კომპლექსური რიცხვი

ქვესიმრავლობითი დამოკიდებულება ნატურალურ რიცხვებს (ℕ), მთელ რიცხვებს (ℤ), რაციონალურ რიცხვებს (ℚ), ნამდვილ რიცხვებსა (ℝ) და კომპლექსურ რიცხვებს (ℂ) შორის.

კომპლექსური რიცხვი ვიზუალურად შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც რიცხვთა წყვილი (a, b) რომელიც კომპლექსურ სივრცეში ადგენს ვექტორს. "Re" არის ნამდვილი ღერძი, "Im" არის წარმოსახვითი ღერძი, ხოლო i არის წარმოსახვითი ერთეული რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას i² = −1.

კომპლექსური რიცხვი — რიცხვი, რომელიც გამოისახება როგორც ჯამი $z=x+iy$, სადაც $x$ და $y$ ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო $i={\sqrt {-1}}$, რომელსაც წარმოსახვითი რიცხვი ეწოდება და მისი კვადრატი არის -1. კომპლექსური რიცხვები ნამდვილი რიცხვების გაფართოებაა.

$x$ უწოდებენ $z=x+iy$ კომპლექსური რიცხვის ნამდვილ, ხოლო $y$ წარმოსახვით ნაწილს. აღნიშნავენ $\operatorname {Re} (z)$ და $\operatorname {Im} (z)$ შემოკლებებით. მაგალითად, თუ $z=-3.5+2i$, მაშინ:

$\operatorname {Re} (z)=\operatorname {Re} (-3.5+2i)=-3.5\$

$\operatorname {Im} (z)=\operatorname {Im} (-3.5+2i)=2.\$.

რიცხვი წარმოსახვითია თუ y≠0 წინააღმდეგ შემთხვევაში რიცხვი ნამდვილი ხდება. კომპლექსურ რიცხვებთან დაკავშირებულ ტერმინებში, განსაკუთრებით ტრადიციული წარმოშობისა, კომპლექსური რიცხვის გაგების განვითარების რთულმა ისტორიულმა პროცესმა ჰპოვა ასახვა.

z = x + yi კომპლექსური რიცხვის აბსოლუტური სიდიდე (ასევე: მოდული, ამპლიტუდა) გამოითვლება როგორც შესაბამისი ვექტორის სიგრძე:

$\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი ანუ ფაზა წარმოადგენს კუთხეს რადიუსსა და რეალური ნაწილის ღერძს შორის, და ჩაიწერება როგორც $\arg(z)$. აბსოლუტური მნიშვნელობის მსგავსად, არგუმენტი მიიღება მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის $x+yi$ ფორმიდან შემდეგნაირად:

$\varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}$

როგორც წესი, არგუმენტი გამოისახება რადიანებში.