Dimensionen: Verhältnisse bei Fläche und Raum berechnen

Name: Dimensionen: Verhältnisse bei Fläche und Raum berechnen
Author: Jürgen Kummer

Rechner für Verhältnisse bei Größen mit mehreren Dimensionen: Fläche (2D), Raum (3D) und Fraktale. Wenn man bei einem eindimensionalen Gebilde, wie einer Strecke, die Größe verdoppelt, dann verdoppelt sich deren Länge. Aus einem Meter werden zwei. Verdoppelt man die Größe eines zweidimensionalen Gebildes, eine Fläche, dann vervierfacht sich der Flächeninhalt, aus einem Quadratmeter werden vier. Verdoppelt man die Größe eines dreidimensionalen Gebildes, einen Raum, dann verachtfacht sich der Rauminhalt, aus einem Quadratmeter werden acht.

Die Formel lautet: neues Maß = altes Maß * Vervielfachung^Dimension

n = a * v^d a = n / v^d v = ^d√ n/a d = log_v( n/a )

Das Verdoppeln der Größe von Linie, Fläche und Raum:
Verdoppeln von Linie, Fläche, Raum

Die Welt in der wir leben hat drei Dimensionen des Raumes. Der Mathematik allerdings ist das völlig egal, die Rechnung gilt für beliebig viele Dimensionen, wobei für mehr Dimensionen die Zahlen schnell sehr groß werden können. Auch das Vorstellungsvermögen versagt im Allgemeinen bei mehr als drei Dimensionen, da unsere sämtlichen Erfahrungen in unserer dreidimensionalen Welt gemacht werden. Tatsächlich gibt es physikalische Theorien mit mehr Dimensionen des Raumes, bei der die zusätzlichen Dimensionen allerdings auf einen winzigen Raum aufgewickelt sind. Ein Beispiel ist die elfdimensionale Supergravitation. Dies sind aber bislang nur Modelle, deren Bezug zur Realität weder bewiesen noch widerlegt wurde.

Jedes geometrische Objekt besitzt eine Hausdorff-Dimension, welche für viele bekannte Objekte dem üblichen Dimensionsbegriff entspricht. Es gibt aber auch Objekte mit gebrochener Hausdorff-Dimensionen, diese Objekte nennt man Fraktale. Ein Beispiel ist die Koch-Kurve, die bei einer Verdreifachung ihre Maße vervierfacht. Die Hausdorff-Dimension ist in diesem Fall ln(4)/ln(3) = 1.261859507142915. Fraktale sind nützliche Gebilde der Mathematik, die durchaus ihre Anwendung haben. Die unendlich feine Untergliederung allerdings, welche die Fraktale haben, ist in der Realität nicht möglich, sie existiert nur in mathematischen Modellen.

Altes Maß:
Vervielfachung:
Dimension:
Neues Maß: