【三角比最後の問題】空間測量の解き方

三角比では公式を利用して塔の高さや

山の高さを求めるといった特殊な問題が出てきます。

このような問題は実際に

入試問題として出されています。

ですのでここを押さえておけば

試験で大いに役立つと思います！

今回の問題は主に正弦定理を使います。

また文末には√2=1.41のような事が書かれるので

これをヒントに計算する事ができます。

さっそく例題を解いてみましょう。

（例題）

下の図のような地面に垂直に立つ塔OCがある。

2点A,Bは同一水面上にありABの長さは50m。

∠CAO=45°,∠BAO=75°,∠ABO=60°のとき、

塔の高さOCは何mか。√6=2.45として

少数第一位を四捨五入して答えること。

まずは答えである高さを求める前に底辺の

角度と値を出す必要があります。

先に∠AOB、AOの長さを求めます。

（この2つが分からないと答えが出せない）

∠AOBは△AOBから∠OAB、∠OBAを引くと

角度が出せます。すると45°になります。

次は正弦定理を用いてAOの長さを出します。

AO/sin∠ABO=AB/sin∠AOBを計算し、

AO/sin60°=50/sin45°となります。

両辺にsin60°で割ると式AO=50sin60°/sin45°

=50×√3/2÷1/√2=25√6mになります。

これでAOの長さが分かったので

次は△OACに注目します。

どうやってAOの長さを使って塔の高さ（OC）を

出すのか疑問に思う人もいるかもしれません。

答えを出す方法が唯一あります。それは、

tanΘ=a/bの公式で求める事です！

△OACは直角三角形であるためこの公式が使えます

式を少し変えてOCを求める形にします。

するとOC=AOtan45°になり、計算すると

OC=25√6×1=25√6

問題文では√6=2.45として計算すると記述があるので

25√6×2.45=61.25

少数第一位を四捨五入すると61になります。

したがって塔の高さ（OC）は61ｍとなります！

お疲れ様です。今回はこれで終了です。

空間測量の解き方は正弦定理とtanΘの

知識があれば解ける問題ですので

今回分からなかった人は復習するようにしてください。

これで三角比の問題は終了しました。

最後まで見て下さった方、ありがとうございました！

【重要！】三角比を用いた体積の求め方

今までは平面の三角形を用いて

面積や角度、値を求めてきました。

しかし今回学ぶ立体系の問題は

これまで学んだ三角比の公式、正弦定理、

余弦定理などの知識が必要になります。

そのため難易度が高い問題になっており

解けると解けないでは大学入試で差が出ると思うので

進学したい人は必ず解けるようにしましょう。

まず、今回の体積を求めるのに必要な知識は

これまで学んだ三角比の公式はもちろん、

三角比を用いた面積の公式、体積（三角錐）の

公式を使う必要があります。

また、問題によっては体積を求めるのに

必要不可欠である垂線を三角比の公式を使って

作る必要があります。

これらの知識があれば解く事ができます！

さっそく例題を解いてみましょう。

下の図をご覧ください。

（例題）

直方体ABCD-EFGHにおいて、

AC=5,BC=3,∠ACB=30°の時、三角錐ABCFの

体積Vを求めること。

まずは△ABCを底面として計算しましょう。

そして辺BFを高さとして計算すれば

答えが出てきます！

（今回は高さが分かるので垂線を出す必要なし）

底面ABCの面積を三角比の公式を用いて出します。

1/2×1/2×5×3=15/4となります！

三角錐の体積は底面×高さ÷3で求められるので、

それぞれの値を代入していきます。

すると15/4×1×1/3=5/4となり、

三角錐ABCFの体積の答えは5/4になります！

これで問題が解けました。

お疲れ様です。

今回はこれで終了です。

今回解いた問題は先ほどにも言ったように

三角比の公式などの知識が必要になるので

もしうろ覚えな方、忘れた方はすぐ前のブログに

戻って復習するようにして下さい！

最後に問題を出して終わります。

分かった方はコメントお願いします！

（問題）

1辺の長さが2の正四面体ABCDにおいて、

辺BCの中点をM、∠AMD=Θのとき、

正四面体ABCDの体積を求めること。

ご覧頂きありがとうございました！

【実はもう一つある】三角形の面積の求め方

三角比を用いた三角形の面積の求め方は

sinΘを使って答えを出しますが実はもう一つ

面積を求める公式があります！

通常は余弦定理を使って角度を出してから

前回やった公式で求めるのですが、

今回の公式は角度を使わずに求める事ができます！

（余弦定理を使うのが面倒な人にはおすすめ）

面積の問題はたまにa=2,b=5,c=7といった

角度が分からないものが出てきます。

もちろんここから余弦定理を用いて計算し

角度を出して答えを出す事は可能です！

しかし公式を2回使って答えを求めるのは

少々手間が掛かるかもしれません。

そこで便利なのが

ヘロンの公式です！

ヘロンの公式は

S=√s(s-a)(s-b)(s-c)ただしs=a＋b＋c/2

となっており、これさえ覚えれば余弦定理、三角比を

使わずに面積を求めることができます！

では例題をといてみましょう。

（例題）

△ABCの面積Sを求めること。

a=13,b=7,c=8

ヘロンの公式を用いて解説します。

まずa,b,cを足して2で割るsの値を作ります。

計算するとsの値は14となります。

次にa,b,c,sの値を公式に代入して計算すれば

答えがだせます！

S=√14・(14-13)(14-7)(14-8)

S=√14・1・7・6となり、

有理化をすると答えは14√3になります！

これで面積を求める事ができました！

お疲れ様です。

今回はこれで終了です。

ヘロンの公式はもし忘れても余弦定理を

使って解く事が可能ですので問題ありません。

しかしスムーズに解きたい人は覚えて損は

ありませんのでぜひ頭に入れるようにしましょう！

最後に問題をだします。

分かった方はコメントで答えをお願いします！

（問題）

△ABCの問題を求めること。

a=8,b=7,c=5

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】sinを用いた三角形の面積の求め方

中学までの三角形の面積の求め方は

底辺×高さ÷2で答えが出せました。

ですが三角比を用いた三角形の面積の求め方は

この方法は使えません。

ですので今回は新しく面積の公式を

覚えてもらう必要があります！

ではどうやって求める事ができるのか？

辺bc×sinA÷２で面積の答えが出せます！

（辺acならばsinB,辺abならばsinCで計算する）

従来とほぼ同じ形なのですぐ頭に入ると思います！

この公式さえ覚えてしまえば

三角比の面積問題はすぐ分かるので

絶対に覚えて帰って下さい！

注意点としてこの公式は角度の値が

必要なので余弦定理を先に使う可能性があります。

これらの事を踏まえた上で例題を

解いてみましょう。

（例題）

次の△ABCの面積Sを求めること。

a=8,c=3,B=60°

この場合はとても単純でそれぞれの値を

公式に当てはめて計算すれば答えが出せます

8×3×√3/2÷2を計算します。

すると答えは6√3になります！

余談ですが三角形を用いる時の三角比は必ず

sinΘで計算する必要があります。

cosΘ、tanΘを使うと当然ですが

負の値がでるため答えが出せません。

また今回用いた公式はsinA、辺aのような

同じ値は入らない事も頭に入れてください！

最後に復習として問題を出しますので

分かった方はコメントをお願いします！

（問題）

△ABCにおいて、a=4√2,b=5,c=7の時

次の値を求めること。

（1）cosA　（2）sinA　（3）△ABCの面積

今回はこれで終了です。

ご覧頂きありがとうございました！

【入試で出るかも】正弦定理と余弦定理を用いた問題

正弦定理と余弦定理では

それぞれ問題が異なっていましたが

今回は2つとも使わないと解けない問題を

解いていきます。

これが解ければ正弦定理と余弦定理

両方使いこなせている証になりますので

ぜひ解いてみましょう！

正弦定理と余弦定理両方を用いる問題は

一体どんな感じなのかピンとこないと思います。

例題を出すとこんな感じです。

（例題）

sinA:sinB:sinC=13:15:7の時、Aの角度を求める事

一見するとどこから解くべきなのか

全く分からない人もいると思います。

しかしこれは角度を求める余弦定理を

使う事によって答えを導き出せます！

今回はこの例題を使って解いていきます。

ヒントなしで自力で解くのはかなり難しいと

思うので解説を見る事をお勧めします。

まずは正弦定理を用いて値の比を出します。

半径をRとし公式を少し変えてsinA=a/2R,

sinB=b/2R,sinC=c/2Rとなります。

sinA:sinB:sinC=13:15:7を利用して、

a/2R:b/2R:c/2R=13:15:7となります。

aとbとcは共通して分母に2Rがついているので

それを取り除くとa:b:c=13:15:7となります。

これで値の比は出せました！

次にこの比率を利用します。

a:b:c=13:15:7よりa=13k,b=15k,c=7k

と表すことができます。

（13k:15k:7k=13:15:7の形になる）

そして角度を求める余弦定理を使います。

今回は正確な値が分からないので13k,15k,7kを

値として計算しましょう。

Aの角度を求めたいのでcosAの公式を使います

(15k)²＋(7k)²-(13k)²/2・15k・7kとなり、

計算すると105k²/210k²になります。約分すると

1/2になり、A=60°が答えになります！

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

正弦定理と余弦定理を用いた問題は

今回のように自力で解くのがとても難しい

内容となっています。

ですので先ほどにも言ったように分からない場合は

解説をみてもう一度解く方法もありだと思います！

そして解き方が頭に入っているか確認しましょう！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】余弦定理を用いた角度を求める方法

これまでは正弦定理と余弦定理を用いて

鋭角、鈍角三角形の値を求めてきました。

しかし余弦定理では値を求めるだけでなく

角度を計る時にもよく使われるので

角度の求め方も必ず覚えるようにしましょう！

（正弦定理は角度は求められない）

直角三角形では三角比の角度の値を覚えれば

それで求める事ができましたが鋭角、鈍角三角形

ではさらに公式を用いる必要があるので分からないと

角度は絶対に求める事ができません。

角度を求める公式は余弦定理を

利用したものなので最低限余弦定理を

覚えていれば大丈夫です。

まず鋭角、鈍角三角形の角度を

求めるための公式を見てみましょう。

cosA=b²＋c²－a²/2bc、cosB=c²＋a²－b²/2ca、

cosC=a²＋b²－c²/2abです。

この公式の形、なにか見覚えありませんか？

余弦定理a²=b²＋c²－2bccosAをそのまま使って

cosA=〇の形に直しただけです。

cosAの部分を左辺に持ってきて、a²を右辺に

持ってきて両辺に2bcを割っただけなので

最低限余弦定理を覚えればこの公式が出せます。

（もちろん他の2つも出せる）

角度を求める公式を理解した上で

さっそく問題を解いてみましょう。

（問題）

a=13,b=7,c=15の時、Aを求めること。

この場合はcosA=b²＋c²－a²/2bcの公式を

使って解きます。それぞれの値を代入すると

7²＋15²－13²/2×7×15となり、1/2となります

cosA=1/2なので答えは60°です。

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

何度も言うように角度を求める公式は

余弦定理を用いているので最低限それさえ

覚えていれば公式を出すことができますが、

形だけでも覚えるようにしましょう。

復習として問題をだします。

分かった方はコメントでお願いします！

（問題）

a=3,b=√14,c=√15の時、Bを求めること。

以上です！

ご覧頂きありがとうございました！

【超重要！】余弦定理を正しく使うには

今回は正弦定理でやった時と同じで

余弦定理を用いて問題を解くブログ

となっています。

こちらも公式は覚えているが

使い方がいまいち分からない人向け

ですので必ず覚えるようにして下さい！

余弦定理、正弦定理の違いを理解できない

ままにしてしまうとこれらの定理を用いた

問題が解けないので

これだけは絶対に避けて下さい！

2つの公式をマスターすると鋭角、鈍角三角形を

解くのに必要な基礎知識はほぼ完成します！

ですので余弦定理も覚えてしまいましょう！

余弦定理の公式は覚えていると思うので

使う場面を理解すれば大丈夫です。

余弦定理は3つあり

a²=b²＋c²－2bccosA

b²=c²＋a²－2cacosB

c²=a²＋b²－2abcosCでした。

またこれらの公式は

辺の長さが2つ判明している時や

角度が1つしかない時によく用いるので

必ず覚えて下さい！

これらの事を頭に入れた上で

問題を解いてみましょう。

（問題）

a=2√2,c=√6,B=150°の時、bを求める事。

この場合はb²=c²＋a²－2cacosB

の公式を用いて計算します。

それぞれ値を代入すると

6＋8－2×√6×2√2×(－√3/2)

これを計算すると26となります。

しかしこれはbを2乗した時の数なのでbの値を

求めるために√を付け加える必要があります。

よって答えは√26です。

お疲れ様です！

今回はこれで終了です。

何度も言っているように

今回の目的は正弦定理と余弦定理の

使い道、解き方を理解する事なので

どちらも覚えれば大丈夫です！

復習として問題を出します！

正弦定理、余弦定理どちらを使って

解くのか考えた上で問題に

取り組んでほしいです！

（問題）

(1)a=2√3,B=120°,C=15°の時、bを求める事

(2)a=10,b=5√2,C=45°の時、cを求める事。

分かった方、質問ある方は

コメントでお願いします！

ご覧頂きありがとうございました！