Math & Codingとは

数学とプログラミングのスキルを向上させたい方が集い学び合う場です。
難しい概念や技術も、シンプルな例で確認したりメンバーが対話することで本質的な理解を得られると考えます。
本グループは、そのようなことができるようなコミュニティとなることを目指します。
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進め方

代数学1　群論入門(第2版 雪江明彦)を教科書にしておりましたが、読み切りました。現在は参加者それぞれ一つテーマをえらび発表形式の勉強会をしております。

今回の発表内容
バナッハ-タルスキーのパラドックスの証明
タルスキーの円積問題の (選択公理を用いない) 構成的解決

バナッハ-タルスキーのパラドックスについてはWikipediaに証明の概略があります。完全な証明としてはたとえばRIMSの小澤登高先生の講義資料があります。私の発表は、小澤先生の資料も参考にしつつ、"Lectures on amenability"という本に載っている証明を紹介します。

タルスキーの円積問題については、Marks-Ungerによる2017年の論文にもとづいて、証明の概要を説明するつもりでいます。

両者に共通するのは群の「従順性 (amenability)」という概念です。バナッハ-タルスキーのパラドックスにおいては、自由群F2が従順でないこと (ひいてはそれを部分群にもつSO(3)が従順でないこと) がパラドキシカルな状況を生み出しています。一方、タルスキーの円積問題では、従順群であるZ^dの作用が重要です。

次回の時点ではタルスキーの円積問題について完成した資料を用意するのが間に合わない可能性がありますが、少なくともバナッハ-タルスキーのパラドックスについては完全な証明を与えるつもりです。

参考文献
Wikipedia (バナッハ-タルスキー): https://ja.wikipedia.org/wiki/バナッハ＝タルスキーのパラドックス
Wikipedia (タルスキーの円積問題): https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski's_circle-squaring_problem
小澤先生の資料: https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-ozawa.pdf
"Lectures on amenability": https://link.springer.com/book/10.1007/b82937
Marks-Ungerの論文: https://annals.math.princeton.edu/2 017/186-2/p04

追記: Marks-Ungerは解の構成に数理最適化の手法 (最大流問題への帰着) を用いていて、個人的にはここも激アツなポイントなので、ぜひ紹介したいと思っています。

準備

こちらのZoomというオンラインミーティングのアプリを利用します。
開始前までにインストールしてください。
https://zoom.us/jp-jp/meetings.html
開始時刻までに勉強会に参加可能なURLをconnpass登録メールアドレスにお送りします。

途中で休憩があります。

対象者

数学が好きな方
議論したり演習問題を解いたりしながら数学を学びたい方。
群論についてじっくりと理解しながら進めていきたい方。