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Papers by Toufik Zaimi

Comments on Salem polynomials

Archiv der Mathematik, Apr 21, 2021

We strengthen a sufficient condition, due to R.S. Vieira, for a (reciprocal) polynomial $$R(x)=(x... more We strengthen a sufficient condition, due to R.S. Vieira, for a (reciprocal) polynomial $$R(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{1}^{-1})\cdots (x-\alpha _{s})(x-\alpha _{s}^{-1})\in \mathbb {Z} [x],$$ with degree at least 4, to have $$(2s-2)$$ zeros on the unit circle. Also, we show that R is a Salem polynomial if and only if there is a natural number n such that the polynomial $$(x-(\alpha _{1}^{n}+\alpha _{1}^{-n}))\cdots (x-(\alpha _{s}^{n}+\alpha _{s}^{-n}))$$ is a totally real Pisot polynomial not equal to $$x^{2}\pm x-1.$$

Comments on the height reducing property II

arXiv (Cornell University), Mar 28, 2014

A complex number α is said to satisfy the height reducing property if there is a finite set F ⊂ Z... more A complex number α is said to satisfy the height reducing property if there is a finite set F ⊂ Z such that Z[α] = F [α], where Z is the ring of the rational integers. It is easy to see that α is an algebraic number when it satisfies the height reducing property. We prove the relation Card(F) ≥ max{2, |Mα(0)|}, where Mα is the minimal polynomial of α over the field of the rational numbers, and discuss the related optimal cases, for some classes of algebraic numbers α. In addition, we show that there is an algorithm to determine the minimal height polynomial of a given algebraic number, provided it has no conjugate of modulus one.

On the distribution of powers of a Gaussian Pisot number

Indagationes Mathematicae, 2020

This is a PDF file of an article that has undergone enhancements after acceptance, such as the ad... more This is a PDF file of an article that has undergone enhancements after acceptance, such as the addition of a cover page and metadata, and formatting for readability, but it is not yet the definitive version of record. This version will undergo additional copyediting, typesetting and review before it is published in its final form, but we are providing this version to give early visibility of the article.

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure

Acta Arithmetica, 1996

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un c... more Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal P sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot (resp. de Salem) si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σP possède une unique racine de module > 1 et aucune (resp. au moins une) racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [1] et ontétéétudiés par M. J. Bertin qui a considéré le cas où K est un corps quadratique réel [2]. On considère ici deux cas : où K est un corps quadratique imaginaire et où K est un corps cubique totalement réel. Le but est de déterminer des polynômes réciproques de petite mesure. On commence par déterminer les K-nombres de Pisot de petite mesure dans ces deux cas. Ces résultats sont présentés dans le théorème 2, où on détermine tous les K-nombres de Pisot non réels de mesure < 2 dans le cas où K est quadratique imaginaire, et dans le théorème 4, où on détermine tous les K-nombres de Pisot qui ne sont pas des Q-nombres de Pisot, de mesure < 4, où K est un corps cubique totalement réel. La preuve du théorème 2 est basée sur les transformées de Schur et celle du théorème 4 sur l'algorithme de Schur généralisé [2]. Ensuite, en utilisant la construction de Salem, on détermine des K-nombres de Salem de petite mesure pour ces deux cas. Dans le cas quadratique imaginaire en appliquant la construction de Salem aux K-nombres de Pisot du théorème 2 on trouve des K-nombres de Salem non réels de mesure < 1.69, et dans le cas cubique totalement réel en appliquant cette construction aux K-nombres de Pisot du théorème 4 on trouve un seul K-nombre de Salem de mesure < 3, les autres polynômes ont 1 ou 2 conjugués hors du disque unité. Les calculs sont faits grâce au système Pari [9].

Quartic Salem numbers which are Mahler measures of non-reciprocal 2-Pisot numbers

Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, Jan 8, 2021

L'accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cent... more

On Salem half-norms

Quaestiones Mathematicae, Dec 2, 2020

Abstract Let α be a Salem number with conjugates , where α 1 := α. We prove some properties of th... more Abstract Let α be a Salem number with conjugates , where α 1 := α. We prove some properties of the products of the form α 1 α 2 · · · αn , called, by A. Dubickas and C.J. Smyth, Salem half-norms. This allows us to complete, partially, two related results due to C. Christopoulos and J. McKee about the Galois group of the splitting field of the minimal polynomial of α, and to A. Dubickas on a question of D.W. Boyd about Salem numbers which are Mahler measures of non-reciprocal algebraic integers.

On Real Parts of Powers of Complex Pisot Numbers

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Mar 16, 2016

We prove that a nonreal algebraic number$\unicode[STIX]{x1D703}$with modulus greater than$1$is a ... more We prove that a nonreal algebraic number$\unicode[STIX]{x1D703}$with modulus greater than$1$is a complex Pisot number if and only if there is a nonzero complex number$\unicode[STIX]{x1D706}$such that the sequence of fractional parts$(\{\Re (\unicode[STIX]{x1D706}\unicode[STIX]{x1D703}^{n})\})_{n\in \mathbb{N}}$has a finite number of limit points. Also, we characterise those complex Pisot numbers$\unicode[STIX]{x1D703}$for which there is a convergent sequence of the form$(\{\Re (\unicode[STIX]{x1D706}\unicode[STIX]{x1D703}^{n})\})_{n\in \mathbb{N}}$for some$\unicode[STIX]{x1D706}\in \mathbb{C}^{\ast }$. These results are generalisations of the corresponding real ones, due to Pisot, Vijayaraghavan and Dubickas.

On an approximation property of Pisot numbers II

Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2004

On an approximation property of Pisot numbers II par Toufik ZAÏMI Résumé. Soit q un nombre comple... more On an approximation property of Pisot numbers II par Toufik ZAÏMI Résumé. Soit q un nombre complexe, m un entier positif et l m (q) = inf{|P (q)| , P ∈ Z m [X], P (q) = 0}, où Z m [X] désigne l'ensemble des polynômesà coefficients entiers de valeur absolue m. Nous déterminons dans cette note le maximum des quantités l m (q) quand q décrit l'intervalle ]m, m + 1[. Nous montrons aussi que si q est un nombre non-réel de module > 1, alors q est un nombre de Pisot complexe si et seulement si l m (q) > 0 pour tout m.

On the trace of the integers of a number field

arXiv (Cornell University), Oct 13, 2021

Let T r denote the trace Z-module homomorphism defined on the ring OL of the integers of a number... more Let T r denote the trace Z-module homomorphism defined on the ring OL of the integers of a number field L. We show that T r(OL) Z if and only if there is a prime factor p of the degree of L such that if ℘ e 1 1 ...℘ es s is the prime factorization of the ideal pOL in OL, then p divides all powers e1, ..., es. Also, we prove that the equality T r(OL) = Z holds when L is the compositum of certain number fields.

On the zeros of the derivatives of certain polynomials

Moscow journal of combinatorics and number theory, Oct 15, 2022

Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot

Acta Arithmetica, 1998

Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riya... more Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σIrr(θ, K, z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l'algèbre A = R r 1 × C r 2 , où (r 1 , r 2) désigne la signature du corps K, par la suite (θ σ) σ de ses conjugués de module > 1 et on note S K leur ensemble dans A. D'après le théorème 1 de [7], l'ensemble S K est fermé dans A seulement lorsque K = Q ou bien K = Q(√ d) où d ∈ Z −. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d'entiers algébriques généralisant l'ensemble S Q en rajoutant auxéléments de S K les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l'on obtient alors un ensemble Σ K qu'on peut définir commeétant l'ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σ Irr(θ, K, z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L'ensemble Σ K coïncide avec l'ensemble S K seulement lorsque K = Q ou bien K = Q(√ d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble. 2. Les résultats. La caractérisation suivante de l'ensemble Σ Q est dûè a C. Pisot : Théorème A [4]. Soit θ un nombre complexe de module > 1. Alors θ ∈ Σ Q si et seulement si il existe un nombre complexe non nul λ et une suite (a n) n d'entiers de Q tels que n≥0 (λθ n − a n) 2 < ∞.

A note on number fields having reciprocal integer generators

Quaestiones Mathematicae, 2017

We prove that a totally complex algebraic number field K, having a conjugate which is not closed ... more

Salem numbers as Mahler measures of Gaussian Pisot numbers

Acta Arithmetica, 2020

CM fields with a reciprocal unit-primitive element

Comptes Rendus Mathematique, 2018

Let K be a noncyclotomic CM field. We show that the field K ∩ R has a reciprocal unitprimitive el... more

CM Fields Without Unit-Primitive Elements

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Sep 20, 2017

This is an addendum to a recent paper by Zaïmi, Bertin and Aljouiee ['On number fields without a ... more

Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot

Acta Arithmetica, 1998

Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. ... more Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σ Irr(θ, K, z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [1] et etudiés dans le but de déterminer des polynômes de petite mesure par M. J. Bertin lorsque K est un corps quadratique réel [2] et par l'auteur lorsque K est ou bien un corps quadratique imaginaire ou bien un corps cubique totalement réel [8]. Comme dans [1], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l'algèbre A = R r 1 × C r 2 où (r 1 , r 2) désigne la signature du corps K par la suite (θ σ) σ de ses conjugués de module > 1 et on note S K leur ensemble dans A. La question suivante aété posée dans [1] : L'ensemble S K est-il fermé dans A? Dans le cas où S K est fermé quels sont seséléments de mesure minimale? Les théorèmes suivants répondent a cette question.

On Number Fields Without a Unit Primitive Element

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Jan 11, 2016

We characterize number …elds without unit primitive element, and we exhibit some families of such... more We characterize number …elds without unit primitive element, and we exhibit some families of such …elds, with low degree. Also, we prove that a noncyclotomic totally complex number …eld K; with degree 2d; where d is odd, and having a unit primitive element, can be generated by a reciprocal integer, if and only if K is non-CM, and the Galois group of the normal closure of K is contained in the hyperoctahedral group B d :

Complex Pisot numbers in algebraic number fields

Comptes Rendus Mathematique, 2015

Abstract Let P ( K ) be the set of Pisot numbers generating a real algebraic number field K over ... more Abstract Let P ( K ) be the set of Pisot numbers generating a real algebraic number field K over the field of rationals Q . Then, a result of Meyer implies that P ( K ) is relatively dense in the interval [ 1 , ∞ ) and a theorem of Pisot gives that P ( K ) contains units, whenever K ≠ Q . In the present note, we prove analogous results for the set of complex Pisot numbers generating a non-real number field K ′ over Q when K ′ is neither a quadratic field nor a CM-field.

On the conjugates of certain algebraic integers

Publications de l'Institut Math?matique (Belgrade), 2016

A well-known theorem, due to C. J. Smyth, asserts that two conjugates of a Pisot number, having t... more A well-known theorem, due to C. J. Smyth, asserts that two conjugates of a Pisot number, having the same modulus are necessary complex conjugates. We show that this result remains true for K-Pisot numbers, where K is a real algebraic number field. Also, we prove that a j-Pisot number, where j is a natural number, can not have more than 2j conjugates with the same modulus.

On the integer form of the additive Hilbert's Theorem 90

Linear Algebra and its Applications, 2004

Let K be a number field whose ring of integers is a principal ideal domain and let E be a cyclic ... more

Comments on Salem polynomials

Archiv der Mathematik, Apr 21, 2021

We strengthen a sufficient condition, due to R.S. Vieira, for a (reciprocal) polynomial $$R(x)=(x... more We strengthen a sufficient condition, due to R.S. Vieira, for a (reciprocal) polynomial $$R(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{1}^{-1})\cdots (x-\alpha _{s})(x-\alpha _{s}^{-1})\in \mathbb {Z} [x],$$ with degree at least 4, to have $$(2s-2)$$ zeros on the unit circle. Also, we show that R is a Salem polynomial if and only if there is a natural number n such that the polynomial $$(x-(\alpha _{1}^{n}+\alpha _{1}^{-n}))\cdots (x-(\alpha _{s}^{n}+\alpha _{s}^{-n}))$$ is a totally real Pisot polynomial not equal to $$x^{2}\pm x-1.$$

Comments on the height reducing property II

arXiv (Cornell University), Mar 28, 2014

A complex number α is said to satisfy the height reducing property if there is a finite set F ⊂ Z... more A complex number α is said to satisfy the height reducing property if there is a finite set F ⊂ Z such that Z[α] = F [α], where Z is the ring of the rational integers. It is easy to see that α is an algebraic number when it satisfies the height reducing property. We prove the relation Card(F) ≥ max{2, |Mα(0)|}, where Mα is the minimal polynomial of α over the field of the rational numbers, and discuss the related optimal cases, for some classes of algebraic numbers α. In addition, we show that there is an algorithm to determine the minimal height polynomial of a given algebraic number, provided it has no conjugate of modulus one.

On the distribution of powers of a Gaussian Pisot number

Indagationes Mathematicae, 2020

This is a PDF file of an article that has undergone enhancements after acceptance, such as the ad... more This is a PDF file of an article that has undergone enhancements after acceptance, such as the addition of a cover page and metadata, and formatting for readability, but it is not yet the definitive version of record. This version will undergo additional copyediting, typesetting and review before it is published in its final form, but we are providing this version to give early visibility of the article.

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure

Acta Arithmetica, 1996

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un c... more Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal P sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot (resp. de Salem) si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σP possède une unique racine de module > 1 et aucune (resp. au moins une) racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [1] et ontétéétudiés par M. J. Bertin qui a considéré le cas où K est un corps quadratique réel [2]. On considère ici deux cas : où K est un corps quadratique imaginaire et où K est un corps cubique totalement réel. Le but est de déterminer des polynômes réciproques de petite mesure. On commence par déterminer les K-nombres de Pisot de petite mesure dans ces deux cas. Ces résultats sont présentés dans le théorème 2, où on détermine tous les K-nombres de Pisot non réels de mesure < 2 dans le cas où K est quadratique imaginaire, et dans le théorème 4, où on détermine tous les K-nombres de Pisot qui ne sont pas des Q-nombres de Pisot, de mesure < 4, où K est un corps cubique totalement réel. La preuve du théorème 2 est basée sur les transformées de Schur et celle du théorème 4 sur l'algorithme de Schur généralisé [2]. Ensuite, en utilisant la construction de Salem, on détermine des K-nombres de Salem de petite mesure pour ces deux cas. Dans le cas quadratique imaginaire en appliquant la construction de Salem aux K-nombres de Pisot du théorème 2 on trouve des K-nombres de Salem non réels de mesure < 1.69, et dans le cas cubique totalement réel en appliquant cette construction aux K-nombres de Pisot du théorème 4 on trouve un seul K-nombre de Salem de mesure < 3, les autres polynômes ont 1 ou 2 conjugués hors du disque unité. Les calculs sont faits grâce au système Pari [9].

Quartic Salem numbers which are Mahler measures of non-reciprocal 2-Pisot numbers

Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, Jan 8, 2021

L'accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cent... more

On Salem half-norms

Quaestiones Mathematicae, Dec 2, 2020

Abstract Let α be a Salem number with conjugates , where α 1 := α. We prove some properties of th... more Abstract Let α be a Salem number with conjugates , where α 1 := α. We prove some properties of the products of the form α 1 α 2 · · · αn , called, by A. Dubickas and C.J. Smyth, Salem half-norms. This allows us to complete, partially, two related results due to C. Christopoulos and J. McKee about the Galois group of the splitting field of the minimal polynomial of α, and to A. Dubickas on a question of D.W. Boyd about Salem numbers which are Mahler measures of non-reciprocal algebraic integers.

On Real Parts of Powers of Complex Pisot Numbers

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Mar 16, 2016

We prove that a nonreal algebraic number$\unicode[STIX]{x1D703}$with modulus greater than$1$is a ... more We prove that a nonreal algebraic number$\unicode[STIX]{x1D703}$with modulus greater than$1$is a complex Pisot number if and only if there is a nonzero complex number$\unicode[STIX]{x1D706}$such that the sequence of fractional parts$(\{\Re (\unicode[STIX]{x1D706}\unicode[STIX]{x1D703}^{n})\})_{n\in \mathbb{N}}$has a finite number of limit points. Also, we characterise those complex Pisot numbers$\unicode[STIX]{x1D703}$for which there is a convergent sequence of the form$(\{\Re (\unicode[STIX]{x1D706}\unicode[STIX]{x1D703}^{n})\})_{n\in \mathbb{N}}$for some$\unicode[STIX]{x1D706}\in \mathbb{C}^{\ast }$. These results are generalisations of the corresponding real ones, due to Pisot, Vijayaraghavan and Dubickas.

On an approximation property of Pisot numbers II

Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 2004

On an approximation property of Pisot numbers II par Toufik ZAÏMI Résumé. Soit q un nombre comple... more On an approximation property of Pisot numbers II par Toufik ZAÏMI Résumé. Soit q un nombre complexe, m un entier positif et l m (q) = inf{|P (q)| , P ∈ Z m [X], P (q) = 0}, où Z m [X] désigne l'ensemble des polynômesà coefficients entiers de valeur absolue m. Nous déterminons dans cette note le maximum des quantités l m (q) quand q décrit l'intervalle ]m, m + 1[. Nous montrons aussi que si q est un nombre non-réel de module > 1, alors q est un nombre de Pisot complexe si et seulement si l m (q) > 0 pour tout m.

On the trace of the integers of a number field

arXiv (Cornell University), Oct 13, 2021

Let T r denote the trace Z-module homomorphism defined on the ring OL of the integers of a number... more Let T r denote the trace Z-module homomorphism defined on the ring OL of the integers of a number field L. We show that T r(OL) Z if and only if there is a prime factor p of the degree of L such that if ℘ e 1 1 ...℘ es s is the prime factorization of the ideal pOL in OL, then p divides all powers e1, ..., es. Also, we prove that the equality T r(OL) = Z holds when L is the compositum of certain number fields.

On the zeros of the derivatives of certain polynomials

Moscow journal of combinatorics and number theory, Oct 15, 2022

Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot

Acta Arithmetica, 1998

Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riya... more Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σIrr(θ, K, z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l'algèbre A = R r 1 × C r 2 , où (r 1 , r 2) désigne la signature du corps K, par la suite (θ σ) σ de ses conjugués de module > 1 et on note S K leur ensemble dans A. D'après le théorème 1 de [7], l'ensemble S K est fermé dans A seulement lorsque K = Q ou bien K = Q(√ d) où d ∈ Z −. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d'entiers algébriques généralisant l'ensemble S Q en rajoutant auxéléments de S K les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l'on obtient alors un ensemble Σ K qu'on peut définir commeétant l'ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σ Irr(θ, K, z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L'ensemble Σ K coïncide avec l'ensemble S K seulement lorsque K = Q ou bien K = Q(√ d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble. 2. Les résultats. La caractérisation suivante de l'ensemble Σ Q est dûè a C. Pisot : Théorème A [4]. Soit θ un nombre complexe de module > 1. Alors θ ∈ Σ Q si et seulement si il existe un nombre complexe non nul λ et une suite (a n) n d'entiers de Q tels que n≥0 (λθ n − a n) 2 < ∞.

A note on number fields having reciprocal integer generators

Quaestiones Mathematicae, 2017

We prove that a totally complex algebraic number field K, having a conjugate which is not closed ... more

Salem numbers as Mahler measures of Gaussian Pisot numbers

Acta Arithmetica, 2020

CM fields with a reciprocal unit-primitive element

Comptes Rendus Mathematique, 2018

Let K be a noncyclotomic CM field. We show that the field K ∩ R has a reciprocal unitprimitive el... more

CM Fields Without Unit-Primitive Elements

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Sep 20, 2017

This is an addendum to a recent paper by Zaïmi, Bertin and Aljouiee ['On number fields without a ... more

Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot

Acta Arithmetica, 1998

Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. ... more Sur la fermeture de l'ensemble des K-nombres de Pisot par Toufik Zaïmi (Riyadh) 1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ, K, z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans C le polynôme σ Irr(θ, K, z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ontété définis par A. M. Bergé et J. Martinet [1] et etudiés dans le but de déterminer des polynômes de petite mesure par M. J. Bertin lorsque K est un corps quadratique réel [2] et par l'auteur lorsque K est ou bien un corps quadratique imaginaire ou bien un corps cubique totalement réel [8]. Comme dans [1], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l'algèbre A = R r 1 × C r 2 où (r 1 , r 2) désigne la signature du corps K par la suite (θ σ) σ de ses conjugués de module > 1 et on note S K leur ensemble dans A. La question suivante aété posée dans [1] : L'ensemble S K est-il fermé dans A? Dans le cas où S K est fermé quels sont seséléments de mesure minimale? Les théorèmes suivants répondent a cette question.

On Number Fields Without a Unit Primitive Element

Bulletin of The Australian Mathematical Society, Jan 11, 2016

We characterize number …elds without unit primitive element, and we exhibit some families of such... more We characterize number …elds without unit primitive element, and we exhibit some families of such …elds, with low degree. Also, we prove that a noncyclotomic totally complex number …eld K; with degree 2d; where d is odd, and having a unit primitive element, can be generated by a reciprocal integer, if and only if K is non-CM, and the Galois group of the normal closure of K is contained in the hyperoctahedral group B d :

Complex Pisot numbers in algebraic number fields

Comptes Rendus Mathematique, 2015

Abstract Let P ( K ) be the set of Pisot numbers generating a real algebraic number field K over ... more Abstract Let P ( K ) be the set of Pisot numbers generating a real algebraic number field K over the field of rationals Q . Then, a result of Meyer implies that P ( K ) is relatively dense in the interval [ 1 , ∞ ) and a theorem of Pisot gives that P ( K ) contains units, whenever K ≠ Q . In the present note, we prove analogous results for the set of complex Pisot numbers generating a non-real number field K ′ over Q when K ′ is neither a quadratic field nor a CM-field.

On the conjugates of certain algebraic integers

Publications de l'Institut Math?matique (Belgrade), 2016

A well-known theorem, due to C. J. Smyth, asserts that two conjugates of a Pisot number, having t... more A well-known theorem, due to C. J. Smyth, asserts that two conjugates of a Pisot number, having the same modulus are necessary complex conjugates. We show that this result remains true for K-Pisot numbers, where K is a real algebraic number field. Also, we prove that a j-Pisot number, where j is a natural number, can not have more than 2j conjugates with the same modulus.

On the integer form of the additive Hilbert's Theorem 90

Linear Algebra and its Applications, 2004

Let K be a number field whose ring of integers is a principal ideal domain and let E be a cyclic ... more