Karratu

Sarrera eta definizioa

Karratua
Zirkunferentzia batean inskribatutako karratua
Mota	Laukia, paralelogramoa, poligono erregularra
Aldeak	4
CDD
Simetria-taldea	$D_{4}$
Azalera	$l^{2}$
Barne-angelua	90°
Poligono duala	Karratua
Propietateak	Ganbil, isogonal, zikloide

Karratua lau alde berdineko eta lau angelu berdineko paralelogramo erregularra da. Laukizuzenen (lau angelu zuzen dituztenak) eta erronboen (lau alde berdin dituztenak) kasu berezia da. Karratuaren angeluak zuzenak dira beti. Horregatik, aldeak elkarrekiko perpendikularrak dira.

Karratuaren azalera bere alde baten luzera bere buruarekin biderkatuz lortzen da, hau da, aljebra terminotan, karratuaren azaleraren kalkulua aldearen luzeraren karratua kalkulatzea da.

Karratuak planoak betetzeko erabil daitezke, hau da, elkarren ondoan jar daitezke tarterik utzi gabe. Hori ikus daiteke lurraldeetan, hormetan, koadernoen orrietan, irudi pixeletan eta joko-tauletan. Halaber, karratu formako irudiak maiz agertzen dira eraikinen solairu-planoetan, origamian, janari-errazioetan, diseinu grafikoan eta heraldikan, baita berehalako argazkietan eta arte ederretan ere.

Karratuak kurba leun edo konbexuetan inskribatu daitezke, hala nola zirkulu edo triangeluetan, baina oraindik ez dakigu karratua kurba itxi sinple guztietan inskribatu daitekeen.

Karratuarekin lotutako arazo mota bat da karratua zatitzea karratu txikiagoak eta desberdinak lortzeko. Matematikariek karratua beste irudi batzuen barruan ahalik eta estuen antolatzeko moduak ere aztertu dituzte.

Karratuaren definizio orokorra

Karratu bat irudi laua da, neurri bereko segmentuz lotutako lau puntu dituena. Segmentu hauek planoaren eskualde bat ixten dute, angelu zuzenak osatuz.

Ezaugarri nagusiak

Karratuak modu baliokide askotan definitu edo ezaugarritu ahal dira. Izan ere, plano euklidearreko poligono batek honako irizpideren bat betetzen badu, guztiak betetzen ditu:

• Karratua lau alde berdin eta lau angelu zuzen dituen poligonoa da, hau da, aldi berean erronboa eta laukizuzena den laukia da.

Laukizuzenen artean (goiko ilaran), karratua da alde berdinak dituen irudia (urdina, erdian). Erronboen artean (beheko ilaran), karratua da angelu zuzenak dituen irudia (urdina, erdian).

• Karratua laukizuzen bat da, lau alde berdin dituena.
• Karratua erronbo bat da, alboko alde pare baten artean angelu zuzena duena.
• Karratu bat angelu guztiak berdinak dituen erronbo bat da.
• Karratua angelu zuzen bat eta ondoko bi alde berdin dituen paralelogramo bat da.
• Karratua diagonal berdinak dituen laukizuzen bat da, perpendikularki erdibitzen dutenak elkar; hau da, diagonal berdinak dituen erronboa da.
• Karratua lau alde jarraitu a, b, c, d dituen laukizuzen bat da, non bere azalera hurrengoa den:

$A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2})$

Karratuaren azalera alde baten luzera bere buruarekin biderkatuz lortzen da.

Perimetroa eta azalera

Karratuaren perimetroa (P) bere lau aldeak batuz lortzen da. Alde guztiek luzera bera dutenez, honela adierazten da: $P=4a$, non a karratuaren aldearen luzera den.

Azalera alde baten luzera bere buruarekin biderkatuz lortzen da: $A=a^{2}$.

Propietate geometrikoak

Propietate orokorrak

Karratua lauki bat denez, honako propietate hauek ditu:

• Bi diagonal ditu
• Barne-angeluak batzean, 360 gradu lortzen dira

Euklidesen definizio murriztua aintzat hartuta eta metodo deduktiboa aplikatuz, karratuaren propietate hauek froga daitezke:

• Paralelogramoa da
• Kontrako aldeak paraleloak dira
• Diagonalek luzera bera dute
• Bere diagonalak erdibitu egiten dira barizentroan
• Diagonalak elkarrekiko perpendikularrak dira
• Karratuaren diagonalek barne-angeluak erdibitzen dituzte, eta bi angelu berdin sortzen dituzte, bakoitza 45°-koa
• Karratuaren lau simetria-ardatzak barizentrotik pasatzen dira; bi ardatz aldeekiko perpendikularrak dira, eta beste biak diagonaletan kokatzen dira

YBC 7289, K.a. 1800 eta 1600 artean egindako karratu baten diagonalaren kalkulu babiloniarra.

Diagonalen luzera eta erlazioak

$l$ luzerako aldeak dituen karratu batek $d={\sqrt {2}}\,l$ luzerako diagonala du. Adierazpen honetan agertzen den erro karratua zenbaki irrazionala da; izan ere, 1,414 balioa du gutxi gorabehera. Balio hori jada ezagutzen zen babiloniar matematiketan.

Karratu baten azalera, bere diagonalaren arabera adierazita, hurrengoa da: $A={\tfrac {1}{2}}d^{2}$.

Simetria ardatzak eta biraketak

Karratua da lauki simetrikoena. Guztira zortzi simetria ditu: lau biraketa-simetria (0°, 90°, 180° eta 270°) eta lau islapen-simetria (bi ardatzekiko eta bi diagonalekiko).

Karratuaren hasierako posizioa (identitate-eraldaketa)

90°- ko biraketa, erloju-orratzen aurka

180°- ko biraketa

270°- ko biraketa

Ipar-mendebaldetik hego-ekialderako diagonalaren islapena

Islapen bertikala

Ipar-ekialdetik hego-mendebalderako diagonalaren islapena

Islapen horizontala

Karratuaren (goian), laukizuzenaren eta erronboaren (erdian), trapezio isoszelearen, kometaren eta paralelogramoaren (behean) islapen-ardatzak eta biraketa-simetrien erdiguneak.

Jatorrian zentratutako eta ardatzekiko paraleloa den karratu batean, simetria bakoitzak puntuen koordenatu kartesiarrak trukatu edo zeinua aldatu egiten du. Eraldaketa/eraldatze horiek karratuaren zortzi triangelu isoszeleak permutatzen dituzte.

Bestela esanda, simetria bakoitzak karratuaren bi erpin, bi alde edo bi erdi-alde elkarren artean trukatzen ditu. Eraldatze horiek konbinatzean (bata bestearen ondoren aplikatzean), beti sortzen da beste simetria bat.

Biraketa bat errepikatzean, beste biraketa bat sortzen da (angeluak batuz). Ardatz bereko bi islapen jarraian eginda, identitate-eraldaketa lortzen da; eta ardatz ezberdinetako bi islapen jarraian eginda, biraketa bat lortzen da. Biraketa baten eta islapen baten konbinazioak, berriz, beste islapen bat ematen du.

Eraldaketa horiek osatzen duten egitura matematikoari talde diedriko deritzo. Karratuaren simetriek elkarren artean konbinatzean 8. mailako talde diedrikoa osatzen dute. Beste lauki batzuen simetriak talde horren azpitaldeak dira. Hortaz, simetria gutxiago dituzte; adibidez, laukizuzena edo erronboa.

Bestalde, antzekotasunek karratuaren forma gordetzen dute, baina ez tamaina. Horregatik, ikuspegiaren arabera, karratu bat edozein lauki konbexutzat har daiteke, eta alderantziz.

Azkenik, bi dimentsioko errepikapen-patroien simetria-talde batzuetan (p4, p4m eta p4g) karratua da unitate-zelula gisa erabiltzen den irudia.

p4, Egiptoko hilobi baten sabaia

p4m, Nineve eta Persia

p4g, Txina

Koordenatuak eta ekuazioak

Unitate bateko luzerako aldeak dituen karratuari unitate-karratua deitzen zaio. Karratu hori koordenatu kartesiarretan adierazi ohi da, puntu multzo gisa (x,y), non $0\leq x\leq 1$ eta $0\leq y\leq 1$. Bere erpinak 1 edo 0 balioa duten koordenatuetako puntuak dira, alegia, (0,0), (1,0), (1,1) eta (0,1) puntuak.

$|x|+|y|=2$ ekuazioa kartesiar koordenatuetan irudikatuta.

Ardatzekiko paraleloak diren aldeak dituen karratu batek, erdigunea $(x_{c},y_{c})$ puntuan eta aldeen luzera $2r$ duena (non r aldearen erdia den), erpinak hurrengo puntuetan ditu: $(x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)$.

Karratu horren barnealdea osatzen duten puntu guztiek hurrengo baldintza betetzen dute: $\max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r$,

eta bere muga ondoko ekuazioa betetzen duten puntuek osatzen dute:

$\max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r$.

Diagonalki kokatutako karratu batek, erdigunea $(x_{c},y_{c})$ puntuan eta diagonalaren luzera $2R$ duena (non R diagonalaren erdia den), erpinak hurrengo puntuetan ditu: $(x_{c}\pm R,y_{c})$ eta $(x_{c},y_{c}\pm R)$.

Karratuaren barnealdea hurrengo baldintza betetzen duten puntuek osatzen dute: $|x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R$,

eta bere muga honako ekuazioak definitzen du:

$|x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R$.

Adibidez, jatorrian (0,0) diagonalki kokatutako karratu bat (2 unitateko diagonal-erdia duena) honela adierazten da:

$|x|+|y|=2$.

Zenbaki konplexuen planoan, unitate irudikaria (i) biderkatzeak 90°-ko biraketa eragiten du jatorriaren inguruan. Zenbaki konplexu bat (p) behin eta berriz i-z biderkatzen bada, p, ip, -p eta -ip zenbakiak lortzen dira. Horiek jatorrian zentratutako karratu baten erpinak dira.

Zenbaki konplexu hori $p=x+iy$ moduan adierazten bada, karratuaren erpinen koordenatuak hurrengoak dira: (x,y), (-y,x), (-x,-y) eta (y,-x).

Oharra: ingelesezko bertsioan, karratuaren erpinen azken puntua gaizki agertzen da ((-y,-x)). Berrikuspen matematikoaren ondoren, forma zuzena (y,-x) dela egiaztatu da, eta horrela jaso da testuan.

Historia

Mapa: Mesopotamia eta Siria.

Duela milaka urte, karratuak erabiltzen ziren jada. Dokumentatuta dago K.a. VI. milurtekoko Mesopotamiako ontzietan karratuak ageri zirela.

Gainera, badaude XVIII. mendeko oholtxoak, karratuaren simetria eta biraketak ezagutzen zirela frogatzen dutenak. BM 15285 oholtxoak, adibidez, berrogei bat problema matematiko biltzen ditu, karratuei lotutako irudien azalei buruzkoak.

Talmud liburuan ere karratuak agertzen dira; horretan gomendatzen da hiriak modu karratuan eraikitzea, barrutiaren forma edozein dela ere.

Aplikazioak

Gure eguneroko bizitzan karratuak garrantzi handikoak dira, eta hainbat lekutan aurki ditzakegu. Tessera latinezko hitza, mosaikoetan erabiltzen den baldosa txiki bat izendatzen duena, antzinako hitz greko batetik dator, eta «lau» esan nahi du; baldosa karratu baten lau izkinei egiten dio erreferentzia.

Xake-taula

32x32 sareta

QR kodea

Txokolate-karratutxoak

Paper milimetratua, baldosa karratuen patroi batekin aurreinprimatua, asko erabiltzen da datuak koordenatu kartesiarren bidez bistaratzeko. Bit-mapako irudien pixelak, irudi-eskanerrek eta kamera digitalek erregistratzen dituzten moduan edo pantaila elektronikoetan erakusten diren bezala, laukitxo karratu baten elkarguneetan normalean egoten dira, eta, askotan, karratu txikitzat hartzen dira, mosaiko karratu batean antolatuta.

Irudiak eta bideoak konprimatzeko teknika estandarrak, JPEG formatua barne, irudiak pixel-bloke karratu handiagoetan zatitzean oinarritzen dira. Datuen konpresioan eta geometria konputazionalean erabiltzen den quadtree datu-egitura karratuen azpizatiketa errekurtsiboan oinarritzen da.

Baldosa karratuak

Pixelatutako Neska perlarekin

Aplikazio interesgarriak

Karratuak diseinu grafikoaren ohiko elementu bat dira. Izan ere, simetria eta ordena sentsazioa emateko erabiltzen dira. QR kodeak karratuak dira, Robertson torlojuen buruak bezala. Galleta batzuk eta gazta xerrak karratuak izan ohi dira halaber, gofreak bezala. Beren forma karratuagatik izena jasotzen duten elikagai karratuen artean, karamelu-karratuak, datil-karratuak, limoi-karratuak, txokolate-karratutxoak, saltxitxa karratuak eta Carré de l’Est gazta daude.

Lotutako gaiak

Koadratura

Geometrian, koadratura deritzo irudi geometriko jakin baten azalera bera duen karratu bat eraikitzeko prozedurari, erregela eta konpasa soilik erabiliz eta urrats kopuru finitu batean. Metodo hori jada antzinako greziarrek erabiltzen zuten azalerak neurtu eta alderatzeko, karratu baliokide bihurtuz.

Zirkulu baten eta azalera bera duen karratu baten irudikapena. Eraikuntza zehatza ezinezkoa bada ere, irudikapenak kontzeptua erakusten du.

Euklidesen Elementuak lanean, irudi poligonal sinpleen koadratura nola egin azaltzen da, hala nola laukizuzena, triangelua edo paralelogramoarena. Halaber, kurbek mugatutako irudi batzuen koadratura ere erakusten da bertan, adibidez Hipokratesen lunulena edo parabolarena.

Zirkuluaren koadratura (zirkulu jakin baten azalera bera duen karratua eraikitzea) geometria klasikoaren arazo nagusietako bat izan zen. Hala ere, 1882an frogatu zen eraikuntza hori ezinezkoa dela, Lindemann–Weierstrass teoremaren ondorioz. Teoremak erakusten du Pi zenbakia transzendentea dela, eta ez zenbaki aljebraiko irrazionala, hau da, ez dela polinomio arrazional baten erroa izan daitekeen zenbakia.

Ordutik, “zirkulua karratzea” esamoldea erabili izan da filosofia eta hizkera arruntean ezinezkoa edo kontraesankorra den zerbait adierazteko.

Baliabide gehigarriak

• Datuak: Q164
• Multimedia: Square (geometry) / Q164