Matemáticas Grado en Química Ejercicios propuestos (Tema 1) Hallar t ∈ R para que el vector x = (... more Matemáticas Grado en Química Ejercicios propuestos (Tema 1) Hallar t ∈ R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, −1). Problema 1. Solución del problema 1. x ∈ L{ u, v} si, y sólo si, existen α, β ∈ R tales que x = α u + β v, es decir, (3, 8, t) = α(1, 2, 3) + β(1, 3, −1) = (α, 2α, 3α) + (β, 3β, −β) = (α + β, 2α + 3β, 3α − β). Luego, obtenemos el siguiente sistema α + β = 3 (Ec.1) 2α + 3β = 8 (Ec.2) 3α − β = t (Ec.3) De (Ec.1), tenemos que α = 3 − β. Sustituyendo en (Ec.2) 2(3 − β) + 3β = 8 ⇐⇒ β = 2. Luego, α = 1. Finalmente, por (Ec.3), deducimos que t = 1. Por tanto, x pertenece al subespacio engendrado por los vectores u y v si, y sólo si, t = 1. Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de (1, 2, −1, −2) y de (0, 1, 2, 1). Problema 2. Solución del problema 2. (1, 4, a, b) es combinación lineal de (1, 2, −1, −2) y de (0, 1, 2, 1) si, y sólo si, existen α, β ∈ R tales que (1, 4, a, b) = α(1, 2, −1, −2) + β(0, 1, 2, 1) ⇐⇒ α = 1 (Ec.1) 2α + β = 4 (Ec.2) −α + 2β = a (Ec.3) −2α + β = b (Ec.4) Sustituyendo el valor de α en la (Ec.2) obtenemos β = 2. Luego, de la (Ec.3) y (Ec.4) deducimos que a = 3 y b = 0, respectivamente. Por tanto, el vector (1, 4, a, b) es combinación lineal de (1, 2, −1, −2) y de (0, 1, 2, 1) si, y sólo si, a = 3 y b = 0. Demostrar que los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (1, 0, 1), u 3 = (0, 1, 1) forman una base de (R 3 , +, ·) y encontrar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto a dicha base.
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