题目
1. 设 $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, $S = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} H_n$. 则 $\lfloor 100S \rfloor =$.
2. 设 $S = \lim_{n \to \infty} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{n} \right) \right]^n$ . 求 $\lfloor 100S \rfloor = $.
3. $\{1,2,...,2025\}$ 中有（）个自然数 $x$，使得 $x$ 与某个整数的平方模 2025 余数相同。
4. $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$，则 $\text{tr}(A^{100})$ 模 72 的余数为（）.
5. 设 $A = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \max\{x+y, x+z, y+z\} dx dy dz$，则 $\lfloor 100A \rfloor = $
6. $\mathbb{R}^3$ 中有两条夹角为 $30^\circ$ 的直线 (交点为 $O$)，以两条直线为中心轴作半径为 1 的圆柱 $V_1, V_2$, $V_1 \cap V_2 = V$. 求 $\lfloor 100 |V| \rfloor = $ .
7. 已知 $y'(x) = \prod_{k=1}^5 (y(x) - k^2)(y(x) + k^2)$, 且 $y(0)=12$, 记 $I = \lim_{t \to +\infty} y(t)$, 则 $\lfloor 100I \rfloor = $ __________.
8. 设 $v_1, \cdots, v_{100}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的单位列向量, $\sum_{1 \le i<j \le 100} \det(2I_3 - v_i v_j^T)$ 的最大值为 $S$. 则 $\lfloor S \rfloor = $ __________.
9. $\{A \in M_{10}(\mathbb{R})|AA^T=A^{10}=I_{10}\}$ 互不相似的矩阵有（）种.
10. 设 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{2}{n^2}$, 则 $\lfloor 100S \rfloor = $ __________.
11. 令 $f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \cos(nx)$, $A = \int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx$, 则 $\lfloor 100A \rfloor = $ __________.
12. $A_7$ 中的共轭类的个数为（）
13. $g(x) = |\{x\} - \frac{1}{2}|$, 令 $A = \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \exp(x)g(nx)dx$, 则 $\lfloor 100A \rfloor = $ __________.
14. $\mathbb{GL}_3(\mathbb{F}_5)$ 中有（）个二阶元.
15. 对于 $i \in \mathbb{N}_+, 1 \leq i \leq 2^n$, 记 $S_i \subseteq \{0, 1, \ldots, n-1\}$ 使得 $i = 1 + \sum_{a_i \in S_i} 2^{a_i}$. 记 $2^n$ 阶矩阵 $M_n := (a_{ij})$, 其中 $a_{ij} = (-1)^{|S_i \cap S_j|}$, 则 $\lfloor |\log_2 |\log_2 M_{2025}|| \rfloor = $.
参考答案
设 H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}, S = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} H_n. 则 \lfloor 100S \rfloor =138.
设 S = \lim_{n \to \infty} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{n} \right) \right]^n . 求 \lfloor 100S \rfloor = 738.
\{1,2,...,2025\} 中有 (341) 个自然数 x，使得 x 与某个整数的平方模 2025 余数相同。
A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}，则 \text{tr}(A^{100}) 模 72 的余数为 （34）.
设 A = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \max\{x+y, x+z, y+z\} dx dy dz，则 \lfloor 100A \rfloor = 125
\mathbb{R}^3 中有两条夹角为 30^\circ 的直线 (交点为 O)，以两条直线为中心轴作半径为 1 的圆柱 V_1, V_2, V_1 \cap V_2 = V. 求 \lfloor 100 |V| \rfloor = 1066 .
已知 y'(x) = \prod_{k=1}^5 (y(x) - k^2)(y(x) + k^2), 且 y(0)=12, 记 I = \lim_{t \to +\infty} y(t), 则 \lfloor 100I \rfloor = 1600 .
设 v_1, \cdots, v_{100} 是 \mathbb{R}^3 中的单位列向量, \sum_{1 \le i<j \le 100} \det(2I_3 - v_i v_j^T) 的最大值为 S. 则 \lfloor S \rfloor = 39800 .
\{A \in M_{10}(\mathbb{R})|AA^T=A^{10}=I_{10}\} 互不相似的矩阵有 （378） 种.
设 S = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan\frac{2}{n^2}, 则 \lfloor 100S \rfloor = 235 .
令 f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \cos(nx), A = \int_0^{2\pi} |f(x)|^2 dx, 则 \lfloor 100A \rfloor = 733.
A_7 中的共轭类的个数为 （9） .
g(x) = |\{x\} - \frac{1}{2}|, 令 A = \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \exp(x)g(nx)dx, 则 \lfloor 100A \rfloor = 42 .
\mathbb{GL}_3(\mathbb{F}_5) 中有 （1551） 个二阶元.
对于 i \in \mathbb{N}_+, 1 \leq i \leq 2^n, 记 S_i \subseteq \{0, 1, \ldots, n-1\} 使得 i = 1 + \sum_{a_i \in S_i} 2^{a_i}. 记 2^n 阶矩阵 M_n := (a_{ij}), 其中 a_{ij} = (-1)^{|S_i \cap S_j|}, 则 \lfloor |\log_2 |\log_2 M_{2025}|| \rfloor =2034（存疑）.
结果
好像对reasoning模型都没难度啊，人类做题开始比不上reasoning了（bushi)
以下测试结果以api为主
| 模型 | 题目依次测试的错误题目 | 单次一起测试的错误题目 |
|---|---|---|
| Gemini 2.5 Pro | 无 | 无 |
| Gemini 2.5 Flash Thinking | 无 | 3，5，7，9 |
| Grok3 mini | 无 | 4，5， 6，9， 11，12，14 |
| o3 | 无 | 无 |
| o4m | 无 | |
| DeepSeek R1 | 3，9，12 | 3，11，14 |
| DeepSeek V3-0324 | 3，7，9 | |
| 豆包 1.5 thinking pro | 无 | 3，5，9，15 |
| 元宝（深度思考） | 3，9，14，15 | 3，9，14，15 |
