Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych ${\mathcal {B}}(H)$ na pewnej przestrzeni Hilberta $\,H\,$, która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w $\,{\mathcal {B}}(H)\,$, a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę $\,A\,$, która maja wierną (różnowartościową) reprezentację $\,(\pi ,H)\,$ na przestrzeni Hilberta $\,H\,$ o tej własności, iż obraz $\,\pi (A)\subseteq {\mathcal {B}}(H)\,$ jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Podstawowe własności

• Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
• Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
• Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
• Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru $A\subseteq {\mathcal {B}}(H)$ symbol $A'$ oznacza komutant zbioru $A,$ tj. zbiór $\,\{x\in {\mathcal {B}}(H):\forall a\in A(xa=ax)\}\,$. Analogicznie, $A''$ oznacza drugi komutant zbioru $A,$ tj. komutant komutanta $A'.$

Niech $M$ będzie pod-*-algebrą ${\mathcal {B}}(H)$ zawierającą operator identyczności $I.$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. $\,M=M''\,$
2. $M$ jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. $M$ jest algebrą von Neumanna);
3. $M$ jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
4. $M$ jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności $\mathbf {N} (H){\text{*}}={\mathcal {B}}(H),$ gdzie $\mathbf {N} (H)$ oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na $H.$

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady

• Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów ${\mathcal {B}}(H)$ na dowolnej przestrzeni Hilberta $H$ są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
• Niech $\mu$ będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą $\sigma$-skończoną) na przestrzeni mierzalnej $X.$ Wówczas przestrzeń H = L₂(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z $L_{\infty }(\mu ),$ tj. każdej funkcji $f\in L_{\infty }(\mu )$ odpowiada operator (ograniczony) $T_{f}\in {\mathcal {B}}(L_{2}(\mu ))$ dany wzorem $T_{f}g=fg.$ Rodzina wszystkich operatorów mnożenia $T_{f}$ jest przemienną podalgebrą ${\mathcal {B}}(L_{2}(\mu )),$ która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę $L_{\infty }(\mu )$ z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci $L_{\infty }(\mu )$ dla pewnej miary lokalizowalnej $\mu .$
• Dla dowolnej C*-algebry $A\subseteq {\mathcal {B}}(H)$ jej drugi komutant $A''$ jest algebrą von Neumanna.
• Jeżeli $A$ jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona $A{\text{**}}$ (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra $A{\text{**}}$ jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla $A$ w następującym sensie: Niech $(\pi ,H)$ będzie reprezentacją $A$ na przestrzeni Hilberta $H$ oraz niech $M(\pi )$ oznacza algebrę von Neumanna $\pi (A)''.$ Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe $\Pi {:}$ $A{\text{**}}\to M(\pi )$ o następujących własnościach: $\pi =\Pi \kappa ,$ gdzie $\kappa {:}$ $A\to A{\text{**}}$ jest kanonicznym zanurzeniem $A$ w $A{\text{**}};$ $\Pi$ jest $\sigma (A{\text{**}},A{\text{*}})$ / $\sigma$-weak ciągłe; $\Pi (B_{A{\text{**}}})=B_{M(\pi )}.$ W szczególności, jeżeli $(\pi ,H)$ jest uniwersalną reprezentacją algebry $A$ (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na $A$), to $A{\text{**}}$ jest *-izomorficzna z $\pi (A)''.$
• Hiperskończony faktor typu II₁ $R.$

Typy

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

• Typ I: $M$ jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci

$\,\textstyle \prod _{j\in J}A_{j}\,{\overline {\otimes }}\,{\mathcal {B}}(H_{j})\,$

gdzie dla każdego $j$ algebra $A_{j}$ jest przemienną algebrą von Neumanna oraz $H_{j}$ jest pewną przestrzenią Hilberta $(j\in J).$

• Typ II₁ : $\,M\,$ jest typu II₁, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego $0<x\in M$ istnieje taki normalny śladowy stan $\,\phi \in M{\text{*}}\,$, że $\,\phi (x)>0\,$.
• Typ $\,{\text{II}}_{\infty }\,$: $\,M\,$ jest typu $\,{\text{II}}_{\infty }\,$, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II₁ oraz istnieje rosnąca sieć rzutów $(p_{i})\subset M,$ zbieżna do $1_{M}$ w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego $i$ algebra $\,p_{i}Mp_{i}\,$ jest typu II₁.
• Typ III: $M$ jest typu III, gdy nie jest typu I, II₁ ani typ $\,{\text{II}}_{\infty }\,$.

Każda algebra von Neumanna $M$ rozkłada się na sumę

$\,M=M_{\mathrm {I} }\oplus M_{\mathrm {II} _{1}}\oplus M_{\mathrm {II} _{\infty }}\oplus M_{\mathrm {III} }\,$

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Linki zewnętrzne

• Von Neumann algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].