Leonhard Euler

Leonhard Euler
Leonhard Euler
Född	15 april 1707 Basel, Schweiz
Död	18 september 1783 (76 år) Sankt Petersburg, Ryssland
Bosatt i	Preussen, Ryssland, Schweiz
Forskningsområde	Matematik, fysik
Institutioner	Rysslands Vetenskapsakademi Berlins akademi
Alma mater	Basels universitet
Doktorandhandledare	Johann Bernoulli
Nämnvärda studenter	Johann Hennert Joseph-Louis Lagrange
Känd för	Eulers konstant

Leonhard Euler (tyska: [ˈleːɔnhaʁt ˈɔɪ̯lɐ] ^ⓘ), född 15 april 1707 i Basel, död 18 september 1783 i Sankt Petersburg, var en schweizisk matematiker verksam i Berlin och Sankt Petersburg. Han var elev till Johann Bernoulli.

Euler var mycket produktiv och skrev mer än 900 artiklar och matematiska böcker. Han var blind de sista sjutton åren av sitt liv, men fortsatte att utföra avancerade analyser.

Uppväxt

Leonhard Euler, son till Paul Euler och Marguerite Brucker, föddes den 15 april 1707 i Basel i Schweiz. Han växte upp i Riechen utanför Basel och fick lära sig de matematiska grunderna av sin far, en luthersk präst som tidigare studerat matematik under Jakob Bernoulli. När Euler vid tretton års ålder togs in vid universitetet i Basel studerade han teologi och antika språk, vilket år 1724 ledde fram till en magisterexamen. Samtidigt utvecklade han sina matematiska färdigheter genom att få privatlektioner i matematik från Jakobs yngre bror, Johann Bernoulli. Fadern insisterade på att den unge Euler efter examen skulle ägna sin tid åt teologin, men föll till föga då han blev övertygad om vilken ovanlig matematisk begåvning sonen hade.

Vid den här tiden bedrevs den mest framstående forskningen inte vid universiteten, vilka främst ägnade sig åt undervisning, utan vid kungliga akademier runt om i Europa. Euler sökte en professur i matematik vid universitetet i Basel, men när han inte fick den fortsatte han sina studier i hopp om att kunna ansluta sig till två av Johanns söner, Nicolaus och Daniel Bernoulli, vid vetenskapsakademien i Sankt Petersburg. Bland annat studerade Euler medicin och fysiologi, eftersom den öppning som eventuellt kunde finnas i Ryssland fanns vid akademiens medicinska avdelning. Nicolaus dog dessvärre år 1726, men Daniel hade året innan fått en professorstjänst hos vetenskapsakademins matematiska avdelning, och han kunde tack vare sitt inflytande erbjuda Euler tjänsten. Euler lämnade Basel och flyttade till Sankt Petersburg när han var 20 år gammal år 1727.

Karriär

Sankt Petersburg (1727–1741)

Samma dag som Euler anlände till Sankt Petersburg dog Katarina I. Tack vare det allmänna kaos som rådde i landet efter hennes död lyckades Euler redan efter några år flytta över till den matematiska avdelningen. Under de sex år som följde arbetade han utan avbrott, inte minst eftersom det vid denna tid inte var ofarligt att vistas i sociala kretsar i staden. 1733 beslutade sig Daniel Bernoulli för att lämna Ryssland och återvända till Schweiz. Euler tog då över dennes professorstjänst och ansvaret för akademins matematiska avdelning. Året därpå gifte han sig med sin första fru, Katharina Gsell, som han fick tretton barn med.

År 1735 slutförde Euler sin avhandling i mekanik och löste det så kallade Baselproblemet. Vidare definierade och beräknade Euler det som idag kallas Eulers konstant, något som används inom talteori och för lösning av differentialekvationer.

År 1735 var även året då Euler förlorade synen på sitt högra öga. Åsikterna går isär vad gäller om detta berodde på ett alltför långvarigt studium av solen, eller helt enkelt var en följd av den svåra feber i vilken han insjuknade det året och som var nära att kosta honom livet.

År 1736 visade Euler i sin berömda artikel Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis att problemet med Königsbergs sju broar var olösbart.

Berlin (1741–1766)

Oroad för den politiska instabiliteten i Ryssland, lämnade han Sankt Petersburg och tog en post i den Preussiska vetenskapsakademin i Berlin, som han erbjöds av Fredrik II av Preussen. I 25 år bodde han i Berlin där han skrev flera hundra artiklar. År 1748 publicerade Euler det första verket, Introductio in analysin infinitorum där han presenterade bland annat det som idag kallas Eulers formel, varav Eulers identitet härstammar från.

År 1752 visade Euler det som nu kallas Eulers relation, ett förhållande som gäller för alla konvexa polyedrar och lyder som följer:

$H-K+S=2$

där ${\textstyle H}$ står för antalet hörn, ${\textstyle K}$ antalet kanter och ${\textstyle S}$ antalet sidor.

Euler blev år 1755 utnämnd som utländsk ledamot i den Kungliga Vetenskapsakademin och medlem i den Franska Vetenskapsakademin.

Sankt Petersburg (1766–1783)

Euler ogillade den preussiske kungens ständiga inblandning i akademins göranden. Han blev kvar i Berlin till år 1766 då han efter en inbjudan från Katarina den stora flyttade tillbaka till Sankt Petersburg. Ryssland hade under de gångna åren fortsatt att betala ut lön till honom, och då han återvände tilldelades han ett fullt möblerat hus inklusive kokerska.

Eulers hustru dog år 1776 och året därefter gifte han sig med hennes halvsyster, Salome Abigail Gsell. Euler själv dog 18 september 1783 efter ett slaganfall. Han var då 76 år gammal och hade som en följd av grå starr varit helt blind sedan år 1766. Euler återfick synen under några dagar tack vare en operation år 1771, men det var kortlivat, eftersom en infektion i ögat uppträdde och han blev helt blind igen. Trots förlusten av sin syn var han under de sista åren mer produktiv än han någonsin varit tidigare.

Bidrag till vetenskap

Matematisk notation

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Leonhard Euler.

Euler introducerade och populariserade flera allmänt accepterade notationer genom hans populära böcker. Han introducerade begreppet funktion och var den första att skriva f(x). Han introducerade även notationen för trigonometriska funktioner, talet e för basen av den naturliga logaritmen (även känt som Eulers tal), de grekiska bokstäverna Σ, i och π för summering, imaginära enheten (i) och förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter. π användes dock ursprungligen av matematikern William Jones.

Analys

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Leonhard Euler.

Se även: Potensserie, Infinitesimalkalkyl, Euler–Mascheronis konstant, Eulers formel och Eulers identitet

Under 1700-talet var utvecklingen av Infinitesimalkalkyl i framkanten av matematisk forskning och att studera infinitesimalkalkyl blev ett stort fokus i Eulers arbete. Några av Eulers bevis har inte accepterats av de moderna standarderna för matematisk stränghet. Särskilt hans beroende på principen av algebras generalitet. Hans idéer har lett till många framsteg och är känd inom analysen för sin frekventa användning och utveckling av potensserien, uttrycket av funktioner för en oändlig summa termer, så att:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)$

Användningen av potensserien ledde Euler till att lösa Baselproblemet år 1735; Att hitta summan av den multiplikativa inversen av kvadraten av alla naturliga tal. Baselproblemet hade under 1730-talet blivit ett känt matematiskt problem, ursprungligen ställt av matematikern Pietro Mengoli år 1644. Euler fann att:

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Euler introducerade Euler konstanten γ och studerade dess förhållande med: Harmoniska serien, gammafunktionen och Riemanns zetafunktionens värden.

$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772$

En geometrisk tolkning av Eulers formel

Euler introducerade även användningen av exponentialfunktioner och logaritmer i analytiska bevis. Han upptäckte sätt att uttrycka flera olika logaritmfunktioner genom att använda potensserien och ökade tillämpningsområdet för logaritmer genom att definierade logaritmer för negativa och komplexa tal. Han definierade även exponentialfunktioner för komplexa tal och upptäckte dess förhållandet till trigonometriska funktioner. Eulers formel anger att för alla reella tal för φ, så uppfyller den komplexa exponenten funktionen:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$

"the most remarkable formula in mathematcs" - Richard Feynman

Ett speciellt fall från formeln ovan är Eulers identitet:

$e^{i\pi }+1=0$

Euler utvecklade teorin om högre transcendentala funktioner genom att införa gammafunktionen och introducerade en ny metod för att lösa fjärdegradsekvationer. Han hittade ett sätt att beräkna integraler med komplexa gränser, som var en förgrund för den moderna utvecklingen av komplex analys. Han uppfann variationskalkyl och formulerade Euler-lagranges ekvationen för lösningen av differentialekvationer.

Han banade även väg för användningen av analytiska metoder för att lösa talteoretiska problem. På så sätt förenade han två olika områden inom matematik och skapade ett nytt område, analytisk talteori. I det nya området skapade Euler generaliserad hypergeometrisk funktion, q-funktioner, hyperbolisk trigonometrisk funktion och analytisk teori för fortsatta bråktal. Han bevisade t.ex. primtalens oändlighet genom den harmoniska serien, och använde analytiska metoder för att få förståelse för hur primtal är utspridda. Euler arbete inom området ledde till utvecklingen av primtalssatsen.

Avslutande ord

En sedel från Schweiz med Euler som motiv.

Euler är förmodligen den mest produktive matematikern genom tiderna. Han skrev under sitt liv över 900 artiklar och flera böcker, de flesta av dem på latin. Han har även lagt en del av grunden för dagens analys genom att vidareutveckla Newtons, Leibniz med fleras teorier. Till skillnad från flertalet andra matematiker behärskade han såväl den diskreta som den kontinuerliga matematiken till fulländning. Han var dessutom en mycket god algoritmkonstruktör.

Euler var även fysiker och astronom. Hans fysiska teorier behandlar bland annat optik, hydrodynamik och balkteori. Han angav principen för akromatiska linssystem genom kombination av enkla linser slipade ur olika sorters glas med olika brytningsindex. Inom astronomin var han främst intresserad av månens rörelser och trekropparsproblemet. Det sistnämnda är ett klassiskt problem som behandlar teorier om hur tre punktmassor rör sig enbart påverkade av sin egen gravitation, och som än idag är olöst. Newton hade tidigare löst det så kallade tvåkropparsproblemet, men då en tredje kropp ingår saknar problemet en allmän lösning. Euler lyckades dock ta fram en approximativ beräkningsmetod som visade sig vara mycket användbar för navigation.

Eftermäle

Nedslagskratern Euler på månen och asteroiden 2002 Euler är uppkallade efter honom.

Se även

• Eulers formel
• Eulers sats
• Eulers konstant
• Eulers φ-funktion
• Eulers stegmetod
• Eulers knäckningsfall
• Königsbergs sju broar
• Matematikens historia

Referenser

• Eric Temple Bell (1940). Matematikens män. Natur och kultur 
• James R. Newman (Ed.). The World of Mathematics, volume I. Simon and Schuster, New York, 1956. Översatt till svenska som SIGMA – En matematikens kulturhistoria sammanställd och kommenterad av James R. Newman (red.), svensk red. Tord Hall (1959, flera upplagor).
• Gustaf Eneström: Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers, Ergänzungsband 4 zum Jahresbericht der DMV, Teubners förlag, Leipzig 1910-13
• Jan Struik, Dirk (1987). A Consise History of Matematics, Fourth revised edition. Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9. https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 
• Stillwell, John (2002). Matematics and Its History (Second edition). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95336-1 
• Dunham, William (1999). Euler: The master of us all. Dolceani Mathematical Expositions no. 22. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0. https://archive.org/details/eulermasterofusa0000dunh_b9h6 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Leonhard Euler.
  Bilder & media
• Leonhard Euler i Libris