Entendemos, en el proceso matemático usual, cómo partimos de verdades supuestas, tomadas y calibradas, llamadas Axiomas y vamos construyendo un gran árbol que crece, se alimenta y se despliega, se dobla y vuelve a solaparse muchas veces. Describimos este proceso como una de las partes fundamentales de la lógica matemática y de la teoría de modelos, axiomas → teorías → modelos.

El proceso que trataremos de ilustrar aquí, con el ejemplo, creemos, más significativo para estudiantes de lógica que somos, será el de atravesar el espejo, tomar la ruta inversa y ver, dado un teorema «y quizá incluso una teoría» qué axiomas y sentencias lógicas previas son realmente necesarias para demostrarlo. Más sofisticadamente, decimos que queremos demostrar en qué sistema axiomático mínimo, es decir, el más débil posible, basta para llegar a nuestro teorema de interés.

Naturalmente si alguna vez, intrépido lector, has demostrado con orgullo algún importante teorema, sentirás un interés por aplicar este proceso tú mismo y darte cuenta cómo las distintas axiomáticas a considerar varían en potencia y capacidad. Nosotros, como estudiantes de lógica, estamos interesados por dos resultados fundamentales para el curso: Los Teoremas de Completitud e Incompletitud de Gödel. Grandes y poderosas herramientas que conllevan un proceso largo pero satisfactorio al final.