从考研数学一2025真题解析Markdown校对版继续讨论：
真题
选择题 1~10 小题 每小题10分 共50分
1．
已知函数 f(x)=\int_{0}^{x} e^{\cos t}\,\mathrm{d}t，g(x)=\int_{0}^{\sin x} e^{t^{2}}\,\mathrm{d}t，则
（A） f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数.
（B） f(x) 为偶函数，g(x) 为奇函数.
（C） f(x) 与 g(x) 均为奇函数.
（D） f(x) 与 g(x) 均为偶函数.
2．
设 P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z) 均为连续函数，\Sigma 为曲面 z=\sqrt{1-x^2-y^2} （ x\geqslant 0, y\geqslant 0 ）的上侧，则
\iint_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x=
（A） \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
（B） \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
（C） \iint_{\Sigma}\left(\frac{x}{z}P-\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
（D） \iint_{\Sigma}\left(-\frac{x}{z}P-\frac{y}{z}Q\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
3．
已知幂级数 \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的和函数为 \ln(2+x)，则 \sum_{n=0}^{\infty} n a_{2n}=
（A） -\frac{1}{6}
（B） -\frac{1}{3}
（C） \frac{1}{6}
（D） \frac{1}{3}
4．
设函数 f(x) 在区间(-1,1) 内有定义， \lim _{x \to 0} f(x) = 0 ，则
（A）当 \lim _{x \to 0}{\frac{f(x)}{x}} = m 时， f ^{\prime} ( 0 ) = m
（B）当 f ^{\prime} ( 0 ) = m 时， \lim _{x \to 0}{\frac{f(x)}{x}} = m
（C）当 \lim _{x \to 0} f ^{\prime} ( x ) = m 时， f ^{\prime} ( 0 ) = m
（D）当 f ^{\prime} ( 0 ) = m 时， \lim _{x \to 0} f ^{\prime} ( x ) = m
5．
在空间直角坐标系 O - x y z 中，三张平面 \pi _{i} : a _{i} x + b _{i} y + c _{i} z = d _{i} (i = 1 , 2 , 3 ) 位置关系如图所示, 记 \pmb{\alpha} _{i} = ( a _{i} , b _{i} , c _{i} ) , \pmb{\beta} _{i} = ( a _{i} , b _{i} , c _{i} , d _{i} ) ,若 r \left( \begin{array}{l}{\pmb{\alpha} _{1}} \\ {\pmb{\alpha} _{2}} \\ {\pmb{\alpha} _{3}} \end{array} \right) = m , r \left( \begin{array}{l}{\pmb{\beta} _{1}} \\ {\pmb{\beta} _{2}} \\ {\pmb{\beta} _{3}} \end{array} \right) = n , 则
（A） m = 1 , n = 2
（B） m = n = 2
（C） m = 2 , n = 3
（D） m = n = 3
6．
设向量 \alpha_{1}=\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}，\alpha_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{pmatrix}，\alpha_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}。若 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则
（A） a = 1, b \ne -1
（B） a = 1, b = -1
（C） a \ne -2, b = 2
（D） a = -2, b = 2
7．
设 \pmb{A} 是秩为 2 的 3 阶矩阵, \pmb{\alpha} 是满足 \mathbf{A} \mathbf{\alpha} {=} \mathbf{0} 的非零向量，若对满足 \pmb{\beta} ^ {\mathrm{T}} \pmb{\alpha} = \pmb{0} 的任意向量 \pmb{\beta} ，均有 A {\pmb \beta} = {\pmb \beta} ，则
（A） A ^{3} 的迹为 2.
（B） A ^{3} 的迹为 5.
（C） A ^{5} 的迹为 7.
（D） A ^{5} 的迹为 9.
8．
设随机变量 X 与 Y 相互独立，X\sim N(0,2)，Y\sim N(-2,2)。若 P{2X+Y<a}=P{X>Y}，则 a=
（A） -2-\sqrt{10}
（B） -2+\sqrt{10}
（C） -2-\sqrt{6}
（D） -2+\sqrt{6}
9．
设随机变量 X 的概率密度为
f(x)=\begin{cases}2(1-x),&0<x<1\\\\0,&\text{其他.}\end{cases}
在 X=x 的条件下，Y 在区间 (x,1) 上服从均匀分布，则 \operatorname{cov}(X,Y)=
（A） -\frac{1}{36}
（B） -\frac{1}{72}
（C） \frac{1}{72}
（D） \frac{1}{36}
10．
设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从参数为 \lambda 的指数分布，令 Z=|X-Y|，则下列随机变量与 Z 同分布的是
（A） X+Y
（B） \frac{X+Y}{2}
（C） 2X
（D） X
填空题 11-16 小题 每小题 5 分 共30分
11．
若 \lim_{x\to 0}\frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6，则 a=\underline{\qquad}.
12．
设 z=f(u,v) 有二阶连续导数，且在 (1,1) 处 \mathrm{d}f=3\,\mathrm{d}u+4\,\mathrm{d}v。若 y=f(\cos x,\,1+x^2)，则 \left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x=0}=\underline{\qquad}.
13．
若函数 f(x)=x+1，若 f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) （ x\in[0,\pi] ），则 极限
\lim_{n\to\infty} n^2\sin\, a_{2n-1}=\underline{\qquad}.
14．
微分方程 y'=\frac{1}{(x+y)^2}，满足条件 y(1)=0 的解为 \underline{\qquad}.
15．
设实矩阵 A=\begin{pmatrix}a+1&a\\a&a\end{pmatrix}，若对任意实向量 \alpha=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}，\beta=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}，不等式
(\alpha^{\mathsf T}A\beta)^2\le (\alpha^{\mathsf T}A\alpha)(\beta^{\mathsf T}A\beta)
都成立，则 a 的取值范围为 \underline{\qquad}.
16．
随机试验每次成功的概率为 p，现进行三次独立重复试验。已知在“至少成功一次”的条件下“全部成功”的概率为 \frac{4}{13}，则 p=\underline{\qquad}.
解答题 17~22 题 共70分
17．
（本题满分 10分）
已知平面区域 D = \{( x , y ) {\big |}{\sqrt{1 - y ^{2}}} \leq x \leq 1 , - 1 \leq y \leq 1 \} ,计算 \iint_{D} \frac{x}{\sqrt{x ^{2} + y ^{2}}} \mathrm{d} \sigma .
18．
（本题满分 12分）
设 f ( x , y ) = x ^{3} + y ^{3} - \left( x + y \right) ^{2} + 3 ，曲面 z = f ( {\boldsymbol{x}} , {\boldsymbol{y}} ) 在(1,1,1) 处的切平面为 T 与三个坐标面所围有界区域在xOy面的投影为 D .
（1）求 T 的方程
（2）求 f ( x , y ) 在 D 上的最大值和最小值
19．（本题满分 12 分）
设函数 f(x) 二阶可导，且满足
证明：
1）对任意 x\in[0,1]，有
2）有
20．
（本题满分 12分）
已知有向曲线 \pmb{L} 为球面 x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 2 x 与平面 2 x - z - 1 = 0 的交线从 z 轴正向往 z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
\int_{L} \left(6 x y z - y z ^{2}\right) d x + 2 x ^{2} z d y + x y z d z
21．
（本题满分 12分）
已知数列 \{x _{n} \} , \{y _{n} \} , \{z _{n} \} 满足 x _{0} = - 1 , y _{0} = 0 , z _{0} = 2 , 且 \left\{\begin{array}{c}{{x _{n} = - 2 x _{n - 1} + 2 z _{n - 1}}} \\ {{y _{n} = - 2 y _{n - 1} - 2 z _{n - 1}}} \\ {{z _{n} = - 6 x _{n - 1} - 3 y _{n - 1} + 3 z _{n - 1}}} \end{array} \right. , 记 \alpha _{n} = {\left\{\begin{array}{l l}{x _{n}} \\ {y _{n}} \\ {z _{n}} \end{array} \right\}} ，写出满足 \alpha _{n} = A \alpha _{n - 1} 的矩阵 A ，并求 A ^{n} 及 x _{n} , y _{n} , z _{n} ( n {=} 1 , 2 , \cdots ) .
22．
（本题满分 12分）
设 总 体 X \sim U ( 0 , \theta ) ， \theta 未 知 ， X _{1} , X _{2} \cdots X _{n} 为 简 单 随 机 样 本 ，X _ {_{( n )}} = \max ( X _ {_{1}} , X _ {_{2}} \cdots X _ {_{n}} ) , ~ T _{_ c} = c X _ {_{( n )}} .
（1）求 c 时，使得 T _{c} 为 \theta 的无偏估计.
（2）记 h ( c ) = E ( T _{c} - \theta ) ^{2} ，求 c 使得 h ( c ) 取最小值.
答案
1．
【答案】（C）
2．
【答案】（A）
3．
【答案】（A）
4．
【答案】（B）
5．
【答案】（B）
6．
【答案】（D）
7．
【答案】（A）
8．
【答案】（B）
9．
【答案】（D）
10．
【答案】（D）
11．
【答案】6
12．
【答案】5
13．
【答案】 -\frac{1}{\pi}
14．
【答案】 \arctan(x+y)=y+\frac{\pi}{4}.
15．
【答案】 a\ge 0
16．
【答案】 \frac{2}{3}
17．
【答案】 {\sqrt{2}} + \ln ( 1 + {\sqrt{2}} ) - 2
18．
【答案】切平面 x + y + z = 3 ；最大值 21，最小值 \frac{17}{27}
19．
【答案】（1）分别在 x = 0 及 x = 1 处使用泰勒公式展开.
（2）对于（1）结果两边同时积分.
20．
【答案】 \frac{4 \pi}{5 {\sqrt{5}}}
21．
【答案】
A ^{n} = \left( \begin{array}{c c c} - 4 + (- 1) ^{n + 1} 2 ^{n} & - 2 + (- 1) ^{n + 1} 2 ^{n} & 2 \\ 4 + (- 1) ^{n} 2 ^{n + 1} & 2 + (- 1) ^{n} 2 ^{n + 1} & - 2 \\ - 6 & - 3 & 3 \end{array} \right),
x _{n} = 8 + (- 2) ^{n},\; y _{n} = - 8 + (- 2) ^{n + 1},\; z _{n} = 12.
22．
【答案】（1） c = {\frac{n + 1}{n}} ；（2） c = {\frac{n + 2}{n + 1}}.
解析
一、选择题
2024年全国硕士研究生招生考试数学一解析
1. 答案选C.
解：e^{\cos t} 是偶函数，则 \int_{0}^{x}e^{\cos t}dt 是奇函数。由 g(x)=\int_{0}^{\sin x}e^{t^{2}}dt，则 g(-x)=\int_{0}^{\sin(-x)}e^{t^{2}}dt=\int_{0}^{-\sin x}e^{t^{2}}dt。令 t=-u 则 g(-x)=-\int_{0}^{\sin x}e^{u^{2}}du，于是 g(-x)=-g(x)，g(x) 是奇函数。
注：g(x)=\int_{0}^{\sin x}e^{t^{2}}dt 可以看作由 y(u)=\int_{0}^{u}e^{t^{2}}dt 和 u(x)=\sin x 复合而成。显然，u(x)=\sin x 是奇函数，于是 g(x) 的奇偶性与 y(u) 一致，是奇函数。另外，若 u(x) 是偶函数，则 g(x) 直接就是偶函数（此时与 y(u) 的奇偶性无关）。
2. 答案选A.
解：由转换投影公式，知
3. 答案选A.
解：\ln(2+x)=\ln\left(1+\frac{x}{2}\right)+\ln 2=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\frac{x}{2})^{n}}{n}=\ln 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 2^{n}}x^{n}, -2<x\le 2.
依题意，有 a_{0}=\ln 2, a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n\cdot 2^{n}}, n=1,2,\dots。进而 a_{2n}=\frac{(-1)^{2n-1}}{2n\cdot 2^{2n}}=-\frac{1}{2n\cdot 4^{n}}, n=1,2,\dots。则
4. 答案选B.
解：由 f^{\prime}(0)=m，有 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=m，有 \lim_{x\rightarrow 0}[f(x)-f(0)]=0，有 \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0，于是 f(0)=0。
此时 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=m.
5. 答案选B.
解：由题意可知，\pi_{1},\pi_{2},\pi_{3} 相交于一条直线，且不重合，于是方程组
无穷多解，且 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} 两两不相关。故 r\left[\begin{matrix}\alpha_{1}\\ \alpha_{2}\\ \alpha_{3}\end{matrix}\right]<3，
且 r(\alpha_{i},\alpha_{j})=2(i\ne j)，故 m=n=2。
6. 答案选D.
解：
因为 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 r(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\le 2，且 r(\alpha_{i},\alpha_{j})=2(i\ne j)，于是 r(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=2。
①当 a=1 时，与 \alpha_{3} 线性相关，不满足题意；
②当 a\ne 1 时，
要满足题意，则 a+2=0 且 -b(a+1)-2=0，即 \begin{cases}a=-2,\\ b=2.\end{cases}
7. 答案选A.
解：由 r(A)=2，则 Ax=0 只有一个线性无关的解，故特征值 \lambda_1=0 只有一个线性无关特征向量。
由 A\alpha=0=0\cdot\alpha,\alpha\ne 0，可知 \alpha 为 \lambda_{1}=0 的特征向量。
对3维非零列向量，且满足 \beta^{T}\alpha=0 （即与 \alpha 正交）的线性无关向量应当有两个（比如3维坐标系的三个坐标轴），设为 \beta_{1},\beta_{2}。由 A\beta_{i}=\beta_{i}=1\cdot\beta_{i},i=1,2，可知 \beta_{1},\beta_{2} 为特征值 \lambda_{2}=\lambda_{3}=1 的线性无关特征向量。进而 A 的全部特征值也是0, 1, 1 所以 tr(A)=0+1+1=2。
8. 答案选B.
解：E(2X+Y) = 2EX+EY = -2，D(2X+Y) = 4DX+DY = 4\times 2+2=10，则 2X+Y\sim N(-2,10)。同理，X-Y\sim N(2,4)。此时
且 P\{X>Y\}=P\left\{\frac{X-Y-2}{2}>\frac{0-2}{2}\right\}=1-\Phi(-1)=\Phi(1)，所以 \frac{a+2}{\sqrt{10}}=1，得 a=\sqrt{10}-2.
9. 答案选D.
解：由题意可知
于是 f(x,y)=f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases}2,&0<x<y<1,\\ 0,&\text{其他}\end{cases}
于是 Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY=\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{1}{36}.
10. 答案选D.
解：X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)=\begin{cases}\lambda^{2}e^{-\lambda(x+y)},&x>0,y>0,\\ 0,&\text{其他}\end{cases}
设Z的分布函数为 F_{Z}(z)，则 F_{Z}(z)=P\{|X-Y|\le z\}。
①当 z<0 时，F_{Z}(z)=0；
②当 z\ge 0 时，
所以 Z\sim E(\lambda)，从而Z与X服从相同的分布。
二、填空题
11. 答案填 6.
解：
所以 a=6。
12. 答案填 5.
解：由 df|_{(1,1)}=3du+4dv，则 f_1'(1,1) = 3, f_2'(1,1) = 4。由 y = f(\cos x, 1+x^{2})，则
当 x=0 时，\cos 0=1，故
13. 答案填 -\frac{1}{\pi}.
解：这是余弦级数，则
于是 a_{2n-1}=\frac{2}{(2n-1)^{2}\pi}[(-1)^{2n-1}-1]=-\frac{4}{(2n-1)^{2}\pi}。此时
14. 答案填 \arctan(x+y)=y+\frac{\pi}{4}.
解：令 u=x+y，则 y=u-x, y^{\prime}=\frac{du}{dx}-1。代入原方程，得 \frac{du}{dx}-1=\frac{1}{u^{2}} 于是
分离变量，得 \frac{u^{2}}{1+u^{2}}du=dx，两边积分，得 \int\frac{u^{2}}{1+u^{2}}du=\int dx，于是 u-\arctan u=x+C。回代，得
将 x=1,y=0 代入，得 C=-\frac{\pi}{4}，于是所求特解为 \arctan(x+y)=y+\frac{\pi}{4}.
15. 答案填 [0,+\infty).
解：由题意，A是实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使 Q^{T}AQ=\left[\begin{matrix}\lambda_{1}&0\\ 0&\lambda_{2}\end{matrix}\right]=\Lambda，故 A=Q\Lambda Q^{T}。
对任意 \alpha,\beta，有 (\alpha^{T}A\beta)^{2}\le (\alpha^{T}A\alpha)(\beta^{T}A\beta)，即 (\alpha^{T}Q\Lambda Q^{T}\beta)^{2}\le (\alpha^{T}Q\Lambda Q^{T}\alpha)(\beta^{T}Q\Lambda Q^{T}\beta) 成立。
记 Q^{T}\alpha=\alpha_{1}=\left[\begin{matrix}a_{1}\\ a_{2}\end{matrix}\right]，Q^{T}\beta=\beta_{1}=\left[\begin{matrix}b_{1}\\ b_{2}\end{matrix}\right]，则 (\alpha_{1}^{T}\Lambda\beta_{1})^{2}\le (\alpha_{1}^{T}\Lambda\alpha_{1})(\beta_{1}^{T}\Lambda\beta_{1})，即
展开后得：
于是 2\lambda_{1}\lambda_{2}a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\le\lambda_{1}\lambda_{2}a_{1}^{2}b_{2}^{2}+\lambda_{1}\lambda_{2}a_{2}^{2}b_{1}^{2}，即 \lambda_{1}\lambda_{2}(a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}-2a_{1}b_{1}a_{2}b_{2})\ge 0，也即 \lambda_{1}\lambda_{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}\ge 0。
由 \alpha,\beta 的任意性，可知 \lambda_{1}\lambda_{2}\ge 0，于是 |A|=\left|\begin{matrix}a+1&a\\ a&a\end{matrix}\right|=a^{2}+a-a^{2}=a\ge 0.
16. 答案填 \frac{2}{3}.
解：设事件A为3次试验全部成功，事件B为至少成功1次，则
于是 13p^{3}=4-4(1-p)^{3}，整理得 p(3p-2)(3p+6)=0，解得 p=\frac{2}{3}.
三、解答题
17. 解：
记 D_{1}=\{(x,y)|\sqrt{1-y^{2}}\le x\le 1,0\le y\le 1\}，则
18. 解：
(1) 因为 f(x,y)=x^{3}+y^{3}-(x+y)^{2}+3，所以
所以切平面的方程为 -(x-1)-(y-1)+(z-1)=0，即 x+y+z=3.
(2) 由(1)知，切平面与坐标平面所围有界区域在xOy平面上的投影为 D=\{(x,y)|0\le x\le 3,0\le y\le 3-x\}.
令 \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0，即
解得 \begin{cases}x=0,\\ y=0\end{cases} 或 \begin{cases}x=\frac{4}{3},\\ y=\frac{4}{3}.\end{cases}
当 (x,y)\in \{(x,y)|0\le x\le 3,y=0\} 时，f(x,0)=x^{3}-x^{2}+3,x\in[0,3]。令 \frac{d}{dx}[f(x,0)]=3x^{2}-2x=0，解得 x=0 或 x=\frac{2}{3}。
当 (x,y)\in \{(x,y)|0\le y\le 3,x=0\} 时，同理可得 y=0 或 y=\frac{2}{3}。
当 (x,y)\in \{(x,y)|0\le x\le 3,x+y=3\} 时，f(x,3-x)=x^{3}+(3-x)^{3}-6,x\in[0,3]。令 \frac{d}{dx}[f(x,3-x)]=3x^{2}-3(3-x)^{2}=0，解得 x=\frac{3}{2}。
综上，f(x,y) 在D上的可能最值点是 (0,0),(\frac{4}{3},\frac{4}{3}),(\frac{2}{3},0),(0,\frac{2}{3}),(3,0),(0,3),(\frac{3}{2},\frac{3}{2}).
又因为 f(0,0)=3,f(\frac{4}{3},\frac{4}{3})=\frac{17}{27},f(\frac{2}{3},0)=f(0,\frac{2}{3})=\frac{77}{27},f(3,0)=f(0,3)=21,f(\frac{3}{2},\frac{3}{2})=\frac{3}{4}，所以 f(x,y) 在D上的最大值为 21，最小值为 \frac{17}{27}.
19. 证：
(1) 因为 f(x) 具有2阶导数，当 x\in(0,1) 时，根据泰勒公式，存在 \xi_{1},\xi_{2}\in(0,1)，使得
可得
因为 f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)，两式相加得
又因为 |f^{\prime\prime}(x)|\le 1，所以当 x\in(0,1) 时，
(2) 因为 \int_{0}^{1}[f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x]dx=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{f(0)+f(1)}{2}，所以由定积分的性质和(1)
20. 解：
记曲线L在平面 2x-z-1=0 上所围部分为 \Sigma，上侧为正，由斯托克斯公式得
21. 解：
由题设得 \left[\begin{matrix}x_{n}\\ y_{n}\\ z_{n}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-2&0&2\\ 0&-2&-2\\ -6&-3&3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{n-1}\\ y_{n-1}\\ z_{n-1}\end{matrix}\right]，得矩阵 A=\left[\begin{matrix}-2&0&2\\ 0&-2&-2\\ -6&-3&3\end{matrix}\right] 满足 \alpha_{n}=A\alpha_{n-1}.
因为
所以矩阵的特征值为 \lambda_{1}=0,\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=-2.
从而得
当 \lambda_{1}=0 时，解方程组 (0E-A)x=0，得特征向量 \xi_{1}=\left[\begin{matrix}1\\ -1\\ 1\end{matrix}\right];
当 \lambda_{2}=1 时，解方程组 (E-A)x=0，得特征向量 \xi_{2}=\left[\begin{matrix}2\\ -2\\ 3\end{matrix}\right];
当 \lambda_{3}=-2 时，解方程组 (-2E-A)x=0，得特征向量 \xi_{3}=\left[\begin{matrix}-1\\ 2\\ 0\end{matrix}\right].
令 P=(\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3})=\left[\begin{matrix}1&2&-1\\ -1&-2&2\\ 1&3&0\end{matrix}\right]，则 P^{-1}AP=\left[\begin{matrix}0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-2\end{matrix}\right]，即
由递推式 \alpha_{n}=A\alpha_{n-1} 知 \alpha_{n}=A^{n}\alpha_{0}，其中 \alpha_{0}=\left[\begin{matrix}-1\\ 0\\ 2\end{matrix}\right]，所以
故 x_{n}=8+(-2)^{n},y_{n}=-8+(-2)^{n+1},z_{n}=12 \quad (n=1,2,\dots).
22. 解：
(1) X的分布函数为 F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\ \frac{x}{\theta},&0\le x<\theta,\\ 1,&x\ge\theta,\end{cases}
最大顺序统计量 X_{(n)} 的概率密度为
从而
故 E(T_{c})=E(cX_{(n)})=\frac{cn}{n+1}\theta，所以当 c=\frac{n+1}{n} 时，T_{c} 是 \theta 的无偏估计。
(2) 由(1)知
所以当 c=\frac{n+2}{n+1} 时，h(c) 最小。
