Integralregning, integralregning (flateinnhold, beregning) (bilde)
integralregning (integrasjonsregler) (bilde)
viktig gren av matematisk analyse. Blir undertiden sammenfattet med differensialregningen under navnet infinitesimalregning (eng. calculus.) Differensialregningens utgangspunkt er å komme frem til et matematisk uttrykk for forandringer i forskjellige typer av naturprosesser, f.eks. i vekst, utvikling eller bevegelse. Integralregningens utgangspunkt er derimot å kvantifisere forskjellige typer av «totaliteter» som ikke er tilgjengelige ved vanlige elementære beregningsmåter; dette kan gjelde arealberegninger, beregninger av volumer, masser, arbeid osv. Differensialregningen og integralregningen viser altså stor ulikhet både i motivasjon og mål, men likevel er de nøye knyttet sammen ved at derivasjon og integrasjon fremtrer som motsatte regningsarter.
Hvis f er en gitt funksjon, er integralet av f den funksjon F som har funksjonen f som derivert, altså Fʹ(x) = f(x) overalt i definisjonsområdet til f. Denne betingelsen bestemmer ikke F helt entydig, for dersom den deriverte av en funksjon F er lik f, vil også den deriverte av F pluss en vilkårlig konstant være lik f. F kalles derfor det ubestemte integral av f, og man skrive
C kalles integrasjonskonstanten. Eksempel:
integralregning (inlinegrafikk 2) (bilde)
Tegnet ʃ kalles integraltegnet, funksjonen f kalles integranden, og det å bestemme F kalles å integrere funksjonen f. Symbolet dx ble, i likhet med integraltegnet, innført allerede på slutten av 1600-tallet av G. W. Leibniz og kalles differensialet av x.
Som ved derivering finnes det også regler for å integrere ulike funksjoner, og en del integrasjonsregler er gitt i tabellen. Her er a og b vilkårlige konstanter og n et vilkårlig heltall, og integrasjonskonstanten C er utelatt.
Ovenfor er integrasjon definert som den omvendte operasjon til derivasjon, og det er derfor også vanlig å kalle funksjonen F for den antideriverte til f. Integralbegrepet kan imidlertid også gis en annen tolkning, nemlig som grenseverdien for en sum (integraltegnet ʃ er dannet av en lang S, som står for summa, sum). Det er denne tolkningen som gir den umiddelbare tilknytning til de beregninger som er nevnt foran, av areal, volum, masse osv. La f være en kontinuerlig funksjon som antar bare positive verdier mellom a og b, og la x0, x1 ..., xn være slik at a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. Hvis M1 betegner den største verdi av f i intervallet [x0, x1] og m1 den minste verdi i samme intervall, og tilsvarende M2 og m2 den største og minste verdi av f i intervallet [x1, x2] osv., vil summen S = M1(x1 – a) + M2(x2 – x1) + ... + Mn(b – xn–1) være større enn eller lik summen s = m1(x1 – a) + m2(x2 – x1) + ... + mn(b – xn–1).
Man kan her vise at forskjellen mellom S og s kan gjøres så liten man bare vil ved å velge oppdelingen av intervallet [a, b] tilstrekkelig fin, det vil si ved å gjøre hvert av delintervallene tilstrekkelig lite. Dette betyr at S og s nærmer seg samme grenseverdi når vi går til stadig finere oppdelinger av intervallet [a, b]. Denne felles grenseverdien kaller vi det bestemte integral av f fra a til b, og vi skriver
integralregning (inlinegrafikk 3) (bilde)
Geometrisk vil integralet I representere det areal som er begrenset av x-aksen, ordinatene i a og b og kurven y = f(x).
Den grunnleggende sammenhengen mellom differensialregningen og integralregningen ytrer seg gjennom følgende to fakta: Om integralet I betraktes som en funksjon av høyre endepunkt b av intervallet [a, b], vil den deriverte av denne funksjon være lik integranden f. Om på den annen side F er et ubestemt integral (en antiderivert av f), vil vi ha at
integralregning (inlinegrafikk 4) (bilde)
Den siste ligningen åpner muligheten for å beregne et areal ved bare først å utføre en antiderivasjon, dvs. finne det ubestemte integral F, og deretter finne differansen mellom F(b) og F(a). Tilsvarende metode kan brukes for andre «totaliteter» som volum, masse, arbeid osv.
Integralet definert som grensen for en uendelig sum slik som ovenfor, kalles ofte det riemannske integral (etter B. Riemann), selv om denne ideen går tilbake til infinitesimalregningens første tid. Senere er det blitt innført andre og utvidede integralbegreper. Mest kjent er det såkalte Lebesgue-integral innført av den franske matematikeren H. Lebesgue omkring år 1900. Dette integralbegrepet kan anvendes på en stor klasse funksjoner, og for de kontinuerlige funksjoner faller det sammen med det riemannske begrep (se målteori).
Definisjonen av et integral som grensen for en sum eller som flateinnholdet av en del av planet definert ved kurven y = f(x) kan utvides til rommet. Dette fører til dobbeltintegraler
integralregning (inlinegrafikk 5) (bilde)
som på en lignende måte kan oppfattes som et volum definert ved flaten z = f(x,y) (i det minste hvis f også her er en positiv funksjon). Multiple integraler i høyere dimensjoner kan defineres på tilsvarende måte. Beregning av slike multiple integraler kan tilbakeføres til gjentatte enkle integralberegninger.
Integralbegrepet er også blitt utvidet på andre måter. Spesielt spiller integraler en fundamental rolle ved oppbyggingen av den komplekse funksjonsteori. I geometri, vektoranalyse og i mange grener av den anvendte matematikk spiller de såkalte kurveintegraler en viktig rolle. Nyere undersøkelser har også ledet til definisjoner av integraler i mer abstrakte områder hvor verken definisjonsområdet eller funksjonsverdiene behøver å bestå av tall.
Integralregning ble først utviklet systematisk av I. Newton og G. W. Leibniz. Integralregningen hadde forskjellige forløpere. Allerede Arkhimedes løste en rekke problemer som nå naturlig løses ved integrasjon. Også J. Kepler, B. Cavalieri, P. H. Guldin, P. de Fermat, B. Pascal, J. Wallis og I. Barrow forberedte integralregningens utvikling.