Papers by Humberto Jose Bortolossi
ctas de la Conferencia Latinoamericana de GeoGebra, 2012
Sistemas de Computação Simbólica são softwares matemáticos que permitem lidar com símbolos e obte... more Sistemas de Computação Simbólica são softwares matemáticos que permitem lidar com símbolos e obter respostas exatas para muitos problemas matemáticos, como a fatoração de números inteiros e polinômios, operações com matrizes, resolução de sistemas lineares e não lineares de equações, operações com números complexos, simplificações de expressões, cálculo de limites, derivadas e integrais, resolução de equações diferenciais, etc. Cálculos aproximados podem ser feitos com um número arbitrário de dígitos (limitado apenas pela memória do computador). Todos esses atributos fazem de um sistema de computação simbólica um laboratório excepcional para o desenvolvimento, ensino e aprendizagem da matemática. Nesta oficina, exploraremos os recursos de computação simbólica do software gratuito GeoGebra 4.2 através de uma sequência de exercícios orientados para a matemática do Ensino Médio. Esperamos que o participante da oficina aprecie as potencialidades e perceba as limitações desse tipo de ferramenta.
Gazetamatemática, 2013
O primeiro módulo mostra como imagens digitais binárias podem ser representadas por matrizes e co... more O primeiro módulo mostra como imagens digitais binárias podem ser representadas por matrizes e como certas manipulações da imagem são realizadas através de operações nas linhas e colunas da matriz correspondente. O segundo módulo estuda imagens em tons de cinza através de um programa que permite modificar a intensidade de um pixel a partir de uma função definida pelo usuário. O terceiro módulo estuda imagens coloridas através do sistema RGB de cores. Neste sistema, três matrizes são usadas para especificar as quantidades de vermelho (red), verde (green) e azul (blue) da imagem. O quarto módulo mostra como uma cor do sistema RGB pode ser identificado com um ponto de um cubo (o cubo de cores). O quinto módulo mostra como usar as operações de multiplicação por escalar e soma de matrizes para criar um efeito de transição entre imagens de mesmo tamanho.
Revista dp Professor de Matemática, 2013
neste artigo exploramos comoexplorar propriedades esttística de textos.
actas del l 10° Seminario de Enseñanza y Aprendizaje del Cálculo y 1er Encuentro de Educación Económica y Financiera desde la Educación Matemática, 2024
El concepto de función es fundamental y desempeña un papel crucial en varias áreas de las matemát... more El concepto de función es fundamental y desempeña un papel crucial en varias áreas de las matemáticas. No obstante, existen varios obstáculos epistemológicos en la comprensión del concepto de función, como señalan, por ejemplo, Dubinsky y Harel (1992).
Livraria da Física, 2019
A humanidade, desde os primórdios de sua história, tem observado o céu e tentado entendê-lo. Esse... more A humanidade, desde os primórdios de sua história, tem observado o céu e tentado entendê-lo. Esse processo histórico
gerou e articulou (e ainda gera e articula) conhecimentos
de várias naturezas, incluindo conhecimentos matemáticos. Estudar
as várias teorias e os vários modelos já propostos para a estrutura, a
evolução e a composição do Universo se coloca como um exemplo
por excelência para a apreciação da interação de fatores da construção do conhecimento (epistemologia), da concepção da realidade
(ontologia), dos juízos de valor (axiologia) e das influências culturais no entendimento de fenômenos naturais.
De fato, o estudo da história das teorias e modelos cosmológicos, entre outros atributos, (1) dá ao estudante a oportunidade
de avaliar uma teoria em seus múltiplos aspectos; (2) mostra ao
estudante que teorias são geralmente julgadas em comparação com
outras teorias, com relação a sua precisão em fazer previsões e na sua
capacidade de explicar o que acontece (resolver mistérios); (3) evidencia para o estudante o papel cultural dos conhecimentos matemáticos, isto é, que eles ocorrem em um dado local e em uma dada
época segundo contextos sociais, tecnológicos, cientÍficos e culturais
específicos; (4) revela ao estudante que a construção dos conhecimentos matemáticos é um empreendimento e um esforço humano.
Dada a limitação do número de páginas, nosso texto se concentra em três episódios históricos relacionados com modelos cosmológicos, a saber, a Teoria dos Epiciclos de Ptolomeu, o Mysterium
Cosmographicum de Kepler e o Modelo da Mecânica Clássica de
Newton. Com o intuito de amplificar a exploração do tema como
um exercício intelectual de reflexão em si (meta-análise) sobre teorias e modelos em geral (suas concepções, limitações, usos, etc.) em
14 Humberto José Bortolossi I Regina Célia Guapo Pasquini
Filosofia da Ciência, incluímos um breve capítulo sobre teoria das
teorias. Naturalmente, todos os tópicos podem ser aprofundados e,
por este motivo, sempre que possível, incluímos referências com os
quais o leitor pode estudar e aprender mais.
O estudo que faremos aqui pressupõe uma participação ativa
por meio das várias tarefas e atividades intercaladas ao longo do
texto. Estas tarefas vêm em vários sabores: atividades computacionais interativas (em geral, feitas com o GeoGebra e que podem
ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets, computadores
desktop e laptops); uso de material concreto (no caso, um espirágrafo); exercícios de Matemática; reflexões teóricas.
Nas tarefas propostas, principalmente nos Episódios 1 e 3,
utilizamos uma abordagem moderna via geometria analítica e funções no lugar dos métodos geométricos historicamente empregados
pelos autores em questão. Pensando na sala de aula, essa nossa abordagem se alinha com aquela de Fried (2014).
A conclusão parece ser clara. A fim de ter uma abordagem histórica em educação matemática na qual a história é considerada seriamente como uma forma de conhecimento, devemos
abraçar uma abordagem nas direções do tema cultural e rejeitar
as propostas Whiggish (anacrônicas) derivadas do tema curricular. Mas existe uma dificuldade aqui. Não podemos esquecer que educadores matemáticos não são historiadores e têm
outras preocupações legítimas. Assim, enquanto que a história
da matemática pode moderar o presente para entender o passado, a educação matemática se justifica por si só precisamente
pelo poder e necessidade da matemática em contextos modernos, em ciência, engenharia, economia e indústria.
Livraria da Física, 2015
Simetria é um conceito-chave em Matemática com aplicações
importantes em áreas como Física, Quími... more Simetria é um conceito-chave em Matemática com aplicações
importantes em áreas como Física, Química, Biologia,
Cristalografia, Arquitetura, entre outras. Ao longo
da História, a palavra “simetria” teve diferentes significados
culminando com o conceito moderno de invariância por um
grupo de transformações. Neste minicurso iremos contrapor
este desenvolvimento histórico com o contexto escolar (currículo
e livros didáticos) com ênfase especial no conceito moderno
de simetria. O tema é um campo fértil para discussões
sobre as abordagens anacrônica e diacrônica da História da
Matemática.
O estudo que faremos aqui pressupõe que você participe
ativamente por meio das várias tarefas e atividades intercaladas
ao longo do texto. Estas tarefas vêm em cinco sabores: (1)
atividades computacionais interativas feitas com o GeoGebra
(que podem ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets,
computadores desktop e laptops), (2) atividades com material
concreto (cartolina, transparências e planificações), (3)
exercícios de Matemática, (4) reflexões sobre a prática e (5)
análises de documentos de orientação curricular, livros didáticos
e fragmentos de textos históricos (em um certo ponto,
iremos até mesmo analisar uma pequena frase em grego e, lá,
você perceberá o porquê disto ser necessário para justificar
uma determinada afirmação histórica).
Os capítulos estão divididos da seguinte forma: no Capítulo
2 fazemos uma reflexão inicial dos significados da
palavra “simetria”, das abordagens históricas que podem
ser usadas para analisar estes significados e um resumo das
conclusões históricas obtidas pelo tratado de Hon e Goldstein
(2008); no Capítulo 3 estudamos o conceito moderno de sime18
Simetria - História de um Conceito e suas Implicações no Contexto Escolar
tria no contexto de Geometria Euclidiana Plana; no Capítulo
4 apresentamos o importante papel de Adrien-Marie Legendre
na história da simetria; no Capítulo 5 são apresentados
os significados da palavra “simetria” na Antiguidade, mais
precisamente, em Os Elementos de Euclides e nos Dez Livros de
Arquitetura de Vitruvius; no Capítulo 6 trazemos uma análise
de como o conceito de simetria é tratado em documentos de
orientação curricular e em livros didáticos; por fim, no Capítulo
7, pontuamos uma conexão entre simetria e Física e sugerimos
alguns questionamentos para reflexão.
Revista do Instituto GeoGebra de São Paulo, 2024
Neste artigo, detalhamos como, por meio da programação em JavaScript no GeoGebra, é possível inte... more Neste artigo, detalhamos como, por meio da programação em JavaScript no GeoGebra, é possível integrá-lo ao serviço de Texto para Fala (TTS) da Google, conferindo ao software funcionalidades de síntese de voz. Esta integração não apenas enriquece o GeoGebra com novas capacidades de expressão verbal, mas também amplia de maneira significativa seu escopo semiótico, facilitando uma representação dos conceitos abordados mais rica e diversificada. A incorporação da dimensão vocal transforma o software, introduzindo um nível adicional de interatividade e acessibilidade, o que realça seu impacto educacional. Especialmente relevante é a capacidade desta inovação de facilitar a criação de atividades educacionais acessíveis para pessoas com necessidades especiais, tornando o processo de ensino e aprendizagem mais inclusivos em ambientes digitais. Este avanço representa um passo importante na direção de um ambiente educacional mais adaptável e abrangente, promovendo a inclusão e ampliando as possibilidades pedagógicas do GeoGebra. Além disso, ilustramos a aplicabilidade prática desta tecnologia por meio de dois exemplos demonstrando seu potencial transformador na educação.
The purpose of these notes is to present computational advances in the analysis of the hy- drothe... more The purpose of these notes is to present computational advances in the analysis of the hy- drothermal scheduling problem studied in ( 2). In the first part we briefly summarize the main results of the original paper, stating the main theorems without proofs. In the second part we present the computer program wxHSP, designed to obtain numerical solutions to the problem. The numerical routines are described and dis- cussions about the implementation and efficiency of each one is included. We conclude with the application of the geodesic routines to our case study, the El Cajon system in Honduras.
Recorte um triângulo ABC qualquer de uma folha de cartolina. Supondo um dia ensolarado em que os ... more Recorte um triângulo ABC qualquer de uma folha de cartolina. Supondo um dia ensolarado em que os raios do Sol cheguem paralelos e perpendiculares a uma superfície plana, que tipo de sombras esse triângulo irá produzir nessa superfície, dependendo de como eleé segurado no espaço? Se o triângulo ABC não estiver paralelo aos raios solares, sua sombra será um triângulo. Mas, nesse caso, quais tipos de sombras triangulares podem ser produzidas? Seria possível, por exemplo, segurar o triângulo ABC (suposto qualquer) de forma que sua sombra seja um triângulo equilátero? A respostaé afirmativa, como atesta o teorema seguinte. Apresentaremos uma demonstração algébrica um pouco longa, mas elementar (istoé, acessivel a alunos do Ensino Médio), e de nosso conhecimento, inédita.
Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo
O Professor Humberto Bortolossi é Licenciado em Matemática pela UEM, mestre em Matemática pelo IM... more O Professor Humberto Bortolossi é Licenciado em Matemática pela UEM, mestre em Matemática pelo IMPA e doutor em Matemática pela PUC-Rio. É professor Associado I da Universidade Federal Fluminense. Ele é uma das grandes referências no Brasil quando o assunto é GeoGebra. Foi o primeiro tradutor do GeoGebra para o português do Brasil, ajudando muito a divulgar e implementar o uso do software no País. Certamente, também deveria ser um autor convidado para escrever um artigo para essa edição. Todavia, no momento que a revista começou a ser produzida, o Humberto não estava com condições de escrever. Dessa forma, optamos por fazer uma conversa online com ele e transcrevê-la.
O grupo TED (acronimo para Technology, Entertainment, Design) e uma organizacao sem fins lucrativ... more O grupo TED (acronimo para Technology, Entertainment, Design) e uma organizacao sem fins lucrativos a qual, entre outros atributos, promove e divulga palestras (curtas, de no maximo 18 minutos) dadas por especialistas sobre os mais variados temas. Todos os videos sao gratuitos (licenciados pelo Creative Commons) e existem legendas para varios idiomas, incluindo o portugues. Indicamos a seguir, como ponto de partida, alguns videos relacionados com matematica e estatistica.
Desestigmatizando a Notação e os Diagramas Matemáticos, 2023
Existe, por parte do público em geral, uma percepção negativa associadaà notação e aos diagramas ... more Existe, por parte do público em geral, uma percepção negativa associadaà notação e aos diagramas matemáticos. Basta ver as imagens associadasà Matemática disponíveis na Internet ou, mais recentemente este vídeo https://youtu.be/Bz5Mvf2MCEQ que viralizou nas redes sociais. O presente texto foi escrito com o intuito de combater esta percepção, em nossa opinião equivocada, trazendo reflexões sobre o papel das notações e formas derepresentações matemáticas.
Alguns exemplos de exercícios metacognitivos que promovem o desenvolvimento conceitual em Matemática, 2023
Neste texto, após uma breve introdução sobre o conceito de metacognição e de sua importância no c... more Neste texto, após uma breve introdução sobre o conceito de metacognição e de sua importância no contexto educacional, apresentamos e discutimos alguns exemplos que ilustram o processo de articulação metacognitivo com vistas para o desenvolvimento conceitual adotado em alguns textos produzidos para o Projeto Livro Aberto de Matemática. Trata-se de uma pesquisa-ação descritiva. Nosso objetivo é, por meio de nosso relato, sensibilizar os produtores de materiais didáticos para considerarem a metacognição em seu trabalho. A partir de várias Oficinas realizadas com alunos do Ensino Médio, professores da Escola Básica e alunos de licenciatura em que aplicamos as atividades aqui relatadas, pudemos constatar o potencial e a importância a metacognição para promover o desenvolvimento conceitual. Palavras-chave: Metacognição; livro didático; ensino; aprendizagem matemática.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA HJB - GMA - UFF, Jul 5, 2011
Revista Professor de Matemática On line
Existe, por parte do público em geral, uma percepção negativa associadaà notação e aos diagramas ... more Existe, por parte do público em geral, uma percepção negativa associadaà notação e aos diagramas matemáticos. Basta ver as imagens e os memes associadosà Matemática que se encontram na Internet ou, mais recentemente, este vídeo https://youtu.be/Bz5Mvf2MCEQ que viralizou nas redes sociais. O presente texto foi escrito com o intuito de combater esta percepção, em nossa opinião equivocada, trazendo reflexões sobre o papel das notações e formas de representações matemáticas.
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Papers by Humberto Jose Bortolossi
gerou e articulou (e ainda gera e articula) conhecimentos
de várias naturezas, incluindo conhecimentos matemáticos. Estudar
as várias teorias e os vários modelos já propostos para a estrutura, a
evolução e a composição do Universo se coloca como um exemplo
por excelência para a apreciação da interação de fatores da construção do conhecimento (epistemologia), da concepção da realidade
(ontologia), dos juízos de valor (axiologia) e das influências culturais no entendimento de fenômenos naturais.
De fato, o estudo da história das teorias e modelos cosmológicos, entre outros atributos, (1) dá ao estudante a oportunidade
de avaliar uma teoria em seus múltiplos aspectos; (2) mostra ao
estudante que teorias são geralmente julgadas em comparação com
outras teorias, com relação a sua precisão em fazer previsões e na sua
capacidade de explicar o que acontece (resolver mistérios); (3) evidencia para o estudante o papel cultural dos conhecimentos matemáticos, isto é, que eles ocorrem em um dado local e em uma dada
época segundo contextos sociais, tecnológicos, cientÍficos e culturais
específicos; (4) revela ao estudante que a construção dos conhecimentos matemáticos é um empreendimento e um esforço humano.
Dada a limitação do número de páginas, nosso texto se concentra em três episódios históricos relacionados com modelos cosmológicos, a saber, a Teoria dos Epiciclos de Ptolomeu, o Mysterium
Cosmographicum de Kepler e o Modelo da Mecânica Clássica de
Newton. Com o intuito de amplificar a exploração do tema como
um exercício intelectual de reflexão em si (meta-análise) sobre teorias e modelos em geral (suas concepções, limitações, usos, etc.) em
14 Humberto José Bortolossi I Regina Célia Guapo Pasquini
Filosofia da Ciência, incluímos um breve capítulo sobre teoria das
teorias. Naturalmente, todos os tópicos podem ser aprofundados e,
por este motivo, sempre que possível, incluímos referências com os
quais o leitor pode estudar e aprender mais.
O estudo que faremos aqui pressupõe uma participação ativa
por meio das várias tarefas e atividades intercaladas ao longo do
texto. Estas tarefas vêm em vários sabores: atividades computacionais interativas (em geral, feitas com o GeoGebra e que podem
ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets, computadores
desktop e laptops); uso de material concreto (no caso, um espirágrafo); exercícios de Matemática; reflexões teóricas.
Nas tarefas propostas, principalmente nos Episódios 1 e 3,
utilizamos uma abordagem moderna via geometria analítica e funções no lugar dos métodos geométricos historicamente empregados
pelos autores em questão. Pensando na sala de aula, essa nossa abordagem se alinha com aquela de Fried (2014).
A conclusão parece ser clara. A fim de ter uma abordagem histórica em educação matemática na qual a história é considerada seriamente como uma forma de conhecimento, devemos
abraçar uma abordagem nas direções do tema cultural e rejeitar
as propostas Whiggish (anacrônicas) derivadas do tema curricular. Mas existe uma dificuldade aqui. Não podemos esquecer que educadores matemáticos não são historiadores e têm
outras preocupações legítimas. Assim, enquanto que a história
da matemática pode moderar o presente para entender o passado, a educação matemática se justifica por si só precisamente
pelo poder e necessidade da matemática em contextos modernos, em ciência, engenharia, economia e indústria.
importantes em áreas como Física, Química, Biologia,
Cristalografia, Arquitetura, entre outras. Ao longo
da História, a palavra “simetria” teve diferentes significados
culminando com o conceito moderno de invariância por um
grupo de transformações. Neste minicurso iremos contrapor
este desenvolvimento histórico com o contexto escolar (currículo
e livros didáticos) com ênfase especial no conceito moderno
de simetria. O tema é um campo fértil para discussões
sobre as abordagens anacrônica e diacrônica da História da
Matemática.
O estudo que faremos aqui pressupõe que você participe
ativamente por meio das várias tarefas e atividades intercaladas
ao longo do texto. Estas tarefas vêm em cinco sabores: (1)
atividades computacionais interativas feitas com o GeoGebra
(que podem ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets,
computadores desktop e laptops), (2) atividades com material
concreto (cartolina, transparências e planificações), (3)
exercícios de Matemática, (4) reflexões sobre a prática e (5)
análises de documentos de orientação curricular, livros didáticos
e fragmentos de textos históricos (em um certo ponto,
iremos até mesmo analisar uma pequena frase em grego e, lá,
você perceberá o porquê disto ser necessário para justificar
uma determinada afirmação histórica).
Os capítulos estão divididos da seguinte forma: no Capítulo
2 fazemos uma reflexão inicial dos significados da
palavra “simetria”, das abordagens históricas que podem
ser usadas para analisar estes significados e um resumo das
conclusões históricas obtidas pelo tratado de Hon e Goldstein
(2008); no Capítulo 3 estudamos o conceito moderno de sime18
Simetria - História de um Conceito e suas Implicações no Contexto Escolar
tria no contexto de Geometria Euclidiana Plana; no Capítulo
4 apresentamos o importante papel de Adrien-Marie Legendre
na história da simetria; no Capítulo 5 são apresentados
os significados da palavra “simetria” na Antiguidade, mais
precisamente, em Os Elementos de Euclides e nos Dez Livros de
Arquitetura de Vitruvius; no Capítulo 6 trazemos uma análise
de como o conceito de simetria é tratado em documentos de
orientação curricular e em livros didáticos; por fim, no Capítulo
7, pontuamos uma conexão entre simetria e Física e sugerimos
alguns questionamentos para reflexão.
gerou e articulou (e ainda gera e articula) conhecimentos
de várias naturezas, incluindo conhecimentos matemáticos. Estudar
as várias teorias e os vários modelos já propostos para a estrutura, a
evolução e a composição do Universo se coloca como um exemplo
por excelência para a apreciação da interação de fatores da construção do conhecimento (epistemologia), da concepção da realidade
(ontologia), dos juízos de valor (axiologia) e das influências culturais no entendimento de fenômenos naturais.
De fato, o estudo da história das teorias e modelos cosmológicos, entre outros atributos, (1) dá ao estudante a oportunidade
de avaliar uma teoria em seus múltiplos aspectos; (2) mostra ao
estudante que teorias são geralmente julgadas em comparação com
outras teorias, com relação a sua precisão em fazer previsões e na sua
capacidade de explicar o que acontece (resolver mistérios); (3) evidencia para o estudante o papel cultural dos conhecimentos matemáticos, isto é, que eles ocorrem em um dado local e em uma dada
época segundo contextos sociais, tecnológicos, cientÍficos e culturais
específicos; (4) revela ao estudante que a construção dos conhecimentos matemáticos é um empreendimento e um esforço humano.
Dada a limitação do número de páginas, nosso texto se concentra em três episódios históricos relacionados com modelos cosmológicos, a saber, a Teoria dos Epiciclos de Ptolomeu, o Mysterium
Cosmographicum de Kepler e o Modelo da Mecânica Clássica de
Newton. Com o intuito de amplificar a exploração do tema como
um exercício intelectual de reflexão em si (meta-análise) sobre teorias e modelos em geral (suas concepções, limitações, usos, etc.) em
14 Humberto José Bortolossi I Regina Célia Guapo Pasquini
Filosofia da Ciência, incluímos um breve capítulo sobre teoria das
teorias. Naturalmente, todos os tópicos podem ser aprofundados e,
por este motivo, sempre que possível, incluímos referências com os
quais o leitor pode estudar e aprender mais.
O estudo que faremos aqui pressupõe uma participação ativa
por meio das várias tarefas e atividades intercaladas ao longo do
texto. Estas tarefas vêm em vários sabores: atividades computacionais interativas (em geral, feitas com o GeoGebra e que podem
ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets, computadores
desktop e laptops); uso de material concreto (no caso, um espirágrafo); exercícios de Matemática; reflexões teóricas.
Nas tarefas propostas, principalmente nos Episódios 1 e 3,
utilizamos uma abordagem moderna via geometria analítica e funções no lugar dos métodos geométricos historicamente empregados
pelos autores em questão. Pensando na sala de aula, essa nossa abordagem se alinha com aquela de Fried (2014).
A conclusão parece ser clara. A fim de ter uma abordagem histórica em educação matemática na qual a história é considerada seriamente como uma forma de conhecimento, devemos
abraçar uma abordagem nas direções do tema cultural e rejeitar
as propostas Whiggish (anacrônicas) derivadas do tema curricular. Mas existe uma dificuldade aqui. Não podemos esquecer que educadores matemáticos não são historiadores e têm
outras preocupações legítimas. Assim, enquanto que a história
da matemática pode moderar o presente para entender o passado, a educação matemática se justifica por si só precisamente
pelo poder e necessidade da matemática em contextos modernos, em ciência, engenharia, economia e indústria.
importantes em áreas como Física, Química, Biologia,
Cristalografia, Arquitetura, entre outras. Ao longo
da História, a palavra “simetria” teve diferentes significados
culminando com o conceito moderno de invariância por um
grupo de transformações. Neste minicurso iremos contrapor
este desenvolvimento histórico com o contexto escolar (currículo
e livros didáticos) com ênfase especial no conceito moderno
de simetria. O tema é um campo fértil para discussões
sobre as abordagens anacrônica e diacrônica da História da
Matemática.
O estudo que faremos aqui pressupõe que você participe
ativamente por meio das várias tarefas e atividades intercaladas
ao longo do texto. Estas tarefas vêm em cinco sabores: (1)
atividades computacionais interativas feitas com o GeoGebra
(que podem ser acessadas via smartphones mais recentes, tablets,
computadores desktop e laptops), (2) atividades com material
concreto (cartolina, transparências e planificações), (3)
exercícios de Matemática, (4) reflexões sobre a prática e (5)
análises de documentos de orientação curricular, livros didáticos
e fragmentos de textos históricos (em um certo ponto,
iremos até mesmo analisar uma pequena frase em grego e, lá,
você perceberá o porquê disto ser necessário para justificar
uma determinada afirmação histórica).
Os capítulos estão divididos da seguinte forma: no Capítulo
2 fazemos uma reflexão inicial dos significados da
palavra “simetria”, das abordagens históricas que podem
ser usadas para analisar estes significados e um resumo das
conclusões históricas obtidas pelo tratado de Hon e Goldstein
(2008); no Capítulo 3 estudamos o conceito moderno de sime18
Simetria - História de um Conceito e suas Implicações no Contexto Escolar
tria no contexto de Geometria Euclidiana Plana; no Capítulo
4 apresentamos o importante papel de Adrien-Marie Legendre
na história da simetria; no Capítulo 5 são apresentados
os significados da palavra “simetria” na Antiguidade, mais
precisamente, em Os Elementos de Euclides e nos Dez Livros de
Arquitetura de Vitruvius; no Capítulo 6 trazemos uma análise
de como o conceito de simetria é tratado em documentos de
orientação curricular e em livros didáticos; por fim, no Capítulo
7, pontuamos uma conexão entre simetria e Física e sugerimos
alguns questionamentos para reflexão.
Representações em Matemática (semiótica): exemplos, aspectos cognitivos e culturais; projeções em perspectiva: conceitualização via definição 3D, propriedades com justificativas,
aplicações (pinturas, ilusões de ótica); projeções paralelas: conceitualização, propriedades e aplicações (planta baixa, mapa de fuga, vistas e ilustrações em áreas diversas).
Por que?
As projeções em perspectiva fornecem um modelo matemático que auxilia na compreensão de como vemos, comunicamos e interagimos com o mundo. Já as projeções paralelas
fornecem uma representação mais simples e fácil de se entender e, assim, elas têm sido utilizadas para a confecção de ilustrações em várias áreas: arquitetura, engenharia, biologia,
etc. Além disso, no dia a dia, é importante, por exemplo, saber interpretar diagramas 2D de objetos 3D que descrevem como montar uma cama, colocar um cartucho em uma
impressora, abrir a porta de emergência do avião o, descobrir a saída de emergência mais próxima em um hotel, etc.
Vetores no plano do ponto de vista geométrico (segmentos orientados) e algébrico (coordenadas); operações
com vetores (adição, subtração e multiplicação por escalar) e suas interpretações geométricas (translação
e homotetia); algumas aplicações na Física.
Por que?
Vetores são os objetos matemáticos adequados para se descrever, de modo apropriado, certas grandezas
(ditas vetoriais) tais como deslocamento, velocidade, aceleração e força. Mais ainda, muitas leis naturais
são expressas por equações que envolvem vetores e estudar tais equações permite entender os fenômenos
associados. Além disso, o material deste capítulo fornece um primeiro contato, mais simples, com uma
disciplina universitária denominada Álgebra Linear, que possui várias aplicações em Biologia, Economia,
Computação Gráfica, Engenharia, Física, Matemática, Química, Estatística, etc.
matemáধca da educação básica. Justamente por isso, tanto se publicou sobre o assunto
nas úlধmas décadas (para citar apenas algumas das referências mais uধlizadas: Raࣅonal
Number Project, Insࣅtute of Educaࣅon Science, 2010 [7], Van de Walle, 2009 [29] e Wu,
2011 [31]). Este texto, organizado como uma proposta didáধca, reúne as reflexões e as
discussões dos autores sobre o tema, amparadas por essas publicações e pela análise
de livros didáধcos de diversos países. A proposta aqui apresentada foi planejada para:
(i) ser aplicada diretamente em sala de aula, como material didáধco desধnado aos anos
intermediários do ensino fundamental (do 4
o
ao 7
o
ano) e
(ii) amparar a formação e o desenvolvimento profissional do professor que ensina matemáধca na educação básica.
O texto concentra-se na abordagem inicial de frações como objeto matemáধco, buscando explorar o assunto a parধr de aধvidades que visam à construção conceitual do
tema e a conduzir os alunos a desenvolverem o raciocínio matemáধco amparados por
reflexão e por discussão. Assim, as aধvidades visam a desafiar os alunos e a levá-los
a estabelecer suas próprias conclusões sobre os assuntos tratados. Busca-se valorizar
a capacidade cogniধva dos alunos, respeitando uma organização crescente e arধculada
de dificuldade na organização das aধvidades. Espera-se com isso mudar a perspecধva
do binômio quanধdade/qualidade. No lugar de uma quanধdade enorme de exercícios,
são propostas poucas aধvidades que exigem maior reflexão e aprofundamento dos conceitos. Assim, são evitadas aধvidades de simples observação e repeধção de modelos
e os tradicionais “exercícios de fixação”, que, pontuais, são apenas com o objeধvo de
desenvolver a fluência em procedimentos específicos (por exemplo, os que envolvem a
equivalência entre frações).
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Happy International Mathematics Day
ivro gratuito que escrevi em comemoração ao dia internacional da matemática! compartilhe com alunos, amigos, colegas de trabalho e familiares. vamos divulgar a matemática!
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críticas e sugestões são bem vindas! compartilhe a vontade!
feliz dia internacional da matemática!