, die Speicherung im Gehirn verhindert: Wer mit der Einstellung "Ich kann das jederzeit googeln" ins Netz geht, der wird, [...] solches Expertenwissen in weitaus geringerem Maß erlernen als jemand, der nicht mit dieser Einstellung [...] unterwegs ist." (Spitzer 2012, S. 212). Ebenso wie Spitzer heute behauptet, dass die ständige Verfügbarkeit des Internets und das Nachlesen darin die Speicherung im Gehirn verhindern würde, behauptete Platon in einem fiktiven Dialog zwischen Sokrates und dessen Schüler Phaidros, dass die ständige Verfügbarkeit von Büchern und das Nachlesen darin zu einem Verlust des Erinnerns führen würde und das Buch lediglich als externer Speicher bzw. externes Gedächtnis diene: "Denn Vergessenheit wird dieses in den Seelen derer, die es kennenlernen, herbeiführen, durch Vernachlässigung des Erinnerns, sofern sie nun im Vertrauen auf die Schrift von außen her mittelst fremder Zeichen nicht von innen her aus sich selbst, das Erinnern schöpfen. Nicht also für das Erinnern, sondern für das Gedächtnis hast du ein Hilfsmittel erfunden." (Platon ca. 370 v. Chr.). Die Kritik Platons ist insofern verständlich, dass Schrift häufig nicht reflektiert, sondern einfach nur wiedergegeben wird. Man muss sich jedoch die Frage stellen, was durch die Schrift überhaupt erst alles ermöglicht wird. Schrift ist also nicht per se ein schlechtes Medium-ebenso wenig wie auch digitale Medien per se schlecht sind. Inhaltlich sind die beiden Zitate von Spitzer und Platon vergleichbar, die Kritik an Medien ist nichts Neues. Der Kulturpessimismus hat eine gewisse Tradition. Garantierter Lernerfolg oder digitale Demenz? Ist das die richtige Frage? Können wir das überhaupt so pauschal beantworten oder müssen wir den Einsatz digitaler Medien nicht vielmehr differenziert betrachten?
Sektion ‚PriMaMedien' Die Arbeitsgruppe ‚PriMaMedien-Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Me... more Sektion ‚PriMaMedien' Die Arbeitsgruppe ‚PriMaMedien-Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien im Mathematikunterricht in der Primarstufe' tagt seit 2007 regelmäßig und ist Teil des Arbeitskreises Grundschule der GDM. Die Mitglieder der Arbeitsgruppe teilen das Interesse an der Entwicklung, der Konzeption, dem Einsatz und der Bewertung digitaler Medien für den Mathematikunterricht in der Primarstufe. Dabei wird auch die Lehrerbildung für diesen Bereich berücksichtigt.
In this article we discuss the use of ICT, especially of multi-touch technology, to survey and to... more In this article we discuss the use of ICT, especially of multi-touch technology, to survey and to enhance the development of children's concepts of numbers. As a basis for the design and analysis of this research project we refer to the Artefact-Centric Activity Theory (ACAT), that is based on Engeström's structure of human activity systems. Adopting this theory, we focus on the different processes of internalization and externalization mediated by the artefact. The children externalize their concept of numbers through touching a multi-touch screen with their fingers and thus producing tokens. The object, that is a well-developed concept of numbers, determines the design of the multi-touch surface, that is also determined by general rules. The visualization of the multitouch table contemporaneously gives feedback to the children that leads to an internalization. Hence the design of the user interface plays an important role. Also the partner as well as the (nursery) teacher and the kind of questions, that have influence on the child's externalization.
Dezimalbrüche und Stellenwerttafeln Ziel dieser Forschungsarbeit ist es, ein virtuelles Material ... more Dezimalbrüche und Stellenwerttafeln Ziel dieser Forschungsarbeit ist es, ein virtuelles Material zum Umgang mit Dezimalbrüchen zu entwickeln welches anschlussfähig ist und Kinder beim Transfer zwischen Zahlvorstellung und symbolischer Schreibweise unterstützt. Hierzu gehen wir im Folgenden zunächst auf ausgewählte Probleme der Kinder beim Umgang mit Dezimalbrüchen ein.
Funktionales Denken, verstanden als Denken in funktionalen Zusammenhängen, ist weit über die Funk... more Funktionales Denken, verstanden als Denken in funktionalen Zusammenhängen, ist weit über die Funktionenlehre hinaus auch in anderen Inhaltsbereichen typisch für mathematisches Arbeiten. Der großen Bedeutung funktionalen Denkens stehen dabei nicht mindergroße Schwierigkeiten bei der Ausbildung adäquater mentaler Modelle ("Grundvorstellungen") auf Seiten der Schülerinnen und Schüler gegenüber. Ausgehend von einer Bestandsaufnahme in der Grundschule werden Ansätze zur Förderung des funktionalen Denkens in den Sekundarstufen vorgestellt.
Es ist nicht verboten, an einer Stelle in der Stellenwerttafel mehr als 9 Zählmarken zu haben. Im... more Es ist nicht verboten, an einer Stelle in der Stellenwerttafel mehr als 9 Zählmarken zu haben. Im Gegenteil: Für das Verständnis von Bündelungs-und Entbündelungsprozessen, wie sie zum Beispiel bei schriftlichen und halbschriftlichen Rechenverfahren benötigt werden, sind dezimale nicht-Standard-Zerlegungen von Zahlen notwendig. Aber nicht nur dort, sondern auch für den Aufbau von tragfähigen und anschlussfähigen Grundvorstellungen ist eine flexible Auffassung von Stellenwert-Darstellungen unerlässlich. Wir beleuchten dieses Thema auch im Hinblick auf die zunehmend geforderte "Digitalisierung". Stellenwertverständnis Unser dezimales Zahlsystem basiert auf 5 Kennzeichen: Dem Prinzip der fortgesetzten Bündelung, dem Dezimalsystem, dem Prinzip des Stellenwerts sowie dem multiplikativen und additiven Prinzip (Ross, 1989; Ladel & Kortenkamp, 2014). Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung ist zunächst unabhängig vom Prinzip des Stellenwerts zu sehen, stellt jedoch eine Voraussetzung dar. Denn nur wenn fortgesetzt gebündelt ist, lässt sich der Wert der Zahl auch exakt zuordnen. Das Dezimalsystem stellt eine Konvention dar, ist also einstmals von Menschen festgelegt worden. Theoretisch sind jedoch auch andere Systeme möglich und in Verwendung, wie man zum Beispiel an der Größe Zeit sieht. Das Prinzip des Stellenwerts besagt, dass die Stelle, an der eine Ziffer steht, Informationen über ihren Wert gibt (Einer, Zehner, Hunderter, etc.). Um den Wert einer Ziffer (Ziffernwert) zu erhalten, muss die Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert multipliziert werden (multiplikatives Prinzip). Den Wert der Zahl (Zahlenwert) erhält man, wenn man alle Ziffernwert addiert (additives Prinzip). Das Prinzip des Stellenwerts ist nicht auf eine bestimmte Anzahl an Stellen reduziert-Schülerinnen und Schüler können demnach kein Stellenwertverständnis für maximal dreistellige Zahlen haben. Das Prinzip des Stellenwerts gilt für alle und damit auch für größere oder kleinere Zahlen. Dies folgt aus der konsequenten Anwendung aller Prinzipien. Davon unabhängig werden selbstverständlich erste Zugänge zum Stellenwertverständnis mit zweistelligen Zahlen geschaffen. Das Prinzip der fortgesetzten Bündelung impliziert aber, dass nicht nur in Zehnern gebündelt wird, sondern zehn Zehner wiederum zu einem Hunderter gebündelt werden, und zehn Hunderter wiederum zu einem Tausender, etc., bis von einer Bündeleinheit nicht mehr genügend Bündel (<10) vorhanden sind.
Dieser Beitrag geht auf die Entwicklung sowie auf den aktuellen Stand digitaler Medien im Mathema... more Dieser Beitrag geht auf die Entwicklung sowie auf den aktuellen Stand digitaler Medien im Mathematikunterricht der Primarstufe (Klasse 1 bis 6) ein. Die Entwicklung wird dabei lediglich in Ansatzen aufgegriffen, zeigt jedoch auf, dass digitale Medien schon lange Bestandteil des Mathematikunterrichts sind. Ebenso wird in diesem Beitrag deutlich, welche Auswirkungen die technologische Entwicklung auf den Mathematikunterricht hat. Dabei wird zwischen dem Taschenrechner, dem Computer, Mobilgeraten und weiteren digitalen Medien wie dem interactive Whiteboard und dem Multitouch-Tisch unterschieden. Schlieslich werden Sensoren und Aktoren thematisiert, die aktuell besonderes Interesse hervorrufen. Auch das stark diskutierte Thema des Programmierens in der Primarstufe wird im Hinblick auf die Forderung algorithmischen Denkens aufgegriffen.
The International Journal for Technology in Mathematics Education, 2013
In this article we present an activity theory based framework that can capture the complex situat... more In this article we present an activity theory based framework that can capture the complex situations that arise when modern technology like multi-touch devices are introduced in classroom situations. As these devices are able to cover more activities than traditional technologies, even computer-based, media, we have to accept that they now take a larger role in the model of interactions. We reflect this fact by moving the artefact into the centre of our observations, leading to an artefact-centric activity theory (ACAT). The theory was developed in the need of analysing learning environments for primary maths education.
Ist das dann noch ein Zehner oder ist das dann ein Einer?"-Zu einem flexiblen Verständnis von Ste... more Ist das dann noch ein Zehner oder ist das dann ein Einer?"-Zu einem flexiblen Verständnis von Stellenwerten Ein flexibles Verständnis von Stellenwerten stellt die Grundlage für das Verständnis vieler weiterer mathematischer Inhalte, wie z.B. der schriftlichen Addition und Subtraktion oder der halbschriftlichen Division dar. In unserem Beitrag diskutieren wir die Ergebnisse einer qualitativen und quantitativen Studie mit Schülerinnen und Schülern der zweiten und dritten Klasse.
Seit es digitale Medien gibt und die Schulbuchverlage und Computer-Hersteller diese für sich entd... more Seit es digitale Medien gibt und die Schulbuchverlage und Computer-Hersteller diese für sich entdeckt haben gibt es Erfolgs-Versprechungen. 2005 ging Günter Krauthausen bereits darauf ein. Er erwähnt eine Software aus den 90er-Jahren, die "Versetzungsgarantie" verspricht, eine 2003 erschienene "Software mit Lerngarantie". Und auch heute noch versprechen Online-Programme "bessere Noten in 15 Minuten". Genau die gegensätzliche Position wird u.a. durch Spitzer vertreten, der auf die Gefahren digitaler Medien aufmerksam macht. Spitzer kritisiert die digitalen Medien und schreibt, "dass das Bewusstsein, Sachverhalte jederzeit im Netz finden zu können, die Speicherung im Gehirn verhindert: Wer mit der Einstellung "Ich kann das jederzeit googeln" ins Netz geht, der wird, [...] solches Expertenwissen in weitaus geringerem Maß erlernen als jemand, der nicht mit dieser Einstellung [...] unterwegs ist." (Spitzer 2012, S. 212). Ebenso wie Spitzer heute behauptet, dass die ständige Verfügbarkeit des Internets und das Nachlesen darin die Speicherung im Gehirn verhindern würde, behauptete Platon in einem fiktiven Dialog zwischen Sokrates und dessen Schüler Phaidros, dass die ständige Verfügbarkeit von Büchern und das Nachlesen darin zu einem Verlust des Erinnerns führen würde und das Buch lediglich als externer Speicher bzw. externes Gedächtnis diene: "Denn Vergessenheit wird dieses in den Seelen derer, die es kennenlernen, herbeiführen, durch Vernachlässigung des Erinnerns, sofern sie nun im Vertrauen auf die Schrift von außen her mittelst fremder Zeichen nicht von innen her aus sich selbst, das Erinnern schöpfen. Nicht also für das Erinnern, sondern für das Gedächtnis hast du ein Hilfsmittel erfunden." (Platon ca. 370 v. Chr.). Die Kritik Platons ist insofern verständlich, dass Schrift häufig nicht reflektiert, sondern einfach nur wiedergegeben wird. Man muss sich jedoch die Frage stellen, was durch die Schrift überhaupt erst alles ermöglicht wird. Schrift ist also nicht per se ein schlechtes Medium-ebenso wenig wie auch digitale Medien per se schlecht sind. Inhaltlich sind die beiden Zitate von Spitzer und Platon vergleichbar, die Kritik an Medien ist nichts Neues. Der Kulturpessimismus hat eine gewisse Tradition. Garantierter Lernerfolg oder digitale Demenz? Ist das die richtige Frage? Können wir das überhaupt so pauschal beantworten oder müssen wir den Einsatz digitaler Medien nicht vielmehr differenziert betrachten?
Sektion ‚PriMaMedien' Die Arbeitsgruppe ‚PriMaMedien-Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Me... more Sektion ‚PriMaMedien' Die Arbeitsgruppe ‚PriMaMedien-Lernen, Lehren und Forschen mit digitalen Medien im Mathematikunterricht in der Primarstufe' tagt seit 2007 regelmäßig und ist Teil des Arbeitskreises Grundschule der GDM. Die Mitglieder der Arbeitsgruppe teilen das Interesse an der Entwicklung, der Konzeption, dem Einsatz und der Bewertung digitaler Medien für den Mathematikunterricht in der Primarstufe. Dabei wird auch die Lehrerbildung für diesen Bereich berücksichtigt.
In this article we discuss the use of ICT, especially of multi-touch technology, to survey and to... more In this article we discuss the use of ICT, especially of multi-touch technology, to survey and to enhance the development of children's concepts of numbers. As a basis for the design and analysis of this research project we refer to the Artefact-Centric Activity Theory (ACAT), that is based on Engeström's structure of human activity systems. Adopting this theory, we focus on the different processes of internalization and externalization mediated by the artefact. The children externalize their concept of numbers through touching a multi-touch screen with their fingers and thus producing tokens. The object, that is a well-developed concept of numbers, determines the design of the multi-touch surface, that is also determined by general rules. The visualization of the multitouch table contemporaneously gives feedback to the children that leads to an internalization. Hence the design of the user interface plays an important role. Also the partner as well as the (nursery) teacher and the kind of questions, that have influence on the child's externalization.
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