Papers by Angie Lorena GARAGOA MARIN
Propósitos. Introducir el concepto de integral indefinida, a partir de analizar situaciones de va... more Propósitos. Introducir el concepto de integral indefinida, a partir de analizar situaciones de variación en las que sólo se conoce su razón de cambio e inducir las primeras fórmulas para aplicarlas junto con los dos métodos de integración. Sección 1. La antiderivada. Primer acercamiento a la solución de ecuaciones de los tipos: f´(x) = c, f´(x) = ax + b y f´(x) = ax n. En ésta sección, pretendemos que logres los siguientes aprendizajes: • Explorar a través de tablas, gráficas o análisis del comportamiento de la variación, situaciones o problemas cuya solución lleva a encontrar la antiderivada de una función constante o lineal. • Establecer la relación funcional que permite resolver el problema. • Encontrar la función cuya derivada es de la forma f´(x) = c ó f´(x) = ax + b. • Utilizar la condición inicial del problema para encontrar la solución particular. • Identificar que al modificarse la condición inicial, las funciones encontradas difieren en una constante. • Explicar el significado de condición inicial y antiderivada. Definición. Llamaremos a F una antiderivada o primitiva de f si F' = f. Ejemplo 1. Encuentra una función F que tenga una derivada constante igual a 4 y que además F(3) = 2. Solución. Para que F tenga la derivada indicada, F(x) = 4x + c. Ahora, como F(3) = 2, se tiene que F(3) = 4(3) + c = 2, de donde, c =-10, por lo que la función buscada es: F(x) = 4x – 10. Ejemplo 2. Determina todas las funciones F tales que F´(x) =-7x. Solución. Las funciones F que cumplen con la condición indicada son, por ejemplo: = − + 2 x F(x) 7 3 2 , = − + 2 x F(x) 7 5 2 , = − − 2 x F(x) 7 2 π, etc. Como sabes, la manera en que se acostumbra representar a todas, es: = − + 2 x F(x) 7 c 2 , en donde c es una constante llamada constante de integración. Ejemplo 3. Encuentra la función F que satisfaga las siguientes condiciones: F´(x) = 10x – 3 y F(-1) = 2. Solución. Como podrás concluir, la función que cumple con la primera condición es: F(x) = 5x 2 – 3x + c. Ahora como F(-1) = 2, 5(-1) 2 – 3(-1) + c = 2, es decir, 5 + 3 + c = 2, por lo que: c =-6 y F(x) = 5x 2 – 3x – 6. En los casos anteriores, y en los que siguen, se puede utilizar el siguiente resultado: la antiderivada general de f(x) = ax n , con n ≠-1 es F(x) = a 1 1 n x c n + + + 23
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