Nesta seção, introduziremos o conceito de estados físicos de um sistema em mecânica clássica. Int... more Nesta seção, introduziremos o conceito de estados físicos de um sistema em mecânica clássica. Introdução A mecânica clássicaé considerada, ao mesmo tempo e por boas razões, um protótipo e uma teoria efetiva da física quântica.É uma questão aberta a forma como a mecânica quântica pode ser mapeada em seu análogo clássico de forma geral, mas em muitos sistemas físicos específicos há uma correspondência entre a descrição clássica e quântica. Contudo, como a mecânica clássica surgiu muito antes da mecânica quântica, muitos conceitos permanecem descorrelacionados entre ambas as visões de mundo, não por haver discordâncias fundamentais entre os pontos de vista, mas por tradicionalismo por parte da visão clássica. Outros conceitos foram modificados por necessidade empírica ou epistemológica. Um dos conceitos que carregamos ainda hoje e que pode ser reformulado para ser análogo ao mesmo conceito em mecânica quântica, sem perder suas características ontológicas,é o conceito de estado físico. Na verdade, o conceito fundamental aindaé compartilhado por ambas as teorias. Um estado físico de um sistemaé determinado por um conjunto específico de características capaz de descrevê-lo completamente.
Resumo dos conceitos primitivosVamos relembrar os conceitos primitivos que apresentamos em aulas ... more Resumo dos conceitos primitivosVamos relembrar os conceitos primitivos que apresentamos em aulas passadas, para preparar o terreno do que vem a seguir.Primeiro, introduzimos o conceito de particula classica, que consiste em um objeto sem dimensoes, que nao pode ser criado ou destruido, e que possui um conjunto de observaveis associados, ou definidores, como a massa e a carga eletrica. Com a particula, podemos construir sistemas de particulas, que consistem em conjuntos de particulas com suas caracteristicas definidoras.No contexto de sistemas de particulas, ou sistemas fisicos, introduz-se o conceito de interacao e de movimento. Duas particulas em um mesmo sistema, no geral, interagem entre si mudando seus estados de movimento. A interacao entre particulas depende dos observaveis intrinsecos as particulas do sistema, como a massa e a carga eletrica, que geram as interacoes gravitacional e eletromagnetica, respectivamente. Estados de movimento necessitam da estrutura matematica para ...
We propose a new way to obtain polynomial dynamical invariants of the classical and quantum time-... more We propose a new way to obtain polynomial dynamical invariants of the classical and quantum time-dependent harmonic oscillator from the equations of motion. We also establish relations between linear and quadratic invariants, and discuss how the quadratic invariant can be related to the Ermakov invariant.
In this paper, it is proposed a quantization procedure for the one-dimensional harmonic oscillato... more In this paper, it is proposed a quantization procedure for the one-dimensional harmonic oscillator with time-dependent frequency, time-dependent driven force, and time-dependent dissipative term. The method is based on the construction of dynamical invariants previously proposed by the authors, in which fundamental importance is given to the linear invariants of the oscillator.
Rich media available at Translações O espaço euclidiano tridimensional R 3 é homogêneo, o que sig... more Rich media available at Translações O espaço euclidiano tridimensional R 3 é homogêneo, o que significa que ele tem as mesmas propriedades geométricas independentemente da posição da origem do sistema de coordenadas. A homogeneidade também significa a invariância da métrica por translações.
We analyse systems described by first order actions using the Hamilton-Jacobi (HJ) formalism for ... more We analyse systems described by first order actions using the Hamilton-Jacobi (HJ) formalism for singular systems. In this study we verify that generalized brackets appear in a natural way in HJ approach, showing us the existence of a symplectic structure in the phase spaces of this formalism.
In this work we discuss the natural appearance of the Generalized Brackets in systems with non-in... more In this work we discuss the natural appearance of the Generalized Brackets in systems with non-involutive (equivalent to second class) constraints in the Hamilton-Jacobi formalism. We show how a consistent geometric interpretation of the integrability conditions leads to the reduction of degrees of freedom of these systems and, as consequence, naturally defines a dynamics in a reduced phase space.
We propose Lobachevsky boundary conditions that lead to asymptotically H^2xR solutions. As an exa... more We propose Lobachevsky boundary conditions that lead to asymptotically H^2xR solutions. As an example we check their consistency in conformal Chern-Simons gravity. The canonical charges are quadratic in the fields, but nonetheless integrable, conserved and finite. The asymptotic symmetry algebra consists of one copy of the Virasoro algebra with central charge c=24k, where k is the Chern-Simons level, and an affine u(1). We find also regular non-perturbative states and show that none of them corresponds to black hole solutions. We attempt to calculate the one-loop partition function, find a remarkable separation between bulk and boundary modes, but conclude that the one-loop partition function is ill-defined due to an infinite degeneracy. We comment on the most likely resolution of this degeneracy.
Rich media available at Vamos apresentar novamente os postulados que introduzimos até aqui: Postu... more Rich media available at Vamos apresentar novamente os postulados que introduzimos até aqui: Postulado 1: A posição de uma partícula é representada por um ponto em R 3 . Postulado 2: A distância entre duas partículas é representada pela distância euclidiana em R 3 . Postulado 3: O movimento de uma partícula é representado por uma curva suave em R 3 . Postulado 4: O tempo é representado pelo parâmetro das curvas em R 3 com as propriedades: Homogeneidade, Invariância do intervalo de tempo entre observadores, Crescimento monotônico. Com estes postulados, fomos capazes de introduzir observáveis intrínsecos, que são definidores da partícula, como a massa e a carga elétrica. Ainda, vimos que existem outros observáveis, os observáveis extrínsecos, que possuem relação com a partícula. Os postulados 3 e 4 são, para todos os efeitos, os postulados que introduzem o fenômeno do movimento, então, podemos agora dizer que os observáveis extrínsecos são responsáveis por definir estados de movimento, ou seja, possuem relação com a partícula mas pertencem, em última instância, à forma como esta se move no espaço.
RotacoesA isotropia de um espaco esta relacionada a invariância de suas caracteristicas geometric... more RotacoesA isotropia de um espaco esta relacionada a invariância de suas caracteristicas geometricas por rotacoes. Uma ro tacao e uma operacao que pode ser executada diretamente sobre o sistema fisico, tenho assim form a ativa, mas tambem possui uma versao passiva, que consiste na rotacao do sistema de coordenadas, mas mantem o sistema inalterado. Uma rotacao na forma ativa consiste na rotacao inversa em forma passiva, e vice-versa.Por exemplo, podemos tomar uma rotacao passiva no espaco euclidiano bidimensional \(\mathbb{R}^2\), como no caso da fig. \ref{701595}.
Rich media available at Até este ponto de nossa tentativa de axiomatização da mecânica clássica, ... more Rich media available at Até este ponto de nossa tentativa de axiomatização da mecânica clássica, introduzimos dois postulados: 1. Postulado 1: A posição de uma partícula é representada por um ponto em R 3 . 2. Postulado 2: A distância entre duas partículas é definida pela métrica euclidiana. Com estes pontulados, discutimos os conceitos de 1. Partícula e Interação; 2. O espaço euclidiano e suas simetrias; 3. Observáveis euclidianos, como integrantes fundamentais da teoria. Agora, devemos introduzir outros dois postulados. O primeiro sedimenta a ideia de como o movimento das partículas é representado no espaço euclidiano e se suporta na percepção de que uma partícula não pode ser criada ou destruída. Neste caso, se uma partícula se move de um ponto A a um ponto B, ele deve percorrer um conjunto contínuo de pontos entre esses pontos, passando por todos os pontos. Este conjunto de pontos é denominado trajetória. Por enquanto, é irrelevante a razão do movimento. Postulado 3: O movimento de uma partícula é representado por uma curva suave no espaço euclidiano tridimensional. Assim, apresentamos formalmente o conceito de movimento e seu correspondente do lado matemático do mapeamento de que tanto discutimos; a curva. Uma curva é uma relação entre um intervalo fechado da reta real e o espaço euclidiano: Portanto, um subconjunto de números reais, que constitui o domínio da curva, é relacionado a um conjunto de pontos, o conjunto imagem de γ, do espaço euclidiano, que constutui seu contra-domínio.
Nesta secao, estudaremos pontos de equiibrio e pontos de retorno de potenciais unidimensionais. P... more Nesta secao, estudaremos pontos de equiibrio e pontos de retorno de potenciais unidimensionais. Pontos de equilibrio estao relacionados a estados estaticos estaves e instaveis de um sistema, atraves dos pontos criticos do potencial, de primeira derivada nula. Estudaremos, tambem, pontos de retorno, que sao pontos de energia cinetica nula de um sistema.
Neste texto, vamos tratar do postulado que tem a interpretação da conservação do momento linear d... more Neste texto, vamos tratar do postulado que tem a interpretação da conservação do momento linear de um sistema de partículas isolado. Veremos como este postulado dá origem à segunda e à terceira leis de Newton. Nas seções passadas, vimos como dois postulados fundamentais estabelecem a dinâmica do movimento de uma partícula. O postulado 5 é uma releitura da primeira lei de Newton. Para nossos propósitos, ela é importante para a definição dos referenciais inerciais. Esta definição difere da apresentação usual da primeira lei em um aspecto importante. Substitui o conceito de força (ou ausência de), por um conceito mais preciso, o de partículas isoladas. Neste contexto, uma partícula isolada é aquela longe o suficiente de qualquer outra partícula (ou campo), que possa com ela interagir. De fato, a existência de um referencial inercial implica na existência de infinitos referenciais inerciais, todos medindo uma partícula isolada como aquela em movimento retilíneo uniforme. Dizemos, também, que tal partícula é livre, ou inercial.
Nesta seção, introduziremos o conceito de estados físicos de um sistema em mecânica clássica. Int... more Nesta seção, introduziremos o conceito de estados físicos de um sistema em mecânica clássica. Introdução A mecânica clássicaé considerada, ao mesmo tempo e por boas razões, um protótipo e uma teoria efetiva da física quântica.É uma questão aberta a forma como a mecânica quântica pode ser mapeada em seu análogo clássico de forma geral, mas em muitos sistemas físicos específicos há uma correspondência entre a descrição clássica e quântica. Contudo, como a mecânica clássica surgiu muito antes da mecânica quântica, muitos conceitos permanecem descorrelacionados entre ambas as visões de mundo, não por haver discordâncias fundamentais entre os pontos de vista, mas por tradicionalismo por parte da visão clássica. Outros conceitos foram modificados por necessidade empírica ou epistemológica. Um dos conceitos que carregamos ainda hoje e que pode ser reformulado para ser análogo ao mesmo conceito em mecânica quântica, sem perder suas características ontológicas,é o conceito de estado físico. Na verdade, o conceito fundamental aindaé compartilhado por ambas as teorias. Um estado físico de um sistemaé determinado por um conjunto específico de características capaz de descrevê-lo completamente.
Resumo dos conceitos primitivosVamos relembrar os conceitos primitivos que apresentamos em aulas ... more Resumo dos conceitos primitivosVamos relembrar os conceitos primitivos que apresentamos em aulas passadas, para preparar o terreno do que vem a seguir.Primeiro, introduzimos o conceito de particula classica, que consiste em um objeto sem dimensoes, que nao pode ser criado ou destruido, e que possui um conjunto de observaveis associados, ou definidores, como a massa e a carga eletrica. Com a particula, podemos construir sistemas de particulas, que consistem em conjuntos de particulas com suas caracteristicas definidoras.No contexto de sistemas de particulas, ou sistemas fisicos, introduz-se o conceito de interacao e de movimento. Duas particulas em um mesmo sistema, no geral, interagem entre si mudando seus estados de movimento. A interacao entre particulas depende dos observaveis intrinsecos as particulas do sistema, como a massa e a carga eletrica, que geram as interacoes gravitacional e eletromagnetica, respectivamente. Estados de movimento necessitam da estrutura matematica para ...
We propose a new way to obtain polynomial dynamical invariants of the classical and quantum time-... more We propose a new way to obtain polynomial dynamical invariants of the classical and quantum time-dependent harmonic oscillator from the equations of motion. We also establish relations between linear and quadratic invariants, and discuss how the quadratic invariant can be related to the Ermakov invariant.
In this paper, it is proposed a quantization procedure for the one-dimensional harmonic oscillato... more In this paper, it is proposed a quantization procedure for the one-dimensional harmonic oscillator with time-dependent frequency, time-dependent driven force, and time-dependent dissipative term. The method is based on the construction of dynamical invariants previously proposed by the authors, in which fundamental importance is given to the linear invariants of the oscillator.
Rich media available at Translações O espaço euclidiano tridimensional R 3 é homogêneo, o que sig... more Rich media available at Translações O espaço euclidiano tridimensional R 3 é homogêneo, o que significa que ele tem as mesmas propriedades geométricas independentemente da posição da origem do sistema de coordenadas. A homogeneidade também significa a invariância da métrica por translações.
We analyse systems described by first order actions using the Hamilton-Jacobi (HJ) formalism for ... more We analyse systems described by first order actions using the Hamilton-Jacobi (HJ) formalism for singular systems. In this study we verify that generalized brackets appear in a natural way in HJ approach, showing us the existence of a symplectic structure in the phase spaces of this formalism.
In this work we discuss the natural appearance of the Generalized Brackets in systems with non-in... more In this work we discuss the natural appearance of the Generalized Brackets in systems with non-involutive (equivalent to second class) constraints in the Hamilton-Jacobi formalism. We show how a consistent geometric interpretation of the integrability conditions leads to the reduction of degrees of freedom of these systems and, as consequence, naturally defines a dynamics in a reduced phase space.
We propose Lobachevsky boundary conditions that lead to asymptotically H^2xR solutions. As an exa... more We propose Lobachevsky boundary conditions that lead to asymptotically H^2xR solutions. As an example we check their consistency in conformal Chern-Simons gravity. The canonical charges are quadratic in the fields, but nonetheless integrable, conserved and finite. The asymptotic symmetry algebra consists of one copy of the Virasoro algebra with central charge c=24k, where k is the Chern-Simons level, and an affine u(1). We find also regular non-perturbative states and show that none of them corresponds to black hole solutions. We attempt to calculate the one-loop partition function, find a remarkable separation between bulk and boundary modes, but conclude that the one-loop partition function is ill-defined due to an infinite degeneracy. We comment on the most likely resolution of this degeneracy.
Rich media available at Vamos apresentar novamente os postulados que introduzimos até aqui: Postu... more Rich media available at Vamos apresentar novamente os postulados que introduzimos até aqui: Postulado 1: A posição de uma partícula é representada por um ponto em R 3 . Postulado 2: A distância entre duas partículas é representada pela distância euclidiana em R 3 . Postulado 3: O movimento de uma partícula é representado por uma curva suave em R 3 . Postulado 4: O tempo é representado pelo parâmetro das curvas em R 3 com as propriedades: Homogeneidade, Invariância do intervalo de tempo entre observadores, Crescimento monotônico. Com estes postulados, fomos capazes de introduzir observáveis intrínsecos, que são definidores da partícula, como a massa e a carga elétrica. Ainda, vimos que existem outros observáveis, os observáveis extrínsecos, que possuem relação com a partícula. Os postulados 3 e 4 são, para todos os efeitos, os postulados que introduzem o fenômeno do movimento, então, podemos agora dizer que os observáveis extrínsecos são responsáveis por definir estados de movimento, ou seja, possuem relação com a partícula mas pertencem, em última instância, à forma como esta se move no espaço.
RotacoesA isotropia de um espaco esta relacionada a invariância de suas caracteristicas geometric... more RotacoesA isotropia de um espaco esta relacionada a invariância de suas caracteristicas geometricas por rotacoes. Uma ro tacao e uma operacao que pode ser executada diretamente sobre o sistema fisico, tenho assim form a ativa, mas tambem possui uma versao passiva, que consiste na rotacao do sistema de coordenadas, mas mantem o sistema inalterado. Uma rotacao na forma ativa consiste na rotacao inversa em forma passiva, e vice-versa.Por exemplo, podemos tomar uma rotacao passiva no espaco euclidiano bidimensional \(\mathbb{R}^2\), como no caso da fig. \ref{701595}.
Rich media available at Até este ponto de nossa tentativa de axiomatização da mecânica clássica, ... more Rich media available at Até este ponto de nossa tentativa de axiomatização da mecânica clássica, introduzimos dois postulados: 1. Postulado 1: A posição de uma partícula é representada por um ponto em R 3 . 2. Postulado 2: A distância entre duas partículas é definida pela métrica euclidiana. Com estes pontulados, discutimos os conceitos de 1. Partícula e Interação; 2. O espaço euclidiano e suas simetrias; 3. Observáveis euclidianos, como integrantes fundamentais da teoria. Agora, devemos introduzir outros dois postulados. O primeiro sedimenta a ideia de como o movimento das partículas é representado no espaço euclidiano e se suporta na percepção de que uma partícula não pode ser criada ou destruída. Neste caso, se uma partícula se move de um ponto A a um ponto B, ele deve percorrer um conjunto contínuo de pontos entre esses pontos, passando por todos os pontos. Este conjunto de pontos é denominado trajetória. Por enquanto, é irrelevante a razão do movimento. Postulado 3: O movimento de uma partícula é representado por uma curva suave no espaço euclidiano tridimensional. Assim, apresentamos formalmente o conceito de movimento e seu correspondente do lado matemático do mapeamento de que tanto discutimos; a curva. Uma curva é uma relação entre um intervalo fechado da reta real e o espaço euclidiano: Portanto, um subconjunto de números reais, que constitui o domínio da curva, é relacionado a um conjunto de pontos, o conjunto imagem de γ, do espaço euclidiano, que constutui seu contra-domínio.
Nesta secao, estudaremos pontos de equiibrio e pontos de retorno de potenciais unidimensionais. P... more Nesta secao, estudaremos pontos de equiibrio e pontos de retorno de potenciais unidimensionais. Pontos de equilibrio estao relacionados a estados estaticos estaves e instaveis de um sistema, atraves dos pontos criticos do potencial, de primeira derivada nula. Estudaremos, tambem, pontos de retorno, que sao pontos de energia cinetica nula de um sistema.
Neste texto, vamos tratar do postulado que tem a interpretação da conservação do momento linear d... more Neste texto, vamos tratar do postulado que tem a interpretação da conservação do momento linear de um sistema de partículas isolado. Veremos como este postulado dá origem à segunda e à terceira leis de Newton. Nas seções passadas, vimos como dois postulados fundamentais estabelecem a dinâmica do movimento de uma partícula. O postulado 5 é uma releitura da primeira lei de Newton. Para nossos propósitos, ela é importante para a definição dos referenciais inerciais. Esta definição difere da apresentação usual da primeira lei em um aspecto importante. Substitui o conceito de força (ou ausência de), por um conceito mais preciso, o de partículas isoladas. Neste contexto, uma partícula isolada é aquela longe o suficiente de qualquer outra partícula (ou campo), que possa com ela interagir. De fato, a existência de um referencial inercial implica na existência de infinitos referenciais inerciais, todos medindo uma partícula isolada como aquela em movimento retilíneo uniforme. Dizemos, também, que tal partícula é livre, ou inercial.
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