Papers by bayrem ben othmane
Formule de Stirling "améliorée" : n! = n n e −n √ 2πn 1 + 1 12n + o 1 n 1. On pose, pour tout ent... more Formule de Stirling "améliorée" : n! = n n e −n √ 2πn 1 + 1 12n + o 1 n 1. On pose, pour tout entier naturel n, I n = π/2 0 sin n t dt. (a) Montrer que la suite (I n) est strictement décroissante et minorée. (b) Montrer que pour tout n ≥ 2, on a nI n = (n − 1)I n−2. (c) En déduire I 2n et I 2n+1à2n+1à l'aide de factorielles. (d) Prouver que I n+1 ∼ I n quand n → ∞. (e) En déduire la formule de Wallis : π = lim n→∞ 2 4n (n!) 4 n · (2n)! 2. 2. On pose, pour tout n de IN * , S n = (n + 1 2) ln n − n − ln(n!). (a) Montrer que S n+1 − S n ∼ 1 12n 2. (b) En déduire que la suite (S n) converge vers un réel λ. (c) Montrer que, lorsque n tend vers +∞, n n e −n √ n ∼ e λ n!. 3. A l'aide de la question 1d), montrer que λ = − 1 2 ln(2π). En déduire la formule de Stirling : n! ∼ n n e −n √ 2πn. 4. Soient u n et v n deux sériessériesà termes réels positifs, convergentes. Pour tout entier n, on note R n = +∞ k=n+1 u k et T n = +∞ k=n+1 v k. (a) On suppose que u n ∼ v n. Montrer que R n ∼ T n. (b) En déduire que si u n ∼ 1 n 2 , alors R n ∼ 1 n. (c) Appliquer ce qui précèdè a u n = 12(S n − S n−1), et montrer que λ − S n ∼ 1 12n. (d) En déduire finalement que n! = n n e −n √ 2πn 1 + 1 12n + o 1 n .
Uploads
Papers by bayrem ben othmane