2025-12-06

倉敷芸術科学大学の過去問【2007年一般入試B日程数学Ⅰ・A選択問題】

入試問題の解説

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今回の問題

倉敷芸術科学大学2007年一般入試B日程の数学Ⅰ・A選択問題です。

5問目は直線の平行移動に関する問題、6問目は2次関数の決定問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

かなり易しい問題です。教科書の例題にも載っているような問題ですので、解けるようにしておきたい問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第5問）

第5問

点 $A(6,6),\ B(-3,-1),\ C(6,-7)$ がある。直線を軸方向にいくら平行移動すれば点を通るか。

第5問の解説

まずは直線の式を求めます。

直線の式は y=ax+b という形をしています。

この直線が $B(-3,-1),\ C(6,-7)$ を通るので、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} -3a+b&=&-1\\ 6a+b&=&-7\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $\displaystyle a=-\frac{2}{3},\ b=-3$ となるので、直線の式は $\displaystyle y=-\frac{2}{3}x-3$ となります。

一般に曲線 y=f(x) を軸方向に、軸方向にだけ平行移動した曲線の式は

y=f(x-p)+q

となります。このことを用いてどれだけ平行移動すれば良いかを考えます。

直線を軸方向にだけ平行移動した式は

$\displaystyle y=-\frac{2}{3}(x-p)-3$

となります。この直線が A(6,6) を通るので、次が成り立ちます。

$\displaystyle -\frac{2}{3}(6-p)-3=6$

この方程式を解くと $\displaystyle p=\frac{39}{2}$ となるので、答えは直線を軸方向に $\displaystyle \frac{39}{2}$ だけ平行移動すると点を通る、ということになります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

$f(1)=3,\ f(2)=9,\ f(3)=18$ となる次関数 f(x) の最小値と、最小値をとるの値を求めよ。

第6問の解説

f(x) はの次関数なので $f(x)=ax^{2}+bx+c$ とおきます。

$f(1)=3,\ f(2)=9,\ f(3)=18$ より、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c&=&3\\ 4a+2b+c&=&9\\ 9a+3b+c&=&18\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{3}{2},\ b=\frac{3}{2},\ c=0$ となるので

$\displaystyle f(x)=\frac{3}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}\left( x+\frac{1}{2}\right) ^{2}-frac{3}{8}$

となります。

したがって f(x) は $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\displaystyle -\fra{3}{8}$ をとります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回は計算問題だけでした。

方程式を解くのは少し面倒ですね。

答えが分数だと計算も大変です。ミスしないように気をつけておかないといけません。

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2025-11-30

平行四辺形の性質を考えてみた

世界史の問題みたいにしてみた図形と計量・図形の性質

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今回は基礎事項や定理に関するものをの解説をしていきたいと思います。

「数式見るのはイヤ！」って方もいるだろうと思いますので、できるだけ数式を使わないように問題をアレンジして出題してその問題の解説をしていきます！

解説では数式を使いますのでそこは許してください。m(_ _)m

今回はこのような問題を出すのが初めてなので、試験的に平行四辺形の性質に関する問題を出題して解説していこうかと思います。

今回の問題

問題

次の文章を読み、後の設問に答えよ。

四角形のうち2組の向かい合う辺がそれぞれ平行であるものを平行四辺形という。①平行四辺形には次のような性質がある。

(1) 2組の向かい合う辺の長さは等しい

(2) 2組の向かい合う角の大きさは等しい

(3) 2本の対角線はそれぞれの中点で交わる

また、四角形が次のような性質を持てばその四角形は平行四辺形である。

(a) 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である

(b) 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい

(d) 2本の対角線が中点で交わる

(e) 1組の向かい合う辺が平行でかつ長さが等しい

問1

下線部①について、平行四辺形の性質を導き出すために用いる事柄として適切ではないものを次の4つのうちから1つ選べ。

①三角形の合同条件

②平行線の公理

③二等辺三角形の性質

④平行四辺形の定義

問2

平行四辺形の性質(1)〜(3)から導かれるものとして適切なものを次の4つのうちから1つ選べ。

①平行四辺形の4つの辺が全て等しい

②平行四辺形の向かい合う角の和が $180^{\circ }$ である

③平行四辺形の隣り合う角の和が $180^{\circ }$ である。

④平行四辺形の2本の対角線の長さが等しい

問3

平行四辺形となる条件(a)〜(e)のうち、定理として導かれるものをすべて選べ。

問4

次の四角形のうち平行四辺形ではないものを1つ選べ。

①正方形

②長方形

③ひし形

④等脚台形

問1の解説
 問2の解説
 問3の解説
 問4の解説

平行四辺形の性質

平行四辺形には次のような性質があります。

平行四辺形の性質
(1) 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行（定義）
(2) 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい
(3) 2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい
(4) 2本の対角線は中点で交わる

2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しいことの証明
 2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しいことの証明
 2本の対角線がそれぞれの中点で交わることの証明
 問1の解答

上の(1)の条件を満たす四角形が平行四辺形となりますが、この性質から他の(2)〜(4)の性質を導くことができます。

↑参考のために図を貼り付けます。

2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しいことの証明

平行四辺形の対角線を1本引きます。

今回は上の参考図のを使うことにします。

そうすると $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ に分けることができます。

この2つの三角形が合同だったらなぁ…。と思いませんか？

この願望が通れば証明完了なのですが、やってみましょう！

$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ が合同であることの証明

$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ において

辺と辺は平行で錯角は等しいから

$\angle CAB=\angle ACD$ …①

辺と辺は平行で錯角は等しいから

$\angle BCA=\angle DAC$ …②

共通な辺なので AC=CA …③

①、②、③より1辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しいので

$\triangle ABC \equiv \triangle CDA$

これで願っていたことが正しいということが証明されました！

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので

$AB=CD,\ BC=DA$

ということが導かれます。

これで平行四辺形の2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい、ということがわかります。

2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しいことの証明

先程の証明で $\angle ABC=\angle CDA$ であることは導くことができます。

あとの問題は $\angle DAB=\angle BCD$ が本当に正しいか？というところになります。

今度は対角線を使います。

そうすると $\triangle BCD$ と $\angle DAB$ に分かれますので、この2つの三角形が合同であることが言えれば問題が解けそうです。

$\triangle BCD$ と $\triangle DAB$ が合同であることの証明

$\triangle BCD$ と $\triangle DAB$ において

辺と辺は平行で錯角は等しいから

$\angle CDB=\angle ABD$ …①

辺と辺は平行で錯角は等しいから

$\angle CDB=\angle ABD$ …②

共通な辺なので BD=DB …③

①、②、③より1辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しいので

$\triangle BCD \equiv \triangle DAB$

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので $\angle BCD=\angle DAB$ であることが言えます。

ということで、2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しいということが導かれました。

2本の対角線がそれぞれの中点で交わることの証明

今度は2本の対角線がそれぞれの中点で交わっていることの証明を行います。

2本の対角線の交点をとします。（この時点で点は対角線の中点とは言っていないので注意！）

三角形が4つできますが、ここでは $\triangle ABO$ と $\triangle CDO$ で考えてみます。

この2つの三角形が合同であることが言えれば問題が解決されそうです。

$\triangle ABO$ と $\triangle CDO$ が合同であることの証明

$\triangle ABO$ と $\triangle CDO$ において

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので

AB=CD …①

平行線の錯角は等しいので

$\angle OAB=\angle OCD$ …②

$\angle ABO=\angle CDO$ …③

①、②、③より、1辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しいので

$\triangle ABO\equiv \triangle CDO$

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので

$OA=OC,\ OB=OD$

であることが言えます。

これは2本の対角線がそれぞれの中点で交わっていることを意味しています。（点がその中点になります）

平行四辺形の性質を導くのに用いたもの

ここまでやってきた証明は

(1) 平行四辺形の定義を使って
(2) 平行線の公理を用いて
(3) 三角形の合同条件を使って三角形の対応する辺の長さ、角の大きさが等しいことを導いた

ということを行ってきました。

ですので、問1の解答は③が正解となります。

対角線の長さが等しければ二等辺三角形の性質を使って平行四辺形の性質を導けそうですが、そうとは限りませんので使えなさそうです。

平行四辺形の性質から導かれるもの

ここまでで平行四辺形の定義から平行四辺形の性質を導き出しました。

この性質を使って、次のことを考えてみます。

①平行四辺形の4つの辺が全て等しい
②平行四辺形の向かい合う角の和が $180^{\circ }$ である
③平行四辺形の隣り合う角の和が $180^{\circ }$ である。
④平行四辺形の2本の対角線の長さが等しい

これら4つの事柄が必ず正しくなるかを検証してみましょう！

平行四辺形の4つの辺の長さはすべて等しいか？
平行四辺形の向かい合う角の大きさの和は必ず180°か？
平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は必ず180°か？
平行四辺形の2本の対角線の長さは必ず等しいか？
検証結果（問2の解答）

平行四辺形の4つの辺の長さはすべて等しいか？

次の図形を用意してみました。

後ほど証明しますが、平行四辺形になる条件より、この図形は平行四辺形です。

長さも与えていますが、2組の向かい合う辺の長さは等しいですが、4つの辺は等しくないということがわかります。

ということで、違う例がありましたので平行四辺形の4つの辺の長さはすべて正しいということは必ずしも成り立ちません。

平行四辺形の向かい合う角の大きさの和は必ず $180^{\circ }$ か？

先程の図をもう一度見てみます。

向かい合う角の大きさの和は $120^{\circ }+120^{\circ }=240^{\circ }$ もしくは $60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }$ です。

いずれの場合も向かい合う角の大きさの和が $180^{\circ }$ となっていません。

ということで、違う例がありましたので平行四辺形の向かい合う角の大きさの和が必ず $180^{\circ }$ になるとは限りません。

平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は必ず $180^{\circ }$ か？

先程の図を見てみましょう。

隣り合う角の大きさの和は $120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$ となっています。

なんか、正しそうな気がします。

心配になるのは「他に違う例が存在しないか」というところです。

そこで次の四角形を考えます。

$\angle ABC=\angle CDA=a^{\circ },\ \angle BCD=\angle DAB=b^{\circ }$

ここで $0^{\circ }\lt a \lt 180^{\circ },\ 0^{\circ }\lt b \lt 180^{\circ }$ とします。

平行四辺形になる条件から、この四角形は平行四辺形です。

四角形の内角の和は $360^{\circ }$ ですので

$a+b+b+a=2(a+b)=360^{\circ }$

となります。したがって

$a+b=180^{\circ }$

となります。

a+b は隣り合う角の大きさの和ですので、平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は必ず $180^{\circ }$ であることが言えます。

平行四辺形の2本の対角線の長さは必ず等しいか？

先程の図を参考に対角線の長さを余弦定理を用いて求めてみます。

図には対角線の長さも計算で与えていますので、この図が違う例であります。

余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} AC^{2}&=&8^{2}+6^{2}-2\cdot 8\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &=&64+36+48\\ &=&148\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} BD^{2}&=&8^{2}+6^{2}-2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{1}{2}\\ &=&64+36-48\\ &=&52\end{eqnarray*}$

となります。

$AC\gt 0,\ BD\gt 0$ なので、上の計算結果から $AC \not= BD$ ということがわかります。

よって、平行四辺形の対角線の大きさは等しいということは必ずしも成り立つとは限りません。

検証結果

平行四辺形の性質から言えることは

平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は $180^{\circ }$ である

ということが言えました。

よって問2の解答は③が正解です。

平行四辺形になる条件〜定理と定義の違い〜

平行四辺形になる条件として次のようなものがあります。

(a) 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
(b) 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい
(c) 2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい
(d) 2本の対角線が中点で交わる
(e) 1組の向かい合う辺が平行でかつ長さが等しい

(a)は平行四辺形の定義、その他は定理として導かれるものですので、(b)、(c)、(d)、(e)が問3の解答です。

「定義」という言葉と「定理」という言葉は似ていますが、意味は全く違います。

「定義」と「定理」という言葉を理解したうえで、平行四辺形になる条件が正しいことを証明していきたいと思います！

「定義」と「定理」の違い
 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形であることの証明
 2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形であることの証明
 2本の対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形であることの証明
 1組の向かい合う辺が平行でかつ長さが等しい四角形は平行四辺形であることの証明

「定義」と「定理」の違い

辞書には「定義」は次のように書いてあります。

「定義」
ある物や事柄をこういうものであると端的に伝えるための説明のことを意味する表現。

平行四辺形とは「2組の向かい合う辺のがそれぞれ平行である四角形」を言う。

というのが平行四辺形の定義です。（平行四辺形がどういうものかを説明したもの）

一方、「定理」は

「定理」
ある理論体系において、その公理や定義をもとにして証明された命題で、それ以降の推論の前提となるもの。

と書いてあります。

平行四辺形になる条件の(b)〜(e)は定義をもとにして証明されるので、定理ということができます。

平行四辺形になる条件の証明は四角形が条件を満たしていることから出発して、その四角形が平行四辺形の定義を満たしているということをチェックします。

証明については最初に貼り付けた参考図を参考に証明を進めていきます。

2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形

仮定は $AB=CD,\ BC=DA$ 、証明のゴールは錯角が等しいことを言うことです。

平行線の公理「錯角が等しい2つの直線は平行である」ということを用いれば良いということです。

証明

$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ において

四角形の2組の向かい合う辺の長さが等しいので

AB=CD …①

BC=DA …②

共通の辺なので

AC=CA …③

①、②、③より3辺の長さがそれぞれ等しいので

$\triangle ABC\equiv \triangle CDA$

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので

$\angle BCA=\angle DAC,\ \angle CAB=\angle ACD$

錯角が等しいので

$AD//BC,\ AB//CD$

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので、この四角形は平行四辺形である。

2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形

仮定は $\angle ABC=\angle CDA,\ \angle BCD=\angle DAB$ 、証明のゴールは錯角または同位角が等しいことを言うことです。

今回は辺を延長して補助線を引きます。

証明

辺を側から延長し、その延長線上の点をとする。

仮定と四角形の内角の和が $180^{\circ }$ であることから

$\angle DAB+\angle ABC=180^{\circ }$ …①

また、一直線上の角度は $180^{\circ }$ なので

$\angle ABC+\angle CBE=180^{\circ }$ …②

①、②より $\angle DAB=\angle CBE$ …③

同位角が等しいので AD//BC

③と仮定より $\angle BCD=\angle CBE$

錯角が等しいので AB//CD

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので、この四角形は平行四辺形である。

2本の対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形

仮定は $AO=CO,\ BO=DO$ 、証明のゴールは錯角が等しいことを言うことです。

三角形の合同を証明するとできそうです。

証明

$\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ において

仮定より $OA=OC,\ OB=OD$ …①

対頂角は等しいので $\angle BOA=\angle DOC$ …②

①、②より2辺の長さとその間の角の大きさがそれぞれ等しいので

$\triangle OAB\equiv \triangle OCD$

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので

$\angle OAB=\angle OCD$

錯角が等しいので AB//CD

$\triangle OAD$ と $\triangle OCB$ において同様にすると

$\triangle OAD\equiv \triangle OCB$

となるので $\angle OAD=\angle OCB$

錯角が等しいので DA//BC

2組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので、この四角形は平行四辺形である。

1組の向かい合う辺が平行でかつ長さが等しい四角形は平行四辺形

仮定は $AB=CD,\ AB//CD$ です。

2本の対角線がそれぞれの中点で交わることが言えれば、先程の証明で平行四辺形であることが言えます。

証明

$\triangle OAB$ と $\triangle OCD$ において

仮定より AB=CD …①

平行線の錯角は等しいので

$\angle OAB=\angle OCD,\ \angle ABO=\angle CDO$ …②

①、②より1辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しいので

$\triangle OAB\equiv \triangle OCD$

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので

$OA=OC,\ OB=OD$

この四角形の2本の対角線はそれぞれの中点で交わるので、この四角形は平行四辺形である。

特別な平行四辺形

平行四辺形の中には特別な性質を持つものがいます。

特別な性質というのはいわゆる良い性質を持ったものです。

例えば、すべての辺の長さが等しい、すべての角の大きさが等しいといったところです。

良い性質を持った図形には名前がついていることが多いです。

四角形であれば「正方形」「長方形」「ひし形」「等脚台形」が挙げられます。

これらが平行四辺形の性質を持っているかどうかを平行四辺形になる条件を満たしているかどうかを考えてみます！
正方形は平行四辺形か？
長方形は平行四辺形か？
ひし形は平行四辺形か？
等脚台形は平行四辺形か？
平行四辺形ではなかったものは？（問4の解答）

正方形

正方形は次のような四角形であることが言えます。

正方形
全ての辺の長さが等しく、全ての角の大きさが等しい四角形

この四角形は

・向かい合う2組の辺の長さがそれぞれ等しい

・向かい合う2組の角の大きさがそれぞれ等しい

という条件を満たしますので、平行四辺形であるということができます。

長方形

長方形は次のような四角形です。

長方形
全ての角の大きさが等しい四角形

この四角形は

・向かい合う2組の角の大きさがそれぞれ等しい

という条件を満たしますので、平行四辺形であるということができます。

ひし形

ひし形は次のような四角形です。

ひし形
全ての辺の長さが等しい四角形

この四角形は

・向かい合う2組の辺の長さがそれぞれ等しい

という条件を満たしますので、平行四辺形であるということができます。

等脚台形

等脚台形は次のような四角形のことを言います。

等脚台形
少なくとも1組の向かい合う辺が平行で、平行ではない1組の向かい合う辺の長さが等しい四角形

等脚台形の定義から、平行四辺形ではないということがわかります。

平行四辺形ではなかったのは？

正方形、長方形、ひし形、等脚台形のうち平行四辺形ではないものは等脚台形のみです。

ということで、問4の解答は④が正解です。

まとめ

平行四辺形にはいろいろな性質があります。

隣り合う角の大きさの和が $180^{\circ }$ であることは意外でしたね。

演習問題や入試問題では平行四辺形の性質や平行四辺形になる条件を使って解く問題が出ることが多々あります。

中学で習うような内容ですが意外と馬鹿にはできないです。

ここに平行四辺形がありそう…と思ったらこの内容を思い出すと良いことがあるかもしれません。

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2025-11-29

倉敷芸術科学大学の過去問【2007年一般入試B日程】

入試問題の解説

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今回の問題

今回の問題は倉敷芸術科学大学2007年一般入試B日程の問題です。

全体を通してほとんど計算問題です。

1問目は平方根の計算、2問目は三角関数の計算、3問目は直角三角形の内接円の半径を求める問題、4問目は確率、5問目は因数分解、6問目は数列に関する問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

ほとんど計算問題になりますので、このくらいの問題は解けるようにしておいたほうが良いです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ を計算せよ。

第1問の解説

次のように計算をしていきます。

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}&=&\frac{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}+\frac{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}\\ &=&\frac{7+\sqrt{35}+\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5}+\frac{7-\sqrt{35}-\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5}\\ &=&\frac{7+\sqrt{35}+\sqrt{7}+\sqrt{5}+(7-\sqrt{35}-\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}\\ &=&\frac{14+2\sqrt{5}}{2}\\ &=&7+\sqrt{5}\end{eqnarray*}$

このパターンの分母の有理化は $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ であることを利用して分母にある根号を外します。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

$\tan{\theta }=2$ のとき、 $\displaystyle \frac{1}{1-\sin{\theta }}+\frac{1}{1+\sin{\theta }}$ の値を求めよ。

第2問の解説

三角関数の相互関係

・ $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$

・ $\displaystyle \tan{\theta }=\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}$

・ $\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$

をうまく使いこなせるかがポイントになります。

今回は $\tan{\theta }$ の値が与えられていますので、 $\tan{\theta }$ が現れるように式変形していきます。

次のように式変形をして値を求めていきます。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\sin{\theta }}+\frac{1}{1+\sin{\theta }}&=&\frac{1+\sin{\theta }}{(1-\sin{\theta })(1+\sin{\theta })}+\frac{1-\sin{\theta }}{(1+\sin{\theta })(1-\sin{\theta })}\\ &=&\frac{1+\sin{\theta }+(1-\sin{\theta })}{1-\sin^{2}{\theta }}\\ &=&\frac{2}{\cos^{2}{\theta }}\\ &=&2(1+\tan^{2}{\theta })\\ &=&2(1+2^{2})\\ &=&2\times 5\\ &=&10\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第3問）

第3問

直角をはさむ辺が 3cm と 4cm の直角三角形の内接円の半径を求めよ。

第3問の解説

三角形の辺の大きさを $a,\ b,\ c$ 、内接円の半径を、三角形の面積をとするとき、次のような関係があります。

$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$

この関係を使って三角形の内接円の半径を求めます。

まず、この三角形の面積は三角形が直角三角形ですので

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 4=6$

となります。三平方の定理より、斜辺の長さは

$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$

となりますので、この三角形の内接円の半径をとすると

$\displaystyle \frac{1}{2}r\times (3+4+5)=6$

が成り立ちます。この方程式を解くと r=1 となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

コインを何回か投げて、表が出る枚数が枚以下となる確率が $\displaystyle \frac{1}{5}$ 以下になるようにするには、最低何枚のコインを投げれば良いか。

第4問の解説

反復施行の確率の問題です。

投げるコインの枚数を枚とすると

・全部裏が出る確率は $\displaystyle \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$

・表が枚だけ出る確率は $\displaystyle _{n}C_{1}\left( \frac{1}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}$

となります。これら2つの事象は同時には起こりませんので、枚のコインを投げて表が出る枚数が枚以下となる確率は

$\displaystyle \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}+_{n}C_{1}\left( \frac{1}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1} =(n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$

となります。この値が $\displaystyle \frac{1}{5}$ 以下になれば良いのですが、指数関数が含まれていますので、まともに不等式を解くのは難しそうです。

そこで、次のような表を作っての値を求めます。

$\begin{array}{|c|c|}\hline n&\displaystyle (n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\\ \hline 1&\displaystyle 1=\frac{64}{64}\\ \hline 2&\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{48}{64}\\ \hline 3&\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{32}{64}\\ \hline 4&\displaystyle \frac{5}{16}=\frac{20}{64}\\ \hline 5&\displaystyle \frac{6}{32}=\frac{12}{64}\\ \hline 6&\displaystyle \frac{7}{64}\\ \hline 7&\displaystyle \frac{1}{16}=\frac{4}{64}\\ \hline \end{array}$

分母を合わせておくと大小比較がしやすいので、表では分母をに合わせています。

この表を見るとの値を大きくすると $\displaystyle (n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$ の値が小さくなっていくことがわかります。

$\displaystyle \frac{1}{5}=0.2$ なので、この表と比較して $\displaystyle (n+1)\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}$ の値が 0.2 より初めて小さくなっているようなの値がこの問題の答えとなります。

そのようながとなりますので、最低枚のコインを投げれば良いというのがこの問題の解答となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

$a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)+3abc$ を因数分解せよ。

第5問の解説

文字の種類が種類以上ある場合はそれぞれの文字について着目した次数を見ます。

違っていれば最低次数の文字について整理、すべて同じ場合は好きな文字について整理します。

今回の問題の場合はどの文字について着目しても次式ですので、好きな文字について整理してから因数分解を行います。

今回はについて降べきの順に整理してから因数分解を行います。（下のような計算で因数分解をします）

$\begin{eqnarray*} （与式）&=&(b+c)a^{2}+(b^{2}+3bc+c^{2})a+b^{2}c+bc^{2}\\ &=&(b+c)a^{2}+\{ (b+c)^{2}+bc\} a+bc(b+c)\\ &=&\{ (b+c)a+bc\} \{ a+(b+c)\} \\ &=&(ab+bc+ca)(a+b+c)\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第6問）

第6問

で割ると余り、で割ると余る自然数を小さい順に並べると、どのような数列ができるか。また、この数列で 500 以下となるものの総和はいくらか。

第6問の解説

で割ると余る数は整数を用いて 5x+3 と表すことができます。

同じようにで割ると余る数を整数を用いて表すと 9y+7 と表すことができます。

で割ると余り、で割ると余るような数は不定方程式

5x+3=9y+7

を満たします。この不定方程式を解くと

5x-9y=4

で、この不定方程式は $x=-1,\ y=-1$ を解の一つに持つので

5(x+1)-9(y+1)=0

したがって

5(x+1)=9(y+1)

が成り立ちます。とは互いに素なので、整数を用いて

$(x+1)=9k,\ (y+1)=5k$

となりますから $x=9k-1,\ y=5k-1$ となります。

よって、で割ると余り、で割ると余るような数はを用いて表すと

45k-2

ということになります。

これは初項、公差の等差数列です。

$45k-2\leqq 500$

を満たすようなを求めると

$\displaystyle k\leqq \frac{502}{45}=11.1\cdots$

となりますので、求める総和の方は

$\begin{eqnarray*} \sum^{11}_{k=1}(45k-2)&=&\frac{45}{2}\times 11\times 12-2\times 11\\ &=&270\times 11-2\times 11\\ &=&268\times 11\\ &=&2948\end{eqnarray*}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回はほとんど計算問題でしたので、基本事項さえ押さえていれば解けるものでした。

6問目が一番難しいでしょうか。解いたときは 5x+3 と 9y+7 を書き並べて数列を探しましたが、不定方程式を使って探したほうが確実かもしれません。

やり方さえわかれば難なくいけそうな感じでした。

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2025-11-22

倉敷芸術科学大学の過去問【2007年一般入試A日程数学Ⅰ・A選択問題】

入試問題の解説

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今回の問題

今回は倉敷芸術科学大学2007年一般入試の数学Ⅰ・Aの選択問題です。

2013年まで5問目と6問目に数学Ⅰ・Aの問題と数学Ⅱ・Bの問題が選択問題として設定されていたようです。

今回の5問目は2次関数の問題、6問目は2つのサイコロ投げに関する確率の問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

定期テストで出れば難しいかな？というくらいの難易度です。入試で数学が必要なら解けてほしい問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第5問）

第5問

$y=-x^{2}+9$ と軸に囲まれた部分に辺が軸上で他のつの頂点が放物線上にあるような長方形を作るとき、その長方形の周囲の長さの最大値を求めよ。

第5問の解説

考える長方形の例は下の図のようになります。

図の点 $A,\ B,\ C,\ D$ の座標をそれぞれ

$A(-a,\ -a^{2}+9),\ B(-a,0),\ C(a,0),\ D(a,-a^{2}+9)$

と定めます。

長方形 ABCD の周の長さは

$2\times \left\{(-a^{2}+9)+2a\right\} =-2a^{2}+4a+18$

となります。これを f(a) とおきます。

放物線 $y=-x^{2}+9$ のグラフと軸との交点は $(-3,0),\ (3,0)$ ですので、の取りうる値の範囲は $0\lt a\lt 3$ となります。

この範囲内の f(a) の最大値を求めると

$f(a)=-2(a-1)^{2}+20$

となりますので、長方形の周の長さの最大値は a=1 のときとなります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

つのサイコロを同時に投げて出た目を $x,\ y$ とする。 $x,\ y$ の積をで割ったときの余りをとするとき、の期待値を求めよ。

第6問の解説

サイコロ2個投げ問題は表を作るとすぐに解くことができます。

必要な情報は2個のサイコロの出た目の積ですので、その結果を次のように表にします。

とは縦軸、横軸どちらにとっても大丈夫です。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \times &1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&1&2&3&4&5&6\\ \hline 2&2&4&6&8&10&12\\ \hline 3&3&6&9&12&15&18\\ \hline 4&4&8&12&16&20&24\\ \hline 5&5&10&15&20&25&30\\ \hline 6&6&12&18&24&30&36\\ \hline \end{array}$

この表からそれぞれの値をで割った余りを表にします。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline mod4 &1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&1&2&3&0&1&2\\ \hline 2&2&0&2&0&2&0\\ \hline 3&3&2&1&0&3&2\\ \hline 4&0&0&0&0&0&0\\ \hline 5&1&2&3&0&1&2\\ \hline 6&2&0&2&0&2&0\\ \hline \end{array}$

あとは手で数えるだけです。

が箇所、が箇所、が箇所、が箇所、マス（一番上の数字と一番左の数字はサイコロの出た目の数字を表すので数えない）は全部で箇所あるので、求める期待値は

$\displaystyle 0\times \frac{15}{36}+1\times \frac{5}{36}+2\times \frac{12}{36}+3\times \frac{4}{36}=\frac{41}{36}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

状況を理解すればすぐに解ける2問でした。

教科書用問題集でもよく見られる問題ですので、授業がある間にものにしておきたいです。

2問目に関しては表に書くのは面倒かもしれませんが、表に書くことで一瞬で解決できることがあります。

計算だけでやろうとするとミスをするのでおすすめの方法です。

中学でやっていた数え上げの方法も馬鹿にはできないかもしれません。

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2025-11-15

倉敷芸術科学大学の過去問【2007年一般入試A日程】

入試問題の解説

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今回の問題

今回は倉敷芸術科学大学2007年一般入試A日程の問題です。

1問目が連立不等式、2問目は $15^{\circ }$ の三角比の値を求める問題、3問目は定義された演算に関する方程式の問題、4問目は集合の個数を数え上げる問題、5問目は数列の基本問題、6問目は次関数の極値の差を求める問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

序盤は易しいですが、終盤は文字式が含まれる計算を行うのでミスをしないように注意が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

次の連立不等式を解け。

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-x&\lt &2\\ 3x+2&\geqq &5\end{array}\right.\end{eqnarray*}$

第1問の解説

つの不等式を解いて、その共通部分を求めるのがこの問題の解く手順です。

上の不等式 $x^{2}-x\lt 2$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-x-2&\lt &0\\ (x+1)(x-2)&\lt &0\end{eqnarray*}$

したがって解は $-1\lt x\lt 2$ となります。

下の不等式 $3x+2\geqq 5$ を解くと $x\geqq 1$ となります。

よって、連立不等式の解は $1\leqq x\lt 2$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

$\triangle ABC$ は $\angle B=15^{\circ },\ \angle C=90^{\circ }$ の直角三角形である。辺上に点を $\angle ADC=30^{\circ }$ となるようにとる。このことから、 $\tan{15^{\circ }}$ の値を求めよ。

第2問の解説

図を書くと下のようになります。（手書きですが）

AC=1 とすると $DC=\sqrt{3},\ AD=BD=2$ となります。

三角比の定義から

$\begin{eqnarray*} \tan{15^{\circ }}&=&\frac{AC}{BC}\\ &=&\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\ &=&2-\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

自然数 $p,\ q$ に対して p*q=2p+3q のように演算を定義するとき、次の設問に答えよ。

(1) 4*(3*2) の値を計算せよ。

(2) x*10=40 となるの値を求めよ。

第3問の解説

定義通りに、順序通りに計算を行っていきます。

$\begin{eqnarray*} 3*2&=&2\times 3+3\times 2\\ &=&6+6\\ &=&12\end{eqnarray*}$

となりますので

$\begin{eqnarray*} 4*(3*2)&=&4*12\\ &=&2\times 4+3\times 12\\ &=&8+36\\ &=&44\end{eqnarray*}$

のように計算します。

よって、(1)の答えはとなります。

また、(2)は次のようにして考えます。

x*10=2x+30 なので、方程式は

2x+30=40

となります。この方程式を解くと x=5 となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

全体集合をから 1000 までの自然数全体とする。集合 $A,\ B,\ C$ はの部分集合で、はの倍数全体、はの倍数全体、はの倍数全体とする。集合の要素の個数を n(X) で表すとき、次の設問に答えよ。

(1) $n(A\cap B\cap C)$ を求めよ。

(2) $n(A\cap B\cap \bar{C})$ を求めよ。

(3) $n((\overline{A\cup B})\cap C)$ を求めよ。

第4問の解説

集合の要素を具体的に並べてみます。そうすると

$A=\{ 6\times \color{red}{1},\ 6\times \color{red}{2},\ \cdots ,\ 6\times \color{red}{166}\}$

$B=\{ 5\times \color{red}{1},\ 5\times \color{red}{2},\ \cdots ,\ 5\times \color{red}{200}\}$

$C=\{ 8\times \color{red}{1},\ 8\times \color{red}{2},\ \cdots ,\ 8\times \color{red}{125}\}$

となります。個数を数えるときは赤文字の数字に注目します。

例えば n(A)=166 となります。

(1) $A\cap B\cap C$ の要素は 120 の倍数全体となりますので

$A\cap B\cap C=\{ 120\times \color{red}{1},\ 120\times \color{red}{2},\ \cdots ,\ 120\times \color{red}{8}\}$

したがって、 $n(A\cap B\cap C)=8$ となります。

(2)の部分集合での倍数全体の集合をとします。このとき

$D=\{ 30\times \color{blue}{1},\ 30\times \color{blue}{2},\ \cdots ,\ 30\times \color{blue}{33}\}$

となります。 $A\cap B\cap \bar{C}$ の個数は上の青い数字のうちの倍数個を取り除いた個数になりますので

$n(A\cap B\cap \bar{C})=33-8=25$

ということになります。

(3)ド・モルガンの法則より、考える集合は $\bar{A}\cap \bar{B}\cap C$ となります。

この集合はの倍数のうちの倍数との倍数を取り除いたもの全体になります。

最初に考えた赤い数字の部分に注目して考えます。

から 125 の数のうち、の倍数が個、の倍数が個、の倍数が個あるので

$n(\bar{A}\cap \bar{B}\cap C)=125-41-25+8=67$

したがって個が求める答えになります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

$1,\ 4,\ 10,\ 19,\ 31,\ \cdots$ で与えられた数列 $\{ a_{n}\}$ について、次の設問に答えよ。

(1)一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(2)初項から第項までの和 $S_{n}$ を求めよ。

第5問の解説

(1)与えられている数列の階差数列を書き並べると

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ \cdots$

となります。これは初項、公差の等差数列になりますので、 $n\geqq 2$ のとき

$\begin{eqnarray*} a_{n}&=&1+\sum^{n-1}_{k=1}(3k)\\ &=&1+\frac{3}{2}n(n-1)\\ &=&\frac{3}{2}n^{2}-\frac{3}{2}n+1\end{eqnarray*}$

これは n=1 のときも成り立ちますので、一般項は $\displaystyle a_{n}=\frac{3}{2}n^{2}-\frac{3}{2}n+1$ となります。

(2)(1)より一般項がわかりましたので、和の計算をしていくだけになります。

$\begin{eqnarray*} S_{n}&=&\sum^{n}_{k=1}a_{k}\\ &=&\frac{3}{2}\times \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}n(n+1)+n\\ &=&\frac{1}{4}n(n+1)(2n+1)-\frac{3}{4}n(n+1)+n\\ &=&\frac{1}{4}n(n+1)(2n+1-3)+n\\ &=&\frac{1}{2}n(n+1)(n-1)+n\\ &=&\frac{1}{2}n(n^{2}-1)+n\\ &=&\frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{2}n\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第6問）

第6問

の次関数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{p^{2}(p-1)^{2}}(x-p)^{2}(x-p^{2})\ (p\not= 0,\ 1)$ の極大値と極小値の差 g(p) を求めよ。

第6問の解説

f(x) の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めると

$\begin{eqnarray*} f^{\prime }(x)&=&\frac{1}{p^{2}(p-1)^{2}}(2(x-p)(x-p^{2})+(x-p)^{2})\\ &=&\frac{1}{p^{2}(p-1)^{2}}(x-p)(2x-2p^{2}+x-p)\\ &=&\frac{1}{p^{2}(p-1)^{2}}(x-p)(3x-2p^{2}-p)\end{eqnarray*}$

よって、 x=p のときと $\displaystyle x=\frac{2p^{2}+p}{3}$ のときに f(x) が極値を取ることがわかります。

と $\displaystyle \frac{2p^{2}+p}{3}$ の差を調べると

$\begin{eqnarray*} \frac{2p^{2}+p}{3}-p&=&\frac{2p^{2}+p-3p}{3}\\ &=&\frac{2p^{2}-2p}{3}\\ &=&\frac{2p(p-1)}{3}\end{eqnarray*}$

となりますので $p\lt 0,\ 1\lt p$ のとき $\displaystyle p\lt \frac{2p^{2}+p}{3}$ 、 $0\lt p\lt 1$ のとき $\displaystyle p\gt \frac{2p^{2}+p}{3}$ となります。

このことから、次のようなことが考えられます。

$p\lt 0,\ 1\lt p$ のとき極大値は f(p) 、極小値は $\displaystyle f\left( \frac{2p^{2}+p}{3}\right)$

$0\lt p\lt 1$ のとき極大値は $\displaystyle f\left( \frac{2p^{2}+p}{3}\right)$ 、極小値は f(p)

$\displaystyle g(p)=|f(p)-f\left( \frac{2p^{2}+p}{3}\right) |$ ですので、あとは f(p) と $\displaystyle f\left( \frac{2p^{2}+p}{3}\right)$ を求めるだけになります。

$\displaystyle f(p)=0,\ f\left( \frac{2p^{2}+p}{3}\right) =-\frac{4p}{27}(p-1)$

ですので、極大値と極小値の大小関係に注意して

$\begin{eqnarray*} g(p)&=&\left\{ \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{4p(p-1)}{27}&(p\lt 0,\ 1\lt p)\\ \displaystyle -\frac{4p(p-1)}{27}&(0\lt p\lt 1)\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

6問目が最大の難関かと思います。

ただ、この問題が解ければ合格と言っても良いくらいではないかと思います。

文字式が多くて戸惑いますが、一つずつ順番を追って計算をしていけば大丈夫です。

計算と言っても、今回の場合は展開せずに形をそのままで代入をすれば計算が楽になります。

そんな工夫もしてみてください。

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2025-11-08

問題に表記してある難易度について

取扱説明書

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問題に表記してある難易度の目安はこんな感じです。（ほぼ私の感想です）

☆：間違いなく解けないといけない問題。これが解けないと入試どころか定期テストが危ないくらい。

☆☆：入試入門くらい。入試で数学が必要なら解けないとマズイくらい。

☆☆☆：易しめの入試問題ですが、計算が大変な部分があるので油断禁物な問題。中堅以上の大学・教員採用試験でパスするならこのレベルまでは説明できるようにしておくと良いと思います。

☆☆☆☆：入試標準〜難問くらい。国公立大学クラスの問題。このあたりから何らかの特殊な訓練が必要。

☆☆☆☆☆：難問。旧帝大クラスの問題。おそらく特殊な訓練が必要。

※全体を見て判断しています。複数問題がある場合は一番難しい問題を基準でつけています。

2025-11-08

倉敷芸術科学大学の過去問【2006年一般入試B日程】

入試問題の解説入試問題

ご訪問ありがとうございます！

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今回の問題

倉敷芸術科学大学2005年の一般入試B日程の問題です。

日程が後ろなのか、難易度はA日程より高いです。

前半の4問はそこまで難しくはないですが、後半2問は油断大敵です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

出題範囲は数学Ⅰ・A（2006年当時）の範囲ですが、少し技術が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

$\displaystyle a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $a^{2}-a-1$

(2) $a^{12}$

第1問の解説

(1)条件 $\displaystyle a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を変形していきます。

$\begin{eqnarray*} 2a&=&1-\sqrt{5}\\ 2a-1&=&-\sqrt{5}\\ (2a-1)^{2}&=&5\\ 4a^{2}-4a+1&=&5\\ 4a^{2}-4a-4&=&0\\ a^{2}-a-1&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、 $a^{2}-a-1$ の値はです。

(2)(1)の結果を使って次数を下げていきます。

さすがに乗の計算はやりたくないです…。

(1)の結果より $a^{2}=a+1$ なので、これを用いると

$\begin{eqnarray*} a^{12}&=&(a+1)^{6}\\ &=&\{ (a+1)^{2}\} ^{3}\\ &=&(a^{2}+2a+1)^{3}\\ &=&(3a+2)^{3}\\ &=&27a^{3}+54a^{2}+36a+8\\ &=&27a(a+1)+54(a+1)+36a+8\\ &=&27(a+1)+27a+54a+54+36a+8\\ &=&144a+89\\ &=&72-72\sqrt{5}+89\\ &=&161-72\sqrt{5}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

次不等式 $x^{2}+4mx-3m^{2}+4m+3\gt 0$ がすべての実数に対して成り立つような定数の範囲を求めよ。

第2問の解説

の次方程式 $x^{2}+4mx-3m^{2}+4m+3=0$ の判別式をとすると

$\begin{eqnarray*} D/4&=&(2m)^{2}-(-3m^{2}+4m+3)\\ &=&4m^{2}+3m^{2}-4m-3\\ &=&7m^{2}-4m-3\\ &=&(7m+3)(m-1)\end{eqnarray*}$

となります。

問題で要請されている条件は $D\lt 0$ ですので、この2次不等式を解くと $\displaystyle -\frac{3}{7}\lt m\lt 1$ となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

次の2条件を同時に満たす $\triangle ABC$ はどのような三角形か。

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ccc} \sin^{2}{A}&=&\sin^{2}{B}+\sin^{2}{C}-\sin{B}\sin{C}\\ a\cos{B}&=&b\cos{A}\end{array}\right.\end{eqnarray*}$

第3問の解説

$\triangle ABC$ の外接円の半径をとすると、正弦定理

$\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$

が成り立ちます。この定理から

$\displaystyle \sin{A}=\frac{a}{2R},\ \sin{B}=\frac{b}{2R},\ \sin{C}=\frac{c}{2R}$

成り立ちますので、これを第の式に代入して整理すると

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc$ …①

が成り立ちます。

また、余弦定理

$\displaystyle \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc},\ \cos{B}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ca}$

を用いると $a^{2}=b^{2}$ が導かれます。

$a\gt 0$ かつ $b\gt 0$ ですので、 a=b …②であることが言えます。

②を①に代入すると

$b^{2}=b^{2}+c^{2}-bc$

が成り立ちますが、この式を変形すると

c(b-c)=0

が成り立ちます。

$c\not= 0$ ですので、 b=c …③であることが言えます。

②と③から $\triangle ABC$ は正三角形であることがわかります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

鋭角三角形 ABC において、頂点 $B,\ C$ から辺 $AC,\ AB$ へ垂線 $BH,\ CK$ を引く。とが平行であるとき、 $\triangle ABC$ は AB=AC となる二等辺三角形であることを証明せよ。

第4問の解説

問題文の図形を図に表すと次のようになります。

$\triangle AKC$ と $\triangle AHB$ は $\angle A$ を共有する直角三角形ですので

$\angle KCA=\angle HBA$

であることがわかります。

また、 $\angle BKC=\angle BHC=90^{\circ }$ ですので、円周角の定理より点 $B,\ C,\ H,\ K$ はを直径とする円の円周上にあります。

よって、円周角の定理より $\angle KHB=\angle KCB$ が成り立ちます。

KH//BC のとき、錯角の大きさは等しいので $\angle KHB=\angle HBC$ となります。

以上のことを踏まえると

$\begin{eqnarray*} \angle ABC&=&\angle HBA+\angle HBC\\ &=&\angle KCA+\angle KCB\\ &=&\angle ACB\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\triangle ABC$ は AB=AC の二等辺三角形であることが示されます。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

方程式 |x(x-1)|=m(x+1) の実数解が個となるとき、次の設問に答えよ。

(1)定数の値を求めよ。

(2)個の実数解を求めよ。

第5問の解説

曲線 y=|x(x-1)| と直線 y=m(x+1) の交点が個となるようなの値を求めることが目標となります。

図で表すと、下のような状態になります。

図を見ると $0\lt x\lt 1$ の範囲で曲線と直線が接していることがわかります。

ですので、の方程式 -x(x-1)=m(x+1) が $0\lt x\lt 1$ で接するようなの値を求めれば良いです。

方程式 -x(x-1)=m(x+1) の判別式をとすると、方程式を整理すると

$x^{2}+(m-1)x+m=0$

となりますので

$\begin{eqnarray*} D&=&(m-1)^{2}-4m\\ &=&m^{2}-6m+1\end{eqnarray*}$

となります。この方程式を解くと $m=3\pm 2\sqrt{2}$ となります。

それぞれのときの接点の座標を求めると

$m=3+2\sqrt{2}$ のとき $x=-1-\sqrt{2}$ となり、これは $0\lt x\lt 1$ を満たしていません。

$m=3-2\sqrt{2}$ のときは $x=-1+\sqrt{2}$ で $0\lt x\lt 1$ を満たしています。

したがって、求めるの値は $m=3-2\sqrt{2}$ となります。

このとき、方程式 $|x(x-1)|=(3-2\sqrt{2})(x+1)$ の解は $x=-1+\sqrt{2}$ の他に

$x(x-1)=(3-2\sqrt{2})(x+1)$

を解いて $x=2-2\sqrt{2}\pm (\sqrt{6}-\sqrt{3})$ となります。（計算は以下のようになります）

次方程式は $x^{2}-(4-2\sqrt{2})x-(3-2\sqrt{2})=0$ と整理されるので

$\begin{eqnarray*} x&=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{(2-\sqrt{2})^{2}-\{ -(3-2\sqrt{2})\} }\\ &=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{6-4\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}}\\ &=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{9-6\sqrt{2}}\\ &=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{9-2\sqrt{18}}\\ &=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{(6+3)-2\sqrt{6\cdot 3}}\\ &=&(2-\sqrt{2})\pm \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^{2}}\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第6問）

第6問

赤球個、白球 (100-n) 個の合計 100 個が入った袋の中から、よくかき混ぜてから個の玉を取り出す。このとき、取り出される赤球の数が個になる確率が最も高くなるようにの範囲を求めよ。

第6問の解説

赤玉が個取り出される確率は $\displaystyle \frac{_{n}C_{5}\times _{(100-n)}C_{5}}{_{100}C_{10}}$ です。

この値を $P_{n}$ とすると

$\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}=\frac{(n+1)(95-n)}{(n-4)(100-n)}$

となります。

この値がより大きければ $P_{n}\lt P_{n+1}$ 、より小さければ $P_{n}\gt P_{n+1}$ となりますので、 $\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}\gt 1$ を満たす最大の自然数がわかれば、 $P_{n+1}$ が最大値となります。

解く不等式は $-n^{2}+94n+95\gt -n^{2}+104n-400$ ですので、この不等式を解くと $n\lt 49.5$ となります。

したがって、 $P_{50}$ が最大となりますので、求めるの値はとなります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

終盤の２問の計算が非常に大変でした。

５問目には二重根号、６問目は文字式を含む分数の計算がありました。

工夫すれば計算量は減らせますが、思いつかないと時間がかかってしまうものです。

入試本番では時間に制約があるので、訓練をして時間短縮が図れるようにしておきたいですね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

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目次

今回の問題

問題

問1

問2

問3

問4

平行四辺形の性質

2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しいことの証明

とが合同であることの証明

2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しいことの証明

とが合同であることの証明

2本の対角線がそれぞれの中点で交わることの証明

とが合同であることの証明

平行四辺形の性質を導くのに用いたもの

平行四辺形の性質から導かれるもの

平行四辺形の4つの辺の長さはすべて等しいか？

平行四辺形の向かい合う角の大きさの和は必ずか？

平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は必ずか？

平行四辺形の2本の対角線の長さは必ず等しいか？

検証結果

平行四辺形になる条件〜定理と定義の違い〜

「定義」と「定理」の違い

2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形

証明

2組の向かい合う角の大きさがそれぞれ等しい四角形は平行四辺形

証明

2本の対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形

証明

1組の向かい合う辺が平行でかつ長さが等しい四角形は平行四辺形

証明

特別な平行四辺形

正方形

長方形

ひし形

等脚台形

平行四辺形ではなかったのは？

まとめ

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目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

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目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ が合同であることの証明

$\triangle BCD$ と $\triangle DAB$ が合同であることの証明

$\triangle ABO$ と $\triangle CDO$ が合同であることの証明

平行四辺形の向かい合う角の大きさの和は必ず $180^{\circ }$ か？

平行四辺形の隣り合う角の大きさの和は必ず $180^{\circ }$ か？