現在２０２３年８月２０日１８時２６分である。（この投稿は、ほぼ２８９１文字）
麻友「『ツォルンの補題』って、何度も出て来てるわよね」
若菜「選択公理と、同値とか。まだ、証明に拘っているんでしょうかね？」
私「実は、２年ほど前と去年、こういう投稿を、している」
強い力と、ツォルンの補題、リーマン予想などについて、長い投稿だが、
と、実際に証明を載せた、
結弦「ああ、覚えているよ。それで、今日は、何の話？」
私「ひとつの本で、証明してあるのに、その証明が分からない、というのは、その先を読んでいく上で、気持ちが悪いんだよ」
麻友「その気持ちは、分かるけど、分からないものは、しょうがないのでは？」
若菜「お父さんは、その『集合と位相』という本を、今でも読んでいるの？」
私「うん。集合より、位相の方に移っているけど、読んでる」
結弦「他の本で、証明を、補えないの？」
私「ブルバキの『集合論２』で、２６ページにある 定理２ というのが、一応ツォルンの補題だ」
結弦「じゃあ、それを写してでも、理解したら？」
私「定理２は、命題４から、得られるとあって、命題４を、写し始めた。『半ページだから、大丈夫かな？』と思っていたら、『補題３を適用すれば』とあり、補題３を、見に行ったら、１ページちょっともある。さらに、『命題３が適用でき』となってて、『集合と位相のノート１１』に、
６１８ページ
研究者の言葉
駄目だ。ブルバキも、同じ位、長い証明をしている。選択公理からツォルンの補題を証明するのは、簡単なことではないんだ。
言葉終
と、昨日書いて、その後、割合早く寝た」
麻友「早くって、どれくらい？」
私「２０時５４分に、寝る前の薬を飲んでいる」
麻友「今日は、何時に起きたの？」
私「１０時２８分に、起きている」
若菜「１０時間以上、寝たということですか？」
私「寝る前に、『明日は、これをやるぞ』と、机の上に、『集合と位相』を置いておいた」
麻友「起きて、それ持って、マックへ、行ったんだ」
私「そう」
麻友「私達の前で、レポーターとして、説明するっていうのなら、教科書２ページくらいなら、付き合ってあげるわよ。でも、ちゃんと、説明してよね」
私「やってみよう。まず、いくつか、言葉の定義をする。
定義 順序
順序とは、ある集合の元、 について、
や、
が、成り立ったり成り立たなかったり、ということが、決まっていて、
反射律
かつ
ならば、
反対称律
かつ
ならば、
推移律
の３つが、成り立つものだ。
結弦「前にも似たようなこと、やった」
私「同じようなことを、数学では、繰り返してる。順序というのは、大小関係なら、 ，
だから、
みたいに、なってるとかね。分かっていることは、聞き流していて。それで、順序のうち、
定義 全順序
全順序とは、ある集合の元、 について、それが順序の性質を持ち、さらに、
任意の について
または、
が、成り立つ 全順序性
の性質を、持つものとする。
麻友「全順序でない、順序というのの、例を、見たいわ」
私「こういうとき、良く使われるのは、集合の包含関係なんだ。例えば、 という集合を、その部分集合全部、書き上げてみよう。はい、若菜」
若菜「えっ、いきなり。でも、部分集合？ ということは、 かな？」
結弦「そうすれば、良いのか。じゃあ、,
も、あり？」
麻友「分かったわよ。,
,
も、あるわね？」
私「そう。ところで、これを、部分集合の、『』を、上の『
』 と見て、順序つけてご覧？」
若菜「例えば、私の、 は、
ですよね」
私「そう。以後、 に、書き換えなくてもいいや。それで、若菜が、言ったので、さらに、
だろう」
結弦「そうだね。全部、こうやって、並ぶのかな？」
麻友「そう、ならない。 と、
は、比べられない」
私「そう。実は、 と
も、比べられないんだ」
麻友「これが、全順序でない順序の例ね」
私「部分集合を全部、書き上げてみようと言ったのだけど、まだ上がっていない集合が、１つあるんだ」
結弦「 から
以外を、使うの？」
若菜「あっ、空集合だ。今解いている『集合論問題ゼミ』の ですね」
私「その通り。タイムリーだったね」
私「昨日、早く寝たヵら、ばく進できたのかも知れない。今日も、早く寝ることにするよ」
若菜・結弦「おやすみなさーい」
麻友「おやすみ」
私「おやすみ」
現在２０２３年８月２０日２１時１５分である。おしまい。
