Massamiddelpunt

Massamiddelpunt van een systeem van vier punten van verschillende massa

Het massamiddelpunt, gemeenschappelijk zwaartepunt of massacentrum van een groep puntmassa's wordt bepaald door het gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren van de afzonderlijke zwaartepunten. De weegfactor is de massa. Het massamiddelpunt kan ook barycentrum worden genoemd, maar dat is een anglicisme.

Berekening

Voor een stelsel van $n$ materiële massapunten $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}$ met plaatsvectoren $\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\ldots ,\mathbf {r_{n}}$ wordt de plaatsvector van het massamiddelpunt berekend met de formule

$\mathbf {r} _{C}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r_{i}} }{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}$

Daarin is de noemer de totale massa $M$ van de objecten:

$M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$

Voor een massa die op continue wijze verdeeld is over een volume $V$ in de ruimte met een dichtheid $\rho$, eventueel afhankelijk van de plaats, kan de sommatie door een integraal worden vervangen:

$\mathbf {r} _{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}\mathbf {r} \ \mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int _{V}\mathbf {r} \rho \ \mathrm {d} V$,

waarbij $M$ weer de totale massa is, bepaald door

$M=\int _{M}\ \mathrm {d} m=\int _{V}\rho \ \mathrm {d} V$,

met $\mathrm {d} m=\rho \mathrm {d} V$.

In de $\mathbb {R} ^{3}$ worden de coördinaten van het massamiddelpunt bepaald door:

$x_{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}x\ \mathrm {d} m$

$y_{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}y\ \mathrm {d} m$

$z_{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}z\ \mathrm {d} m$

Van een homogeen lichaam, dus met constante massadichtheid, valt het massamiddelpunt samen met het meetkundige zwaartepunt.

Eigenschap

De krachten op een lichaam, stelsel lichamen of stelsel puntmassa's zijn te verdelen in krachten die het geheel doen bewegen en die het doen roteren. Het massamiddelpunt ervan beweegt alsof alle krachten daar aangrijpen en alle massa daar is geconcentreerd.

Voetnoten