La circunferencia de centro C y radio r ≥ 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al... more La circunferencia de centro C y radio r ≥ 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al punto C es igual a r. Para obtener su ecuación se tiene en cuenta que un punto X = (x, y) pertenecerá a la circunferencia de centro C = (a, b) y radio r si d(X, C) = r, es decir, si 2 2 (-) +(-) = x a y b r. Elevando al cuadrado se obtiene 2 2 (-) +(-) x a y b = r 2 Una circunferencia puede venir dada por una ecuación de la forma x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0. Para determinar su centro y su radio se forman cuadrados en dicha ecuación obteniéndose 2 2 (-) +(-) x a y b = 2 r. Ejemplo 1: a) La ecuación de la circunferencia de centro (-2, 6) y radio 4 es (x + 2) 2 + (y-6) 2 = 16, que desarrollando los cuadrados y realizando operaciones da lugar a la ecuación x 2 + y 2 + 4x-12y + 24 = 0 b) El centro y el radio de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 + 2x-8y + 7 = 0 se pueden calcular formando cuadrados perfectos en el primer miembro de la igualdad x 2 + y 2 + 2x-8y + 7 = 0 ⇔ (x 2 + 2x) + (y 2-8y) + 7 = 0 ⇔ ((x + 1) 2-1) + ((y-4) 2-16) + 7= 0 ⇔ ⇔ (x + 1) 2 + (y-4) 2 = 10 De donde se deduce que el centro de la circunferencia es el punto (-1, 4) y que el radio mide 10 ELIPSE Una elipse de focos F y F´, puntos fijos del plano, es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a los focos es igual a una constante. Si se colocan los focos en puntos del eje OX simétricos respecto del origen, F = (c, 0) y F´= (-c, 0), y se representa por 2a la suma de las distancias a los focos se obtiene la ecuación reducida de la elipse procediendo como sigue: El punto X = (x, y) del plano pertenecerá a la elipse si verifica d(X, F) + d(X, F´) = 2a, es decir, si 2 2 (-) + x c y + 2 2 (+) + x c y = 2a. Realizando operaciones, se obtiene 2 2 2 2 2 1 + = − x y a a c y denotando 2 2 − a c = 2 b la ecuación reducida
La circunferencia de centro C y radio r ≥ 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al... more La circunferencia de centro C y radio r ≥ 0, es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al punto C es igual a r. Para obtener su ecuación se tiene en cuenta que un punto X = (x, y) pertenecerá a la circunferencia de centro C = (a, b) y radio r si d(X, C) = r, es decir, si 2 2 (-) +(-) = x a y b r. Elevando al cuadrado se obtiene 2 2 (-) +(-) x a y b = r 2 Una circunferencia puede venir dada por una ecuación de la forma x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0. Para determinar su centro y su radio se forman cuadrados en dicha ecuación obteniéndose 2 2 (-) +(-) x a y b = 2 r. Ejemplo 1: a) La ecuación de la circunferencia de centro (-2, 6) y radio 4 es (x + 2) 2 + (y-6) 2 = 16, que desarrollando los cuadrados y realizando operaciones da lugar a la ecuación x 2 + y 2 + 4x-12y + 24 = 0 b) El centro y el radio de la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 + 2x-8y + 7 = 0 se pueden calcular formando cuadrados perfectos en el primer miembro de la igualdad x 2 + y 2 + 2x-8y + 7 = 0 ⇔ (x 2 + 2x) + (y 2-8y) + 7 = 0 ⇔ ((x + 1) 2-1) + ((y-4) 2-16) + 7= 0 ⇔ ⇔ (x + 1) 2 + (y-4) 2 = 10 De donde se deduce que el centro de la circunferencia es el punto (-1, 4) y que el radio mide 10 ELIPSE Una elipse de focos F y F´, puntos fijos del plano, es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a los focos es igual a una constante. Si se colocan los focos en puntos del eje OX simétricos respecto del origen, F = (c, 0) y F´= (-c, 0), y se representa por 2a la suma de las distancias a los focos se obtiene la ecuación reducida de la elipse procediendo como sigue: El punto X = (x, y) del plano pertenecerá a la elipse si verifica d(X, F) + d(X, F´) = 2a, es decir, si 2 2 (-) + x c y + 2 2 (+) + x c y = 2a. Realizando operaciones, se obtiene 2 2 2 2 2 1 + = − x y a a c y denotando 2 2 − a c = 2 b la ecuación reducida
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